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CUSTEM：复杂可控源电磁数据自定义有限元模拟的开源工具箱

作者及机构
本研究由德国汉诺威莱布尼茨应用地球物理研究所（Leibniz Institute for Applied Geophysics）的Raphael Rochlitz、Nico Skibbe和Thomas Günther合作完成，发表于地球物理学领域知名期刊《Geophysics》，稿件编号geo-2018-0208.r2，最终版本于2019年正式出版。

学术背景

研究领域与动机
研究聚焦于可控源电磁法（CSEM, Controlled-Source Electromagnetic）的三维正演模拟，属于地球物理勘探中的电磁方法与数值算法领域。传统CSEM数据处理常依赖一维层状模型，但实际地质构造（如地形起伏、三维异常体）需更复杂的数值工具。尽管有限差分（FD）、积分方程（IE）等方法已有应用，但有限元法（FEM, Finite Element Method）因其对复杂几何结构的适应性被视为最优解。然而，现有开源工具匮乏，且多数代码难以兼顾计算效率与灵活性。为此，作者开发了CUSTEM（Customizable Electromagnetic Modeling）工具箱，旨在填补这一空白。

核心目标
1. 提供支持复杂三维CSEM问题的开源有限元框架；
2. 集成多种场表述形式（总场、二次场、磁势场）以提升适用性；
3. 实现高效并行计算与自动化工作流，降低三维建模门槛。

研究方法与流程

1. 理论框架与算法设计

研究基于时谐麦克斯韦方程的准静态近似，开发了四种有限元求解策略：
- E场法（E-field approach）：通过总电场或二次电场求解，采用Nédélec边缘元基函数，避免伪解问题（方程1-10）。
- H场法（H-field approach）：首次在有限元中引入二次磁场（secondary magnetic field）表述，显著降低仅需磁场结果时的计算成本（方程11-19）。
- A-φ混合元法（AM）：结合矢量势（A）与标量势（φ），提升迭代求解稳定性（方程20-28）。
- A-φ节点元法（AN）：基于节点元简化实现，适用于简单模型验证（方程35-39）。

创新性算法改进：
- 对称矩阵重构：将系统矩阵转化为对称形式，加速直接求解器（如MUMPS）的运算。
- 源项处理：提出在网格边缘直接注入电流密度（方程50-52），替代传统近似方法。

2. 软件实现与功能模块

CUSTEM基于FEniCS开源有限元库，采用Python编写，模块化设计包括：
- MeshGen：支持地形与地下结构的非结构化四面体网格生成（依托TetGen与PyGIMLi）。
- FEM核心：实现上述四种算法，支持高阶多项式（如P2单元）和各向异性参数。
- 后处理：提供场值插值、可视化及与解析解（PyHED库）的对比工具。

3. 验证与性能测试

通过四个案例验证工具箱的可靠性：
- 案例1：半空间模型中的水平电偶极子（HED），对比解析解（PyHED、Dipole1D）与E场法结果（图4），误差%（远区）。
- 案例2：三层模型中的扭曲回线源，P2单元在粗网格下即实现高精度（图5），计算效率优于P1（表1）。
- 案例3：含各向异性异常体的总场与二次场交叉验证，四种方法结果一致性达99%（图8-9）。
- 案例4：地形与导电岩脉模型，展示对实际勘探场景的适用性（图10）。

主要结果与贡献

1. 算法性能：

   • P2单元在粗网格下精度优于P1细网格，计算资源降低50%（表2）。
     
   • H场法在仅需磁场时节省20-50%时间，尤其适合航空电磁数据。
     

2. 开源价值：
   CUSTEM是首个支持高阶元、各向异性、任意源类型的CSEM开源工具，代码与文档公开（GitLab及ReadTheDocs），便于社区验证与扩展。

3. 应用潜力：

   • 支持三维反演开发，如通过总场法生成背景场，再以二次场法加速反演。
     
   • 可扩展至瞬变电磁（TEM）或大地电磁（MT）模拟。
     

结论与意义

科学价值：
- 解决了复杂三维CSEM建模中精度与效率的平衡问题，为多物理场耦合模拟提供基础。
- 提出的H场法与对称矩阵重构策略为电磁正演算法设计提供新思路。

工程意义：
- 降低三维电磁勘探的数值模拟门槛，尤其适用于矿产勘探（如DESMEX项目）与海洋资源调查。
- 模块化设计支持自定义扩展，如自适应网格优化或新边界条件（如PML）的集成。

研究亮点

1. 方法创新：首次在有限元中实现二次磁场表述，并开发边缘元电流注入技术。
   
2. 开源贡献：填补了三维CSEM建模开源工具的空白，代码可复现性高。
   
3. 跨验证可靠性：四种独立算法结果一致，为后续研究提供可靠基准。
   

局限与展望：
当前迭代求解器效率待优化，未来可结合预条件技术（如Krylov子空间法）进一步提升大规模计算能力。

（注：因篇幅限制，部分细节如数学推导、代码示例等未完全展开，可参考原文附录及补充材料。）