这篇文档属于类型a，即报告了一项原创性研究。以下是针对该研究的学术报告：

作者及机构
本研究的作者包括Junmin An（韩国首尔西江大学数学与数据科学研究所）、Nathan Kaplan（美国加州大学欧文分校数学系）、Jon-Lark Kim（韩国首尔西江大学数学与数据科学研究所，通讯作者）、Jinquan Luo和Guodong Wang（中国武汉华中师范大学数学与统计学院及湖北省数学重点实验室）。研究成果发表于2023年12月的《Journal of LaTeX Class Files》（第1卷第2期）。

学术背景
本研究属于编码理论（coding theory）领域，聚焦于二进制线性码（binary linear codes）的最短自正交嵌入（shortest self-orthogonal embeddings）问题。自正交码（self-orthogonal codes）因其在组合设计、格理论、图论及量子纠错码（quantum error-correcting codes）中的广泛应用而备受关注。然而，如何将一个给定的二进制线性码通过最短的列扩展嵌入到自正交码中，此前缺乏系统性研究。本研究旨在填补这一空白，通过利用码的核（hull）性质，提出通用解决方案，并以汉明码（Hamming codes）和里德-穆勒码（Reed-Muller codes）为例验证理论。

研究流程
1. 理论框架构建
- 定义了自正交嵌入（SO embedding）的数学形式：对于一个二进制线性码( C )，其自正交嵌入是通过在生成矩阵（generator matrix）中添加最少的列，使其扩展为一个自正交码的生成矩阵。
- 引入核（hull）的概念：( \text{hull}© = C \cap C^\perp )，即码与其对偶码的交集。通过核的维度( \ell = \dim(\text{hull}©) )，将问题分类为( k - \ell )为奇数或偶数两种情况。

1. 核心定理证明

   • 定理III.7：若( k - \ell )为奇数，最短自正交嵌入长度为( n + k - \ell )；若( k - \ell )为偶数，长度可能为( n + k - \ell )或( n + k - \ell + 1 )，具体取决于码的奇偶性。
     
   • 算法开发：提出两种算法（Algorithm 1和Algorithm 2），用于将汉明码嵌入到自正交码中。Algorithm 1通过穷举搜索生成矩阵的扩展列，Algorithm 2则将核的基转化为标准正交基。
     

2. 实例验证

   • 汉明码( H_4 )：通过穷举搜索发现其最短自正交嵌入为自对偶码（self-dual code），包括一个[22, 11, 4]码和一个极值（extremal）[22, 11, 6]码（即缩短的高莱码（shortened Golay code））。
     
   • 汉明码( H_5 )：构造了一个新的[52, 26, 8]自对偶码，接近极值（near-extremal）。
     
   • 里德-穆勒码：证明当( \lfloor (m-1)/2 \rfloor < r \leq m-2 )时，最短自正交嵌入长度为( 2k + 1 )。
     

3. 应用拓展

   • 利用最短自正交嵌入方法，构造了维度7和8的最优自正交码（optimal self-orthogonal codes），部分参数（如[91,8,42]、[98,8,46]）为首次发现。
     

主要结果
1. 理论成果
- 证明了最短自正交嵌入长度的通用公式，解决了此前仅适用于低维码（维度≤6）的局限性。
- 揭示了汉明码的最短嵌入必为自对偶码，并建立了汉明码与高莱码的构造联系。

1. 算法与构造

   • Algorithm 2通过正交矩阵（orthogonal matrices）将核基转化为标准正交基，显著减少了穷举搜索的计算量（如( H_4 )的搜索空间从( |O(7,2)| = 9 \times 2^5 \times 7! )压缩至288个代表元）。
     
   • 新构造的[52,26,8]和[22,11,6]码展示了方法的有效性。
     

2. 数据支持

   • 表格I和II列出了维度7和8的最优自正交码参数，对比了已有文献结果，并标注了新增的码（如[114,8,54]和[191,8,94]）。
     

结论与价值
1. 科学意义
- 为自正交码的构造提供了统一的理论框架，扩展了Pless、Calderbank等前人的工作。
- 通过核维度与码奇偶性的关联，深化了对自正交嵌入结构的理解。

1. 应用价值
   
   • 新构造的码可应用于量子纠错（CSS构造）和组合设计。例如，[22,11,6]缩短高莱码在量子通信中具有潜在用途。
     
   • 开源算法（如Magma实现）为编码理论研究者提供了实用工具。
     

研究亮点
1. 理论创新：首次将核维度与嵌入长度关联，解决了高维码的嵌入问题。
2. 方法新颖：结合正交矩阵与Gram-Schmidt正交化（Algorithm 2），提升了计算效率。
3. 构造突破：发现多个新参数的最优自正交码，部分填补了文献空白（如[91,8,42]）。

其他价值
- 附录中提供了新码的生成矩阵（十六进制格式），便于同行验证与应用。
- 对里德-穆勒码的嵌入分析为非线性码研究提供了新视角。

此报告全面涵盖了研究的背景、方法、结果与意义，适合向中文读者介绍这一编码理论的重要进展。