这篇文档是发表在Journal of Fluid Mechanics期刊（2026年，卷1029）上的一篇学术研究论文，标题为“Transformations of velocity and temperature for compressible turbulent boundary layers from subsonic to hypersonic regimes”。它报告了一项单一的原创新研究，属于类型a。

关于可压缩湍流边界层速度与温度变换方法的研究报告

一、 研究团队与发表信息

本研究由来自中国科学技术大学现代力学系的Xiang Zhang、Zi-mo Liao、Zhiye Zhao、Chenyue Xie、Nan-sheng Liu和Xi-yun Lu，以及来自宁波东方理工学院浙江省工业智能与数字孪生重点实验室的Yuntian Chen，和香港科技大学机械及航空航天工程系的Zhiye Zhao共同完成。通讯作者是Chenyue Xie、Yuntian Chen和Xi-yun Lu。该研究已于2025年10月15日提交，并于2026年1月8日被接受发表。

二、 学术背景与研究目标

本研究属于流体力学，特别是高速可压缩湍流领域。高速飞行器（如超音速和高超音速飞机）的设计高度依赖于对可压缩壁面湍流的深刻理解，因为它直接影响表面摩擦阻力和热传递。其中的一个核心挑战是如何准确建模可压缩湍流边界层中的平均速度和平均温度剖面。当流动速度从亚音速跨越到高超音速，并且壁面存在显著热交换（冷却或加热）时，剧烈的压缩性和热效应使得平均速度和温度剖面严重依赖于马赫数和壁面热边界条件，难以建立普适的“标度律”。

传统的解决方案是基于Morkovin假设发展“变换”方法，将可压缩的平均剖面“映射”到其不可压缩的对应形式上。多年来，研究者们提出了多种速度变换（如Van Driest变换、Trettel–Larsson变换、Griffin–Fu–Moin变换等）和温度变换。然而，这些方法在不同马赫数和热边界条件下各有优劣，尤其是在高马赫数、强冷却条件下，现有变换的精度和鲁棒性仍有待提高。同时，现有的温度预测方法（如广义雷诺类比）通常需要边界层外缘的速度和温度条件，这在复杂实际流动中难以准确获取。

因此，本研究的主要目标是：发展一套新颖的“混合变换”框架，能够更鲁棒地将从亚音速到高超音速、不同壁面热条件下的可压缩平均速度和温度剖面，坍缩到不可压缩的通用形式上。为实现这一目标，研究引入了一种物理信息符号回归方法，以数据驱动的方式发现变换公式中待定的映射函数。最终，利用这些“逆变换”，仅使用壁面条件即可高精度地预测出完整的可压缩平均速度和温度剖面。

三、 详细工作流程

本研究的工作流程逻辑清晰，可分为四个主要步骤：

1. 理论框架构建：提出混合变换公式 研究人员首先从简化的平均动量方程和能量方程出发。他们指出，可压缩湍流的层状结构（粘性底层、缓冲层、对数层）需要针对不同层采用不同的有效标度。受Griffin-Fu-Moin（GFM）混合变换思想的启发，本研究分别针对速度和温度提出了更通用的混合变换公式。

• 对于速度变换： 提出的混合速度变换（Hybrid Velocity Transformation）公式如式(2.8)所示。其核心思想是：在缓冲层及以下区域，引入一个“本征压缩性”修正项φ_ic来考虑高马赫数下湍流结构的变化，该修正基于Hasan等人的工作；在对数层，则使用一个待定的映射函数g^1_u来描述速度的变换关系。公式通过一个加权和的形式，平滑地连接了这两个区域的标度，其中权重由修正后的剪切应力τ^+_c控制。
• 对于温度变换： 提出的混合温度变换（Hybrid Temperature Transformation）公式如式(2.15)所示。其结构类似于速度变换。在粘性底层附近，采用Cheng & Fu提出的“马赫不变”函数φ_st / Pr作为有效标度；在对数层，则使用另一个待定的映射函数g^1_t。公式通过φ_st / Pr作为权重，连接了这两个区域的标度。

至此，问题的关键转化为：如何确定对数层的映射函数g^1_u和g^1_t？传统的基于纯物理推导的方法遇到瓶颈，因此研究进入了第二步。

2. 数据驱动的函数发现：物理信息符号回归方法 为了解决上述问题，本研究提出并应用了一种新颖的物理信息符号回归方法。这是一个将物理先验知识与机器学习相结合的创新算法。

• 数据集： 研究收集了25个已发表的直接数值模拟案例，构成了一个全面的数据库。这些案例的自由来流马赫数覆盖0.5至8，壁面温度与恢复温度之比覆盖0.25至1（包括绝热壁、弱冷却、中等冷却和强冷却条件），摩擦雷诺数在443至1947之间。从中选取了7个具有代表性的案例作为训练集，用于发现映射函数；其余案例作为测试集，用于评估模型的泛化性能。
• PISR算法流程： 算法目标是自动发现g^1_u和g^1_t的函数表达式。
  • 符号库定义： 首先，基于物理知识预定义一个符号库，包含可能相关的变量（如ρ^+, t^+, μ^+, y^+, y^*等）和运算符（×, ÷, √, ∂, +等）。
  • 函数生成与评估： 采用一个长短期记忆智能体从符号库中采样，生成候选的映射函数（以二叉树结构表示）。将这些候选函数代入步骤1中构建的混合变换框架，计算训练集上变换后的平均剖面与不可压缩参考剖面之间的误差。
  • 奖励与优化： 定义一个奖励函数（如式(3.3)，奖励值与误差成反比）。利用风险寻求策略梯度方法，根据候选函数的奖励值来优化LSTM智能体，鼓励其生成更优的函数形式。这个过程迭代进行（100个训练周期）。
  • 物理信息约束： “物理信息”体现在两个方面：一是搜索被约束在混合变换框架的对数层部分，极大缩小了搜索空间；二是符号库的构建基于流体力学知识。这保证了发现的函数具有物理可解释性，而非黑箱模型。

3. 模型确定与性能评估 经过PISR训练，得到了最优的映射函数： * g^1_u = (ρ^+ dy^*/dy^+)^{0.25} * g^1_t = μ^+ dy^/dy^+ + (d√(du^+/dy^+)/dy^+) dy^/dy^+

将这两个函数分别代入步骤1的混合变换公式，最终得到了完整的HT-U（混合速度变换）和HT-T（混合温度变换）模型（式(3.6)和(3.7)）。

随后，研究在完整的测试集上系统评估了新模型，并将其与当前最先进的方法进行对比，包括速度变换中的GFM变换、HLPP (Hasan等人) 变换，以及温度变换中的ST (Cheng & Fu, 马赫不变型) 变换、TL-T (Huang等人， Tretell-Larsson型) 变换。

4. 逆向预测模型构建 研究的最终应用是构建预测工具。利用得到的HT-U和HT-T变换，研究者推导了其逆变换公式（式(4.3)和(4.4)），称为I-HT-U/T模型。该模型仅需输入壁面条件（摩擦速度u_τ、壁面热流q_w、壁面温度T_w和密度ρ_w，可归约为无量纲参数m_τ和b_q），通过数值迭代求解，即可逐点预测出从壁面到边界层内部的平均速度u^+和温度t^+剖面。研究将此模型与需要边界层外缘条件的逆向GFM变换+广义雷诺类比模型进行了对比。

四、 主要研究结果

1. 速度变换结果： * 剖面坍缩效果： HT-U变换成功地将所有测试案例（Ma=0.5~8, Tw/Tr=0.25~1）的平均速度剖面坍缩到了不可压缩的壁面律上，效果显著优于GFM和HLPP变换。特别是在高马赫数、强冷却条件下（如Ma=8, Tw/Tr=0.25），GFM变换在对数层会出现明显下偏，而HT-U变换通过PISR发现的g^1_u有效纠正了这一偏差。 * 误差分析： 在整个数据集上，变换后速度剖面的平均积分百分比误差ε_u，HT-U模型仅为0.96%，远低于HLPP的4.98%、数据驱动的VIPL变换的1.91%和GFM的1.67%。研究进一步通过“修正的GFM”变换（仅加入φ_ic修正）验证了本征压缩性修正对改善缓冲层精度（消除上偏）的关键作用，而g^1_u则负责改善对数层的精度（消除下偏）。

2. 温度变换结果： * 梯度与剖面预测： 由于温度剖面在冷壁条件下可能存在非单调性（出现峰值），直接比较变换后的温度剖面存在困难。研究比较了变换后的温度梯度乘以半局部坐标y^*φ。结果显示，ST变换在粘性底层附近表现更好，TL-T变换在对数层表现更好，而HT-T变换在整个内层区域都表现出色，继承了ST在近壁区的优势，并通过g^1_t改善了对数区的性能。 * 温度剖面预测： 通过逆向变换预测的平均温度剖面与DNS数据高度吻合。HT-T模型预测的温度峰值误差很小（例如，Ma=8, Tw/Tr=0.25时，峰值处相对误差仅1.21%）。在整个数据集上，预测温度剖面的平均积分百分比误差ε_t，HT-T模型为2.97%，优于ST模型的11.02%和TL-T模型的5.76%。一个使用g^1_t = μ^+ dy^*/dy^+的简化混合变换HT-TL也表现良好（ε_t=3.27%），但HT-T中PISR发现的附加小项在超高音速工况下带来了进一步的小幅提升。

3. 逆向预测模型结果： * 仅用壁面条件的预测： I-HT-U/T模型仅使用壁面条件，成功预测了从亚音速到高超音速各种热条件下的速度和温度剖面。其预测精度与需要使用边界层外缘信息的I-GFM/GRA模型相当，甚至在强冷却条件下更优。 * 对输入条件的鲁棒性： 研究特别对比了当I-GFM/GRA模型的外缘条件存在10%误差时（I-GFM/GRA-0.9模型）的表现。结果显示，该模型的预测误差显著增大，表明其对边界层边缘条件的准确性非常敏感。而I-HT-U/T模型完全规避了这一问题，仅依赖于相对更容易获取或估算的壁面条件，在工程应用上具有巨大优势。 * 综合误差： 对于预测的速度剖面，I-HT-U/T模型的平均ε_u为0.70%，优于I-GFM/GRA的1.35%。对于预测的温度剖面，两者精度相当（ε_t分别为2.297%和2.300%），但I-HT-U/T不依赖外缘信息。

五、 结论与研究价值

本研究成功发展了一套基于物理信息符号回归的混合变换框架（HT-U和HT-T），用于可压缩湍流边界层的平均速度和温度剖面建模。主要结论如下：

1. 模型优越性： HT-U和HT-T变换在广泛的可压缩流动条件下（Ma 0.5-8, Tw/Tr 0.25-1），在将剖面坍缩至不可压缩形式方面，精度显著超越了现有的先进方法。
2. 方法论创新： 提出的物理信息符号回归方法，巧妙地将领域知识（混合变换框架、半局部坐标）与数据驱动的函数发现相结合，为复杂流体力学中的公式发现提供了新范式。它不仅提升了精度，还保证了发现公式的物理可解释性。
3. 实用预测工具： 基于逆变换构建的I-HT-U/T模型，实现了仅利用壁面条件即可高精度预测整个内层平均场的目标。这为解决工程实际中边界层外缘参数难以确定的关键难题提供了强有力的工具，具有重要的应用价值。

科学价值在于深化了对可压缩湍流中标度律和层间匹配机制的理解，证明了结合物理洞察与机器学习在发现本构关系方面的巨大潜力。应用价值在于为高速飞行器的气动热力学设计、湍流模型（如RANS、LES）的近壁处理提供了更精确、更便捷的预测方法和理论支撑。

六、 研究亮点

1. 首创的混合变换框架与PISR结合： 首次提出将用于不同湍流分层的“混合”思想与符号回归机器学习相结合，以发现最优映射函数，这是方法论上的重要创新。
2. 高精度与强鲁棒性： 新模型在从亚音速到高超音速、从绝热壁到强冷壁的宽广参数范围内，实现了当前最高的变换和预测精度。
3. 仅依赖壁面条件的预测能力： 逆向I-HT-U/T模型消除了对边界层外缘信息的依赖，这是一个关键的工程实用性突破。
4. 物理可解释的机器学习： PISR发现的函数形式简洁（如(ρ^+ dy^*/dy^+)^{0.25}），并能与现有物理认知（如半局部涡量标度）联系起来，不是黑箱模型，易于被流体力学界接受和验证。

七、 其他有价值的内容

研究在附录中讨论了与其他马赫不变函数结合的可能性，展示了混合框架的灵活性。同时，作者也指出了当前工作的局限性与未来方向，例如：在更高马赫数下密度-温度关系需要重新检验；模型在通道流、压力梯度流等其他构型中的推广需进一步验证；以及需要发展更鲁棒的方法处理温度剖面的不连续性等。这些为后续研究指明了道路。此外，研究提供的完整数据集和模型对比，为领域内的基准测试提供了重要资源。