本文旨在介绍一篇题为《Large-Signal Stability Analysis of Two-Stage Cascaded DC/DC Converter Systems Using Sum-of-Squares Programming》的学术论文，该文发表于《IEEE Transactions on Power Electronics》期刊2024年2月第39卷第2期。该论文的主要作者包括Qingchao Song（宋青超）、Jiawei Chen（陈佳薇，通讯作者）、Ka-Hong Loo（卢嘉康）、Jie Chen（陈杰）和Pengwei Chen（陈鹏伟）。作者们分别来自香港理工大学电气与电子工程系、重庆大学自动化学院以及南京航空航天大学自动化学院。该研究获得了香港创新科技署大学中游研究计划、中国国家自然科学基金以及台达电力电子科教发展计划的资助。这是一篇关于两级串联直流/直流变换器系统大信号稳定性分析的原创性研究论文。
该研究的学术背景聚焦于电力电子与电力系统稳定性分析领域，具体针对直流分布式供电系统。这类系统因其配置灵活、效率高和功率密度大等优点而受到广泛关注。其中，级联的DC/DC变换器系统是一种典型结构。然而，系统中受到严格调节的负载（如紧密控制的功率变换器）通常表现为恒功率负载特性，呈现出负的输入阻抗。这种负阻抗特性可能导致电源与负载之间产生不利的交互作用，从而破坏整个级联系统的稳定性，即使每个单独的子系统自身都能正常工作。因此，分析并确保包含恒功率负载的级联DC/DC变换器系统的稳定性，尤其是应对大扰动（如大负荷投切、系统启动、故障等）时的大信号稳定性，成为一个关键挑战。现有的稳定性分析方法主要分为小信号方法和大信号方法两类。小信号方法（如奈奎斯特判据、特征值法、阻抗判据等）基于系统稳态工作点的线性化模型，虽然易于使用，但无法分析系统在大扰动下的稳定性。而现有的大信号分析方法，如时域仿真法、相平面法、李雅普诺夫稳定性理论、人工智能方法、混合势函数理论以及吸引域估计方法等，各自存在局限性。例如，时域仿真法无法提供稳定性边界以指导参数设计；相平面法仅适用于低阶系统；李雅普诺夫理论缺乏统一的李雅普诺夫函数构造方法；人工智能方法依赖训练数据，泛化能力有限；混合势函数理论在考虑控制系统动态时可能不满足其基本条件；而吸引域估计方法的关键在于寻找系统在平衡点处最大估计吸引域，这对于高阶强非线性系统十分困难。特别是，现有的吸引域估计方法如T-S模糊模型法和线性矩阵不等式优化法，或存在“维度灾难”问题，或结果较为保守。因此，本研究旨在解决上述难题，提出一种基于李雅普诺夫稳定性理论和平方和规划技术的大信号稳定性分析方法，以更准确地分析级联DC/DC变换器系统的大信号稳定性，并全面评估系统参数（包括内环控制参数）对稳定性的影响，从而为系统参数设计提供实用指导。
本研究的工作流程可以分为以下几个主要步骤：首先是问题建模与理论框架构建，其次是所提出的改进SOS规划算法的详细阐述，然后是基于此算法对一个具体级联DC/DC变换器系统进行稳定性分析与参数影响研究，最后通过搭建实验平台验证分析结果的有效性。
第一步，问题建模与理论框架构建。 研究首先将非线性自治动力系统的吸引域估计问题，基于李雅普诺夫稳定性理论，形式化为一个优化问题。其核心思想是：对于一个在平衡点渐近稳定的系统，寻找一个李雅普诺夫函数V(x)和一个正数c，使得集合 {x | V(x) ≤ c} 尽可能大，并且该集合内的轨迹都能收敛到平衡点。为了量化“尽可能大”，引入一个正定的形状函数p(x)和一个标量β，目标是最大化β，使得区域 {x | p(x) ≤ β} 包含在 {x | V(x) ≤ c} 内。通过SOS规划技术，可以将这个包含约束、李雅普诺夫函数正定性及其导数负定性的条件，转化为一系列关于SOS多项式的约束条件，从而将一个非线性的稳定性分析问题转化为一个可解的SOS优化问题。论文中给出了具体的优化问题数学表述。
第二步，提出改进的SOS规划算法。 由于第一步中得到的SOS优化问题本质是非线性的，无法直接用MATLAB的SOSTools工具箱求解。因此，本研究提出了一个创新的、包含初始化及五个处理步骤的迭代算法。初始化阶段包括：1）通过计算系统雅可比矩阵并判断其是否为赫尔维茨矩阵，来确认系统在小信号层面是否稳定；2）选择合适的初始多项式l1(x), l2(x), p0(x)和v0(x)，其中v0(x)基于线性化系统的李雅普诺夫方程解出；3）设定各种算法参数，如c和β的上下限、多项式阶次、精度容差、最大迭代次数等。五个核心步骤构成两个嵌套的循环（p-迭代循环和c/β-迭代循环）以及一个提升李雅普诺夫函数阶次的外循环。具体为：步骤1（C迭代）： 固定当前的李雅普诺夫函数V(x)和形状函数p(x)，以及一个较小的β初始值，通过二分法在[c_min, c_max]区间内寻找满足SOS约束的最大c值。这解决了一个以SOS多项式s6, s8, s9为决策变量、以c为优化目标的可行性问题。步骤2（β迭代）： 固定V(x)、p(x)和上一步找到的c值，通过二分法在[β_min, β_max]区间内寻找满足SOS约束的最大β值，并记录下对应的SOS多项式解。步骤3（更新V和p）： 固定p(x)、c、β以及步骤2得到的SOS多项式，求解一个新的SOS优化问题，以找到一个满足所有约束（包括V(x)本身为SOS、V(x)正定以及包含约束和导数约束）的李雅普诺夫函数V(x)。然后用新找到的V(x)除以c来更新形状函数p(x)，使其反映当前估计吸引域的形状。步骤4（p-迭代循环收敛判断）： 检查更新后的p(x)与上一次的p(x)之间的差异是否小于设定容差，或达到最大迭代次数。若未收敛，则用新的p(x)和V(x)返回步骤1，开始新一轮的c和β寻优，以进一步扩大估计的吸引域。若收敛，则进入步骤5。步骤5（提升V(x)阶次）： 如果当前设定的李雅普诺夫函数最大阶次deg(v)尚未达到上限，则将其增加2阶，然后返回步骤1，用更高阶的多项式重新进行优化，以期获得更大的吸引域估计。若已达到上限，则算法终止，输出最终的李雅普诺夫函数V_hat(x)和对应的c_hat，系统的最大估计吸引域即为 {x | V_hat(x) ≤ c_hat}。这个算法通过迭代更新形状函数和李雅普诺夫函数，并允许增加多项式阶次，有效地搜索并扩大了系统的稳定区域。
第三步，具体系统的稳定性分析与参数研究。 研究以一个包含电压控制Buck/Boost变换器和理想恒功率负载的级联系统为例。首先建立了系统的三阶非线性状态空间模型（状态变量为电感电流x1、输出电压x2和电压控制器积分状态x3），并计算了其平衡点。为了应用SOS规划，对模型中非多项式项（分母中的x2项）进行了适当的数学处理，将其转化为多项式约束形式。然后，利用提出的改进SOS规划算法，求解了对应的SOS优化问题。算法参数如表II所示。为了定量评估稳定性，论文还定义了一个新的大信号稳定性评价指标LLSE(x0) = c_hat / V_hat(x0)，该值大于1表示初始状态x0在LEDOA内，系统能稳定；值越大，稳定裕度越大；小于等于1则表示可能失稳。分析在满载条件下进行。作为对比，同时采用了文献中的T-S模糊模型法和LMI优化法来估计同一系统的LEDOA。
第四步，实验验证。 为了验证理论分析的有效性，在实验室搭建了一个3kW的级联DC/DC变换器系统实验平台。平台包括基于MOSFET的Buck/Boost变换器、基于DSP TMS320F28335的数字控制系统、可编程直流电源和可编程直流电子负载。系统参数与理论分析所用参数一致。实验通过突加负载的方式，观察系统从不同初始功率（如1.6kW, 1.5kW）阶跃到满载3kW时的动态响应，并将实验结果（稳定边界）与理论预测的LEDOA进行对比。此外，还通过改变关键参数（如减小电感L、增加电容C、减小电压环比例系数Kvp）进行了多组实验，以验证参数影响分析的结论。
本研究取得了一系列具体而重要的结果。在LEDOA估计精度方面： 如表III所示，对于所研究的系统，在满载条件下，本文提出的SOS规划方法得到的系统最大稳定边界约为1.7kW，而T-S模糊模型法和LMI优化法得到的结果分别约为2kW和1.8kW。实验测得的实际最大稳定边界约为1.6kW（负载从1.6kW突增至3kW时系统仍能保持稳定，但从1.5kW突增则失稳）。这表明，本文提出的方法在三种理论方法中与实验结果最为接近（误差约100W，论文分析误差主要源于未建模的开关器件寄生损耗带来的额外阻尼），其保守性低于T-S模糊模型法，准确性优于LMI优化法，验证了所提方法在降低保守性、提高估计精度方面的优势。
在参数影响分析方面： 图5展示了利用所提方法分析不同参数对系统LEDOA影响的結果。研究发现：1）减小电感L、减小电压环比例系数Kvp或减小积分系数Kvi，或者增大电容C，都会使系统的LEDOA增大，即大信号稳定性增强。2）参数L、C和Kvp的变化对LEDOA尺寸的影响更为显著，而Kvi的影响相对较小。由此得出结论：L、C和Kvp是影响系统大信号稳定性的主导参数。这一发现为工程实践提供了直接指导：为确保系统在大扰动下的稳定运行，可以采取增大滤波电容C，或减小电感L和电压环比例系数Kvp的策略。
在实验验证结果方面： 实验结果与理论分析高度吻合。图7(a)和(b)分别展示了负载从1.6kW和1.5kW突增至3kW时的实验波形。前者系统最终稳定但暂态振荡较大，后者系统失稳发散，证实了理论预测的稳定边界在1.6kW附近。图8将对应的状态轨迹与理论计算出的LEDOA绘制在同一相平面上，可以直观看到，稳定案例的状态轨迹收敛于平衡点内，而不稳定案例的轨迹则发散到LEDOA之外。此外，改变参数后的实验（图9、10、11）进一步验证了参数分析结论：当L减小2%时，稳定边界降至约0.7kW；当C增大2%时，稳定边界降至约0.5kW（此处“降至”应结合具体实验条件理解，论文意在对比参数改变前后的边界变化趋势，原文图10显示C增大后系统更易失稳，这与理论分析中“增大C使LEDOA增大”的结论需对照上下文理解，可能实验展示了特定扰动下的临界功率）；当Kvp减小2%时，稳定边界约为1kW。这些结果均表明，调整这些主导参数确实会显著改变系统的大信号稳定性边界，且变化趋势与理论分析一致。
本研究的结论是，成功提出了一种基于李雅普诺夫稳定理论和平方和规划技术的、适用于级联DC/DC变换器系统的大信号稳定性分析方法及相应的稳定性评价指标。实验证明，与T-S模糊模型法和LMI优化法相比，该方法分析结果更精确。该方法不仅能够获取系统在大扰动下的最大稳定边界，从而深入理解系统暂态行为，还能全面分析包括内环控制参数在内的所有系统参数对稳定性区域的影响，并识别出主导参数。研究特别揭示了电压环比例系数Kvp对系统稳定性有重大影响，这一点是许多忽略控制环影响的传统方法所未能充分揭示的。该研究成果可为系统参数设计提供切实可行的指导，以确保系统在大扰动下的稳定运行。
本研究的亮点突出体现在以下几个方面：方法创新性： 提出了一种改进的、可求解非线性SOS优化问题的迭代算法，通过动态更新形状函数和李雅普诺夫函数，并允许提升多项式阶次，有效扩大了系统吸引域的估计范围，降低了传统方法的保守性。分析全面性： 首次将SOS规划方法系统性地应用于考虑完整电压控制环的级联DC/DC变换器大信号稳定性分析中，能够同时处理电路参数和控制参数，分析更为全面。结论实用性： 明确识别出了影响大信号稳定性的关键主导参数（L, C, Kvp），这一发现对工程实践具有直接指导价值，改变了以往仅关注电路参数或简单化处理控制环影响的局限性。验证充分性： 通过详细的实验测试，不仅验证了所提方法在稳定性边界预测上的准确性，还通过多组参数变化实验，有力地支撑了参数影响分析的结论，形成了完整的“理论分析-仿真验证-实验对照”研究闭环。
此外，论文中还包含一些有价值的细节，例如对现有各种大信号稳定性分析方法的优缺点进行了清晰的梳理和评述，指出了混合势函数理论在考虑控制动态时可能存在的适用性问题，这为读者深入了解该领域的研究现状和挑战提供了很好的背景材料。论文定义的大信号稳定性评价指标LLSE，将抽象的吸引域概念转化为一个直观的量化指标，便于工程人员快速评估系统在特定工作点切换下的稳定裕度。