本文介绍了一项由Jianghang Gua、Ling Wena、Yuntian Chen和Shiyi Chen等研究人员共同完成的研究，题为《基于格林函数的可解释算子逼近框架》。该研究由北京大学湍流与复杂系统国家重点实验室和宁波数字孪生研究院共同完成，并于2024年12月13日提交至《计算物理学报》（Journal of Computational Physics）。

研究背景与动机

近年来，深度学习在求解偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）中的应用引起了广泛关注。传统的数值方法如有限差分法、有限元法和有限体积法在处理复杂几何和高维问题时往往面临计算效率低下的挑战。相比之下，深度学习方法能够高效地处理不规则区域上的PDE求解问题，尤其在流体动力学、弹性力学、地震学等领域展现了巨大的潜力。

物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）和深度算子网络（Deep Operator Networks, DeepONets）是两种主要的深度学习求解PDE的方法。PINNs通过最小化PDE的残差来逼近解，但其缺点在于每次遇到新的边界条件时都需要重新训练网络，耗时较长。DeepONets则通过学习PDE的算子来避免重新训练，但其在高维问题中的训练成本较高，且缺乏物理约束，导致其可靠性不足。

为了解决这些问题，本文提出了一种基于格林函数（Green’s Function）和Volterra积分的可解释算子逼近框架，称为GreenONets。该框架通过引入物理约束，能够在低训练成本下处理任意给定的源项和边界条件，且无需重新训练网络。

研究方法与流程

GreenONets框架的核心思想是利用格林函数来表示PDE的解。格林函数描述了系统在单位脉冲激励下的响应，通过积分可以求解任意源项和边界条件下的PDE解。GreenONets的架构包括两个主要部分：主干网络（Trunk Net）和分支网络（Branch Net）。主干网络用于逼近未知的格林函数，而分支网络则用于处理用户定义的边界条件和源项。

具体流程如下： 1. 导入用户定义的网格和物理条件：首先，用户需要提供计算域的网格和物理条件。 2. 计算高斯积分点和权重：为了进行数值积分，GreenONets计算了网格内的高斯积分点及其权重。 3. 构建主干网络和分支网络：主干网络和分支网络采用二元结构神经网络（Binary Structured Neural Network, BSNN），用于学习格林函数及其梯度。 4. 域分解与并行计算：为了提高计算效率，GreenONets采用了域分解和并行计算策略。 5. Volterra积分：利用已学习的格林函数进行Volterra积分，计算PDE的解。 6. 输出计算结果：最终，框架输出计算得到的解，并通过最小化计算解与精确解之间的偏差来训练网络。

实验结果与验证

GreenONets在多个经典PDE问题上进行了验证，包括三维热传导方程、反应-扩散方程和Stokes方程。实验结果表明，GreenONets在处理不同边界条件和源项时表现出色，且在计算效率和精度上均优于现有的PINNs、DeepONets、PI-DeepONets和FNO（Fourier Neural Operator）等方法。

1. 热传导方程：在平板和鳍片管的热传导问题中，GreenONets能够准确捕捉温度分布，且在复杂几何条件下的表现尤为突出。
2. 反应-扩散方程：在异质反应-扩散问题中，GreenONets能够有效处理不连续的扩散系数，表现出良好的泛化能力。
3. Stokes方程：在三维腔体流动问题中，GreenONets成功捕捉了流体流动的主要特征，如中心涡流，且其计算精度显著高于其他方法。

结论与意义

GreenONets框架通过引入格林函数和物理约束，显著提高了PDE求解的效率和精度。与PINNs相比，GreenONets无需重新训练即可处理新的边界条件和源项；与DeepONets相比，GreenONets具有更强的可解释性和逼近能力。该框架在处理复杂几何和多物理场耦合问题时表现出色，为工程应用提供了强大的工具。

研究亮点

1. 首次实现了三维有界几何上的格林函数训练和方程求解。
2. 基于DeepONets架构，结合物理约束，显著提升了模型的性能。
3. 支持多种几何输入格式、边界条件和源项定义，适用于多种类型的方程求解。

未来展望

未来，研究团队计划将GreenONets扩展到非线性、多物理场耦合方程的求解中，进一步提升其在实际工程中的应用价值。

致谢

本研究得到了宁波市自然科学基金、中国气象局、国家自然科学基金以及宁波数字孪生研究院高性能计算中心的支持。