本文档属于类型a，是一篇关于轨迹优化新方法proxDDP的原创性研究论文，以下为详细学术报告：
一、作者与发表信息
本文由Wilson Jalle（隶属法国国家信息与自动化研究院INRIA-巴黎高等师范学院及法国国家科学研究中心LAAS）、Antoine Bambade、Etienne Arlaud、Sarah El-Kazdadi、Nicolas Mansard与Justin Carpentier（INRIA-巴黎高师团队）合作完成，发表于2025年《IEEE Transactions on Robotics》第41卷。研究得到法国国家研究署（ANR）及欧盟Agimus项目支持，并附开源代码库aligator与proxsuite-nlp。
二、学术背景与研究目标
1. 科学领域：本研究属于机器人运动规划与模型预测控制（Model-Predictive Control, MPC）领域，核心问题是约束轨迹优化（constrained trajectory optimization）。
2. 研究动机：传统差分动态规划（Differential Dynamic Programming, DDP）算法难以直接处理硬约束（如力矩限制、避障），现有方法如惩罚函数法存在数值稳定性差、计算效率低等问题。
3. 目标：提出proxDDP算法，结合近端方法（proximal methods）与DDP框架，实现高效、数值稳定的约束轨迹优化，适用于实时机器人MPC应用。
三、研究方法与流程
研究分为理论推导、算法设计、软件实现与实验验证四个阶段：
1. 理论框架构建
- 问题建模：将连续时间最优控制问题（OCP）离散化为非线性规划（NLP），形式化等式与不等式约束（如动力学约束、力矩限制）。
- 核心创新：提出增强拉格朗日（Augmented Lagrangian, AL）与近端点方法的融合框架，通过引入近端算子处理约束，避免惩罚函数法的数值病态问题。
- 动态规划扩展：基于DDP的Riccati递归，设计半光滑牛顿法（semismooth Newton method）以求解AL子问题，推导了包含对偶变量的对称线性系统（公式37）。
2. 算法开发
- proxDDP流程：
- 反向传播：计算价值函数梯度与Hessian矩阵，处理主动约束（active constraints）投影。
- 正向传播：支持线性与非线动力学展开（rollout），其中隐式动力学需牛顿迭代求解。
- 收敛判据：结合原始-对偶残差（primal-dual residuals）与非单调线搜索（nonmonotone linesearch）。
- 关键实现：开发C++库aligator，支持多线程（OpenMP）、李群状态空间及Pinocchio刚体动力学库集成。
3. 实验验证
- 测试对象：
- 仿真场景：带约束的LQR问题、UR10机械臂投掷任务（含接触动力学）、四足机器人Solo-12全身跳跃MPC。
- 真实系统：Solo-12在未知斜坡地形的实时行走控制（图1）。
- 对比基准：与IPOPT、ALTRO等求解器在UR5到达任务、Solo-12多接触任务中进行性能对比。
四、主要结果
1. 算法性能：
- 计算效率：在UR5任务中，proxDDP单次迭代平均耗时低于6ms（Mac M1 Ultra），优于IPOPT（图15）。
- 约束满足：精确处理硬约束（如机械臂末端位置误差<1e-4m），且无需初始可行解（图3）。
2. 四足机器人MPC：
- 在未建模地形扰动下，Solo-12实现稳定行走（图13），MPC频率达83Hz（12ms/步）。
3. 基准测试：
- 在UR10投掷任务中，proxDDP求解成功率95%（图18），而ALTRO因固定子问题容忍度设定表现不佳。
五、结论与价值
1. 理论贡献：统一了AL与DDP框架，首次实现结构化的原始-对偶轨迹优化算法，解决了硬约束处理与数值稳定的矛盾。
2. 应用价值：
- 开源库aligator为复杂机器人（如人形、多足机器人）提供实时MPC解决方案。
- 方法支持多接触、隐式动力学等复杂场景，填补了现有DDP变体（如Crocoddyl）的功能缺口。
六、研究亮点
1. 方法新颖性：
- 首次将半光滑牛顿方向与DDP的Riccati递归结合，避免AL方法的病态线性系统问题（公式13→38）。
- 提出动态规划视角的KKT算子（公式30），统一处理原始与对偶变量更新。
2. 工程创新：库设计支持自动微分兼容性与高精度浮点运算，为后续研究提供扩展接口。
七、其他价值
- 补充实验：附录讨论了与多射击法（multiple shooting）的等价性，并提出初始条件通用化扩展（附录B）。
- 社区影响：研究团队公开代码与基准测试框架，推动机器人控制算法的可复现性发展。
术语表
- 原始-对偶（primal-dual）：同时优化控制变量与拉格朗日乘子的方法。
- 半光滑牛顿法：针对非光滑函数（如AL函数）的广义牛顿迭代法。
- 主动集（active set）：当前被激活的不等式约束索引集合（公式12）。