本研究由来自北京工业大学电子信息与可靠性技术研究所的高放腾、陈沛*、秦飞三位研究人员合作完成，相关成果于2025年发表于第26届电子封装技术国际会议（ICEPT）的会议论文集中。

研究的学术背景 随着集成电路制造工艺不断逼近物理极限，“超越摩尔定律”通过异构集成来提升系统性能，已成为半导体行业未来发展的共识。然而，集成密度的提高导致单位面积热积累显著，给热管理带来巨大挑战，并引发时钟偏移、非预期电压降、焊点断裂等诸多互连可靠性问题。通过数值仿真获取互连结构内部温度、形变、应力的详细分布，是优化设计方案、提升封装可靠性的重要手段。

当前，有限元方法（Finite Element Method, FEM）是最广泛使用的数值计算方法，但由于其基于离散单元的计算特性，仍存在诸多固有局限。例如，刚度矩阵过刚、对单元网格质量要求苛刻、大规模仿真计算效率低下等。为了准确高效地评估电子封装结构在电热环境下的力学性能，提升微系统的互连可靠性，迫切需要开发用于求解多物理场耦合问题的新型数值计算方法。

为了克服无网格方法中直接节点积分导致的数值不稳定性，研究人员引入了梯度光滑技术，提出了稳定节点积分法。同时，为了缓解FEM中刚度矩阵过刚的问题并提高其计算精度和效率，学界将同样的梯度光滑技术与FEM结合，发展出了一类光滑有限元方法（Smoothed Finite Element Method, S-FEM）。与传统的FEM相比，S-FEM基于梯度光滑技术，在构建应变矩阵时不需要形状函数的导数或坐标映射，具有计算精度高、效率高、对单元畸变不敏感等优势。根据构造光滑域的策略不同，S-FEM可分为单元型、节点型、边型和面型四种子类型。其中，边型光滑有限元法（Edge-based Smoothed Finite Element Method, ES-FEM）作为S-FEM家族的重要成员，将无网格思想与传统FEM框架协同结合，以精度高、对网格畸变敏感性低、刚度响应更柔和而著称。本研究旨在将ES-FEM扩展至多物理场耦合应用，并针对硅通孔（Through-Silicon Via, TSV）结构的电-热-机械耦合仿真，提出一种新颖的算法，以期为封装设计中的多物理场耦合挑战提供一个稳健且创新的工具。

详细的研究流程 本研究主要包含理论阐述、算法构建、模型仿真与验证分析三个主要部分，具体流程如下：

1. 理论与算法构建 本部分是研究的理论基础和核心创新点。首先，研究明确了电-热-机械耦合分析的控制方程，包括描述电势场分布的拉普拉斯方程、描述温度场分布的热传导方程以及描述力学平衡的弹性方程，并给出了相应的边界条件（狄利克雷、诺伊曼、罗宾边界条件及力学位移边界条件）。基于伽辽金加权残值法，推导出了稳态电势场、温度场和位移场的离散化平衡方程。

随后，重点阐述了ES-FEM的基本原理。该方法的核心在于构造基于单元边的光滑域。对于内部边，其光滑域通过连接该边的两个端点与其相邻两个单元的形心构成；对于边界边，则连接该边的端点与唯一相邻单元的形心构成。研究采用最简单的Heaviside型光滑函数，通过将位移场用节点位移和形函数表示，并应用散度定理，最终将光滑应变表达为沿光滑域边界积分的形式，进而通过高斯积分简化为代数方程。这一过程避免了传统FEM中需要计算形函数导数的步骤，是ES-FEM拥有更柔和刚度矩阵和更高精度的关键。

接着，研究提出了一套完整的用于电-热-机械耦合仿真的新算法流程。该耦合分析流程遵循“电势场→温度场→应力场”的序列求解逻辑： * 电势场求解：根据电流传导原理，首先求解结构的电势分布。 * 焦耳热计算：根据求解得到的电势梯度，使用公式 ( p = \gamma |\nabla \phi|^2 ) 计算焦耳热功率密度，进而计算出每个ES-FEM光滑域产生的焦耳热通量 ( qj = p \times S{\omega} )。 * 热通量等效分配：这是一个关键步骤。由于ES-FEM的光滑域基于边构造，而热传导分析通常在节点上进行，因此需要将光滑域的热通量等效分配到相关节点上作为集中热载荷。研究针对边界边和内部边两种光滑域，详细推导了热通量分配到其关联节点的权重系数（例如，对于边界边关联的光滑域，分配到三个节点的权重分别为1/9, ⁴⁄₉, 4/9）。 * 温度场求解：将等效后的节点热载荷（包括焦耳热和边界对流换热）施加到系统，进行热传导分析，求解得到结构的温度场分布。 * 热应力计算：再次利用ES-FEM光滑域的概念，根据节点的温度插值得到光滑域高斯点处的温度变化 (\Delta t)，进而计算该光滑域的热应变 ( \varepsilon_t = \alpha \Delta t [1, 1, 0]^T )。最后，根据本构方程 ( \sigma = D(\varepsilon - \varepsilon_t) ) 计算光滑域的热应力，其中 (\varepsilon) 为该光滑域的机械应变。

2. 数值算例：TSV结构仿真 本研究选取先进封装中的硅通孔（TSV）结构作为验证算法有效性的案例。研究对象为一个二维简化模型，整体尺寸为0.2 mm × 0.075 mm，包含铜柱、硅、二氧化硅、低k介质、底部SnAgCu焊点和填充材料等多种材料。材料参数（如杨氏模量、泊松比、热膨胀系数、导热系数、导电系数）均从文献中引用并详细列出。

模型的边界条件设定为：底部焊点流入0.5 mA直流电流，顶部再分布层（RDL）流出；模型两侧施加对流换热边界条件，对流换热系数为0.03 mW/(mm²·K)，环境温度为20°C；力学边界条件为底部固定。

具体实施步骤如下： * 模型离散化：首先使用三角形单元对TSV结构进行网格划分，并在关键区域（如铜柱与周围材料的界面处）进行局部网格细化，生成背景网格。 * ES-FEM预处理：程序自动识别所有内部边和边界边，并基于这些边构造相应的光滑域，完成ES-FEM求解所需的预处理。 * 耦合仿真求解：按照上述提出的耦合算法，依次求解电势场、温度场和应力场。 * 对比分析：同时，使用传统的FEM在相同的三角形网格上对同一模型进行电-热-机械耦合仿真，以获得对比数据。

3. 数据处理与结果分析流程 研究通过对比ES-FEM和FEM的结果，从多个维度评估所提算法的性能： * 应力云图定性比较：首先绘制并对比两种方法得到的米塞斯（Mises）应力云图，观察应力集中区域。 * 场变量精度定量分析：为严格评估ES-FEM的精度，沿模型右侧边缘提取电势、温度和X方向位移的分布曲线，并与使用极细网格FEM计算得到的结果（作为参考基准）进行对比。 * 应力分量分析：进一步分析Y方向正应力（σy）的云图，并沿着中心铜柱左侧边界（定义为路径AB）提取σy的数值进行详细比较，以考察ES-FEM在应力分辨率方面的表现。

主要研究结果 1. 应力分布特征 米塞斯应力云图显示，无论是ES-FEM还是FEM，应力都主要集中在铜柱区域。这表明在电热载荷下，铜柱是TSV结构中机械可靠性的关键薄弱环节。σy应力云图进一步揭示，铜柱在Y方向承受着显著的压应力。

2. 算法精度优势 沿右侧边缘的场变量对比结果清晰表明，在使用相同网格密度的条件下，ES-FEM得到的电势、温度和位移分布曲线，比传统FEM得到的结果更接近于精细网格的参考解。这直接验证了ES-FEM在计算广义位移场（如电势、温度、位移）方面具有更高的精度。

3. 应力结果的一致性 尽管在位移场精度上ES-FEM更优，但沿着路径AB的σy应力分布对比显示，ES-FEM与FEM给出的结果几乎完全一致，应力分布趋势和数值大小都非常吻合。这一方面确认了ES-FEM求解应力场的可靠性，另一方面也说明在网格密度足够的情况下，两种方法都能捕捉到主要的应力特征。

4. 收敛性与鲁棒性 文中指出，ES-FEM比FEM具有更快的收敛速率。这意味着要达到相同的计算精度，ES-FEM可以使用更粗糙的网格，从而节省计算资源。同时，整个仿真流程的顺利实施及结果的一致性，也证明了所提出的耦合算法具有良好的数值鲁棒性。

结论 本研究成功将边型光滑有限元法（ES-FEM）引入多物理场耦合分析领域，并提出了一种新的算法用于求解TSV结构的电-热-机械耦合问题。数值试验验证了该方法的有效性，主要结论包括： 1. TSV结构在电热工作条件下，应力主要集中在铜柱区域，且铜柱承受显著的Y向压应力，这是可靠性设计的重点关注区域。 2. ES-FEM能够有效求解多物理场耦合问题，并且表现出优于传统FEM的数值鲁棒性和更快的收敛速率。 3. 即使网格密度不高，ES-FEM也能给出足够精确的广义位移场（电势、温度、位移）结果，为工程上的快速、高精度仿真提供了有力工具。

研究的价值与意义 科学价值：本研究将ES-FEM系统性地扩展到电-热-机械强耦合领域，不仅验证了其在多物理场问题中的适用性，还发展了一套完整的光滑域热-力载荷等效分配与序列耦合求解算法，丰富了S-FEM的方法论体系，为计算力学和数值仿真领域提供了新的思路。 应用价值：该研究直接面向先进封装（特别是涉及TSV的三维集成技术）中的可靠性设计难题。所提出的方法兼具高精度和计算效率，能够帮助工程师更快速、更准确地评估封装结构在复杂工况下的电热性能和机械可靠性，从而优化设计、预防失效，对推动高性能、高可靠集成电路的发展具有重要的工程实践意义。

研究的亮点 1. 方法创新：首次提出了将ES-FEM应用于电-热-机械全耦合仿真的完整算法框架，核心创新点在于解决了基于边光滑域的热通量（由焦耳热引起）向节点等效分配的关键技术问题，以及基于光滑域的温度和应力计算流程。 2. 性能优越：通过严格的对比实验证实，ES-FEM在计算广义位移场方面比传统FEM精度更高、收敛更快，且对网格畸变不敏感，特别适用于包含复杂几何和多种材料界面的封装结构仿真。 3. 问题导向：研究以先进封装中迫切的TSV可靠性问题为驱动，具有很强的现实针对性和应用前景，实现了理论方法创新与工程实际需求的紧密结合。 4. 流程详实：论文从基本理论、算法推导、实现细节到验证分析，提供了非常完整和透明的技术路径，具有很好的可复现性和参考价值。