这是一篇发表于2016年IEEE第66届电子元件与技术会议（2016 IEEE 66th Electronic Components and Technology Conference）的原创研究论文，标题为《一种用于电源分配网络设计与优化的新型封装可行性研究工具》（A Novel Package Feasibility Study Tool for Power Delivery Network Design and Optimization）。该研究的主要作者为Lei Zheng，其隶属于Rambus Inc.及俄勒冈州立大学（Oregon State University），其他作者Kevin Cai、Julia Cline和Arun Vaidyanath均来自Rambus Inc.。
研究背景 本研究聚焦于集成电路封装中的电源分配网络（Power Delivery Network，PDN）设计领域。封装PDN负责将电源连接到集成电路的电源和接地网络，其核心任务是为电路模块提供充足的电流和稳定的参考电压。然而，封装PDN的寄生电感会因瞬态电流变化而引发电压波动，过度的电压波动将导致系统性能下降。因此，在封装设计初期，精确且快速地提取PDN的环路电感（Loop Inductance）并检验其是否符合设计目标，是确保系统信号完整性和电源完整性的关键步骤。传统的电磁（Electromagnetic，EM）场求解器（如Sigrity和Q3D）虽然能处理复杂的三维几何结构并达到高精度，但其仿真过程极为耗时，并需要大量的计算资源。这在封装设计的早期布局规划阶段，尤其是在需要反复迭代和快速优化的可行性研究阶段，效率低下。为此，本研究提出了一种新颖的、基于解析闭合形式表达式（Closed-form Expressions）的PDN设计可行性研究工具，旨在实现高效且具备足够精度的电感提取。
研究工作流程与技术方法 本研究的核心工作流程围绕两个主要结构类型的闭合形式电感表达式开发展开：过孔（Via）结构和平面（Plane）结构。由于电流在这两种结构中空间流向正交，研究假定二者之间不存在互感耦合，因此可以分别独立计算，以降低问题复杂度。
首先是过孔电感计算的开发流程。研究基于部分自感和部分互感的基本公式，针对不同复杂度的过孔结构建立了电感矩阵。基础公式中，部分自感的计算考虑了过孔长度、半径和材料磁导率，并针对高频下的趋肤效应和邻近效应，将内部电感近似为零；部分互感则基于过孔间距和长度计算。对于最基本的过孔对，环路电感直接通过两个过孔的部分自感和互感求得。对于更复杂的结构，如去耦电容焊盘常见的三过孔结构，研究推导了基于电压变化和电流分布的环路电感公式，将环路电感表达为部分自感和互感的函数。这项技术被进一步扩展至封装配电网中典型的图案化过孔结构（Patterned Via Structures），例如具有非交替电流和交替电流的两列过孔图案，以及2地/1电源（2G/1P）和3地/1电源（3G/1P）的过孔图案。对这些结构，研究构建了n阶部分电感矩阵，通过设定电源过孔和地过孔分别并联连接、电流在同类过孔中均匀分布的边界条件，进行矩阵降阶，最终从总电压变化与总电流的比值中解析出环路电感。
其次是平面电感计算的开发流程。研究覆盖了三种典型平面形状：矩形平行板、微带线型和扇出形平面。对于前两种规则形状，研究直接采用了已有的任意平行矩形导体的部分自感和互感闭合表达式来计算环路电感。对于不规则扇出形平面的电感计算，是该部分的技术创新点。其方法首先对电源和地平面分别进行网格化剖分，将它们分割成n个单元。每个单元被近似为一个矩形平面，然后利用已有的闭合表达式计算每个单元上的部分自感和任意两个单元之间的部分互感。通过计算电源平面和地平面上每个单元的电压变化，并对所有单元的电压变化求和得到总电压变化，最终利用总电压变化、电流和角频率的关系推导出扇出形平面的环路电感。
为了验证这些闭合形式表达式的准确性，研究者设计了对比实验。他们针对表I所示尺寸的各种过孔图案和平面结构，将自研工具的计算结果与商业三维电磁仿真器Q3D的仿真结果进行了比较。验证完成后，该工具被应用于一个高速串行链路集成电路封装的实际案例中，以提取其完整的PDN电感。该案例中的PDN被分解为四个部分进行分别计算：凸点侧过孔电感（近似为五对并联过孔）、扇出形平面电感、矩形平面电感和BGA侧通孔过孔电感。各部分电感求和得到总体PDN环路电感。
主要研究成果 研究发现，在过孔电感计算方面，该工具的闭合表达式计算结果与EM仿真结果高度吻合。如表II所示，对于交替电流两列过孔图案，环路电感计算结果为348 pH，与Q3D仿真结果349.6 pH的误差仅为0.46%；对于非交替电流图案，误差为0.26%；对于2G/1P和3G/1P图案，误差分别为2.7%和1%。这一结果验证了公式在不同图案过孔结构下的精确性。同时，结果也量化证实了交替电流设计可显著降低电感（349.6 pH对比495.2 pH），其物理机理在于相邻电源和地过孔回路之间的磁通量相互抵消。
在完整的封装PDN电感提取案例中，该工具的总体计算结果为286.6 pH，与Q3D仿真结果274 pH相比，误差为4.5%，如表III所示。这一误差水平达到了与三维电磁场工具相同的精度量级。更为关键的是效率对比：三维电磁仿真需要数小时甚至数天来完成仿真和三维结构绘制，而本研究的可行性研究工具完成整个提取过程不足五分钟。此外，该工具还能将总环路电感分解为不同结构（如过孔、扇出形平面、矩形平面）的单独贡献，例如凸点侧过孔15.2 pH、扇出形平面130.4 pH、矩形平面36.7 pH和BGA侧过孔104.3 pH，这为设计者提供了明确的优化方向。
结论、价值与亮点 本研究的结论是，他们成功开发并验证了一种新型的、基于闭合形式表达式的封装PDN可行性研究工具。该工具可在Microsoft Excel等通用电子表格平台上编程实现，极大简化了设置和使用流程。
研究的科学价值在于提出了一种将复杂三维结构电感计算问题，通过部分电感理论和矩阵降阶方法，转化为高效解析计算的新方法。其应用价值则体现在为封装和系统协同设计的早期物理设计阶段提供了一个快速、准确的可行性研究工具，能够将电感提取时间从数小时/天缩短至几分钟，同时保持与三维电磁场工具同等的精度量级，从而显著减少封装设计者达成设计目标所需的反复试错。
本研究的亮点主要体现在三个方面：第一，方法的独创性，即针对不规则平面和复杂过孔图案开发了系统性的闭合形式解决方案；第二，工作的全面性，涵盖了实际封装PDN中几乎所有常见结构类型，并建立了一套从凸点到BGA全路径的电感分解与计算方法；第三，效率与精度的卓越平衡，实现了高达百倍的速度提升和4.5%以内的总体误差，对于工程实践中预布局优化具有重大实用意义。