本文是由瑞典隆德大学（Lund University）自动控制系的 Martin Gemborn Nilsson 与 Bo Bernhardsson 合作完成的原创性研究论文，发表于 Signal Processing 期刊第 250 卷（2027 年），文章编号为 110786。该研究属于信号处理与机器学习交叉领域，核心关注的科学问题是：如何在不引入额外超参数的前提下，增强多元时间序列的协方差矩阵表示，以提升基于黎曼几何的分类器性能。
协方差结构在时间序列分析、统计建模、控制、神经科学和金融等领域中具有核心地位。非奇异协方差矩阵构成对称正定（symmetric positive definite，SPD）矩阵空间。传统的欧氏距离（如 Frobenius 范数）往往无法捕捉 SPD 矩阵的内在不变性，因此研究者通常将 SPD 空间视为黎曼流形，并采用仿射不变黎曼（affine-invariant Riemannian，AIR）度量。然而，标准样本协方差矩阵（sample covariance matrix，SCM）仅捕获空间关系，忽略了时间动态信息。针对这一问题，已有方法如谱图（spectrogram）、多元 ARMA 过程、增广协方差矩阵（augmented covariance matrix，ACM）和功能性连接集成方法（FUCONE）等虽然能够提升分类精度，但往往引入了更多特征维度或额外超参数，增加了模型复杂度。
本研究的目标是通过希尔伯特变换（Hilbert transform）构造解析信号和希尔伯特增广信号，从而得到增强的协方差表示，使其在 AIR 度量下能够区分标准协方差矩阵无法区分的信号模式，同时保持分类器结构简单，不增加额外超参数。
本研究的核心方法建立在希尔伯特变换与黎曼几何的结合上。对于 n 元随机过程，其解析信号（analytic signal）定义为原信号与希尔伯特变换后信号的复数组合，而其协方差矩阵被称为解析协方差（analytic covariance，ACOV）。类似地，将原信号与希尔伯特变换后的信号拼接为 2n 元实信号，所得协方差矩阵称为希尔伯特增广协方差（Hilbert-augmented covariance，HACOV）。ACOV 属于 Hermitian 正定（Hermitian positive definite，HPD）矩阵空间，而 HACOV 属于具有特定块结构的 SPD 矩阵空间。
研究首先从理论层面分析了这两种表示之间的关系。作者定义了一个线性双射映射 R，将 HPD 矩阵空间中的 ACOV 映射到 SPD 矩阵空间中的 HACOV。通过酉变换 P 对角化 HACOV，证明了 ACOV 和 HACOV 在 AIR 度量下是等距的（仅相差常数因子 √2）。这意味着基于距离的分类器（如最小距离均值分类器）在两种表示下将得到完全相同的结果。
在分类流程方面，研究采用了两种分类器框架。第一种是最小距离均值（minimum distance to mean，MDM）分类器，它直接在黎曼流形上计算每个类别的 Fréchet 均值，并将未标记数据分配给距离最近的类别均值。第二种是切空间（tangent space，TS）分类器，它将所有数据点投影到全体数据的 Fréchet 均值处的切空间，然后在切空间中使用标准的机器学习分类器（例如逻辑回归，LR）进行分类。对于 ACOV 表示，切空间中的向量属于 Hermitian 矩阵空间，作者推导了保持 AIR 内积的列向量表示方法——将实部（对称矩阵）和虚部（斜对称矩阵）分别进行堆叠处理。这一方法被称为 TSH（tangent space with HPD representation）方法。
研究通过两个阶段的实验来验证方法有效性。第一个阶段是模拟数据实验。首先生成双变量时间序列段，两个分量均为相同频率的余弦信号，但相对相位服从不同分布，数据段长度为 T=1000，频率 f=5，加入方差为 0.12I 的白噪声。通过改变两个类别的相位分布参数（均值 μ 和标准差 σ），生成多个数据集，每个数据集包含每类 500 个样本，其中 10% 用于测试，重复 10 次取平均准确率。第二个阶段是真实脑电图（electroencephalography，EEG）数据实验，使用的是 BCI-IV 竞赛数据集 2a，包含 9 名受试者、4 类运动想象任务，每类包含左手、右手、脚和舌头四种运动想象，每个会话包含 288 个时长为 4 秒的试验段，采集自 22 个通道，采样率为 250 Hz。数据在 8–35 Hz 频段进行带通滤波后，分别使用三种协方差估计器（无偏样本协方差矩阵 SCM、Ledoit-Wolf 估计器 LW、Oracle Approximating Shrinkage 估计器 OAS）进行协方差估计。
在模拟数据实验中，标准协方差矩阵表示下，由于协方差的非对角元素与相位差的余弦成正比，无法区分相位差为 δφ 与 -δφ 的样本。ACOV 表示则能通过复指数 e^(-iδφ) 完整捕获相位信息，从而能够区分超前与滞后关系。从分类准确率的平均提升来看，ACOV 表示在相位均值相等的对角线上（μ₁=μ₂ 和 μ₁=-μ₂）提升最为显著，这些区域正是标准协方差表示分类性能最差的区域。这一结果从几何角度解释了 ACOV 的优势：标准协方差将相位差映射到实数直线上，存在多对一映射；而 ACOV 将相位差映射到复平面单位圆上，实现了 [0, 2π) 区间内的单射。
在 EEG 数据实验中，未使用正则化时，ACOV+MDM 的平均准确率为 0.684±0.147，显著优于标准 COV+MDM 的 0.656±0.153；ACOV+TSH+LR 达到 0.757±0.139，显著优于 COV+TS+LR 的 0.733±0.146。使用 LW 或 OAS 正则化后，所有分类器的准确率都有所下降，但 ACOV 方法对正则化的负面影响表现出更强的鲁棒性。基于标准化均值差（standardized mean difference，SMD）的置换检验显示，所有方法间的性能差异均达到统计显著水平（p<0.005）。值得注意的是，ACOV+TSH+LR 相比 COV+TS+LR 的 SMD 为 0.95（p=0.004），而 ACOV 方法相比相应 COV 方法的 SMD 在 1.19 到 3.50 之间，差异显著。
这些结果表明，ACOV 表示能从数据中捕获标准协方差矩阵无法获取的信号协变和相对相位信息。更为突出的是，这些性能提升是在不引入任何额外超参数的情况下实现的——希尔伯特变换的计算虽然增加了训练和推理的少量计算量，但并不需要任何参数调优。与 ACM 方法相比，ACOV 方法不会增加时间序列分量的有效数目，TS 特征维度仅从 n(n+1)/2 增加到 n²，增幅远小于 ACM 带来的 nL(nL+1)/2。
本研究的核心结论是：通过希尔伯特变换构造的增强协方差表示（ACOV/HACOV）在 AIR 度量下是等距的，且能够在不增加额外超参数的前提下，显著提升基于黎曼几何的分类器在多元时间序列分类任务中的性能。在 BCI-IV 数据集 2a 上，无论使用 MDM 还是 TS 分类器，ACOV 方法均显著优于标准协方差方法，且当使用 LW 或 OAS 正则化时，ACOV 方法的相对优势更加明显。
在科学价值方面，本研究首次证明了 ACOV 与 HACOV 表示在黎曼度量下的等距关系，建立了复数 HPD 矩阵与实数结构 SPD 矩阵之间的理论桥梁。同时，作者推导了多元互相关系数函数（cross-covariance function）在希尔伯特变换下的行为，证明了互相关系数函数对希尔伯特变换的不变性以及单侧希尔伯特变换后的符号反转关系。这些理论结果为希尔伯特变换在协方差分析中的系统性应用奠定了基础。
在应用价值方面，提出的 TSH 方法代表了运动想象脑机接口（brain-computer interface，BCI）解码的潜在优选方案。由于 TS 类分类器被视为当前运动想象解码的最先进方法，而 TSH 方法在不增加超参数的情况下显著超越了这一基线，因此具有直接的实用前景。此外，ACOV 方法不仅适用于 EEG 数据，还可推广到扩散张量成像、图像分析等其他基于 SPD 流形的应用领域。
本研究的亮点主要体现在三个方面。第一，方法的新颖性在于将信号处理中的经典工具（希尔伯特变换）与近十年兴起的黎曼几何分类框架创造性地结合，找到了两种表示之间严格的数学对应关系。第二，在实验验证层面，研究同时覆盖了模拟数据和真实 EEG 数据，既提供了几何直觉的清晰展示，又提供了实际应用中的统计显著性证据。第三，该方法的独特优势在于其简单性——不增加特征维度、不引入超参数、可直接嵌入现有的标准分类流程。
研究的局限性包括：理想希尔伯特变换是非因果的，傅里叶变换实现隐含周期性假设，可能在信号边界产生伪影；对偶数长度序列，要求至少一个信号在奈奎斯特频率处能量为零，否则离散希尔伯特变换下的部分互协方差恒等式不成立。这些限制为未来的因果实现和边界效应处理研究指明了方向。