非线性系统模型降阶的Loewner框架扩展研究——Joel D. Simard与Alessandro Astolfi的创新贡献

一、作者与发表信息
本文由Imperial College London的Joel D. Simard（学生会员，IEEE）和Alessandro Astolfi（IEEE会士）合作完成，发表于2021年12月的《IEEE Transactions on Automatic Control》（第66卷第12期）。研究得到了欧盟“Horizon 2020”计划和意大利教育部的资助。

二、学术背景与研究目标
模型降阶（Model Reduction）的核心目标是通过简化动态系统的复杂度，同时保留其关键特性（如稳定性或稳态行为）。传统方法如矩匹配（Moment Matching）、平衡截断（Balanced Truncation）和Hankel范数方法等，主要针对线性时不变系统（LTI）。尽管这些方法已部分扩展至非线性系统，但Loewner矩阵（Loewner Matrix）作为线性系统中解决有理插值和广义实现问题的关键工具，其非线性扩展仍存在空白。

本研究提出了一种基于状态空间解释的Loewner函数（Loewner Functions），将Loewner框架从LTI系统推广至非线性仿射系统（Nonlinear Input-Affine Systems）。其创新点在于通过定义Loewner函数并构建等效模型，实现非线性系统的“Loewner意义插值”（Interpolation in the Loewner Sense），即降阶模型在特定条件下与原系统保持相同的稳态响应。

三、研究流程与方法
1. 理论基础与问题构建
- Loewner矩阵的重新定义：通过状态空间解释，将经典频域描述的Loewner矩阵转化为输入/输出增益（Input/Output Gains）的几何对象，即左/右Loewner矩阵（Left/Right Loewner Matrices）。
- 生成器系统设计：构建线性生成器（如式23-26）和非线性生成器（如式41-44），通过状态观测器和控制器与主系统互联，形成闭环实验框架。

1. Loewner函数的构造

   • 控制与观测函数：求解以下偏微分方程（PDE）的局部解：
     
     • 广义可控性函数（Generalized Controllability Function, 式29/47）：描述系统状态与生成器状态的映射关系。
       
     • 广义可观性函数（Generalized Observability Function, 式30/48）：刻画系统输出与生成器输出的动态耦合。
       
   • Loewner函数的存在性证明：利用中心流形理论（Center Manifold Theory）和Sylvester方程的唯一性条件（假设2），确保解的存在性（命题1-6）。
     

2. 坐标变换与模型降阶

   • Loewner坐标（Loewner Coordinates）：通过非线性变换（定理2/4）将互联系统解耦为并行子系统，其中稳态响应仅由Loewner函数决定。
     
   • 降阶模型构建（定理3/5）：若Loewner函数雅可比矩阵可逆，则构建等效降阶模型（式36-³⁷⁄₅₄-55），其状态空间维度显著低于原系统（定义5/7）。
     

四、主要结果与逻辑链条
1. 理论验证：
- 线性系统的兼容性：当系统为LTI时，Loewner函数退化为经典的Loewner矩阵解（备注4/11），验证了框架的广义性。
- 稳态等效性：通过中心流形分析（假设3-4），证明降阶模型与原系统在稳态响应上的等价性（定理2/4）。

1. 算法实现：
   
   • 数据驱动特性：无需频域响应数据，直接通过时域轨迹构建模型（对比[28]）。
     
   • 非线性生成器的扩展：允许生成器自身为非线性系统（如Van der Pol振荡器），增强了框架的适用性（第IV节）。
     

五、科学价值与结论
1. 理论创新：首次将Loewner框架从线性系统拓展至非线性领域，提出“Loewner等效性”的严格定义，为非线性模型降阶提供了新范式。
2. 应用潜力：
- 复杂系统简化：适用于控制系统设计、电路仿真等需保留非线性特性的场景。
- 时变系统扩展：基于状态空间解释的方法（备注3）为时变系统降阶奠定基础（参考[35]）。

六、研究亮点
1. 方法独特性：区别于传统矩匹配或平衡截断，通过Loewner函数实现非线性系统的精确插值。
2. 跨领域工具：结合偏微分方程、中心流形理论和动态系统互联思想，展现了多学科交叉的创新性。
3. 计算可行性：附录中通过坐标变换（如式59-66）说明如何将复值信号转换为实值可实现的生成器，提升了方法的工程适用性。

七、其他价值
- 开放性挑战：文中指出与非线性系统双侧矩匹配（Two-Sided Moment Matching）的关系尚待研究（第V节），为后续工作提供了方向。
- 稳定性扩展：备注10指出，通过类型(c, v)条件（定义3）可分析不稳定系统，突破了传统框架对稳定性的依赖。

Simard与Astolfi的研究为非线性模型降阶开辟了新路径，其理论严密性与应用灵活性使其成为系统控制领域的重要里程碑。