本文由Giuseppe Oriolo（意大利罗马大学“La Sapienza”信息与系统学系）和Yoshihiko Nakamura（日本东京大学机械信息学系）共同撰写，发表于1991年12月11日至13日在英国布莱顿举行的第30届IEEE决策与控制会议（30th IEEE Conference on Decision and Control）。文章题为《具有二阶非完整约束的机械系统控制：欠驱动机械臂》（Control of Mechanical Systems with Second-Order Nonholonomic Constraints: Underactuated Manipulators），主要探讨了欠驱动机械臂的动态与控制问题。

研究背景与动机

非完整约束（nonholonomic constraints）是指系统中存在不可积分的微分约束，这类系统在机械控制领域引起了广泛关注。欠驱动系统（underactuated systems）是指系统的控制输入空间维度低于其配置空间维度，例如轮式移动机器人、飞行阶段的腿式机器人以及无喷气或动量轮的空间机器人。欠驱动系统的控制问题因其输入空间的限制而变得复杂，尤其是当系统的非完整约束为二阶时，控制难度进一步增加。

本文的研究对象是欠驱动机械臂，即部分关节未配备执行器的机械臂。这类系统的研究具有多重意义：首先，欠驱动机械臂在需要减轻重量、降低成本或减少能耗的场景中具有潜在应用价值，例如空间任务或低成本自动化；其次，欠驱动机械臂的控制问题因其非线性耦合和漂移项的存在而极具挑战性；最后，欠驱动机械臂是二阶非完整约束的典型代表，与文献中常见的一阶非完整约束系统形成鲜明对比。

研究方法与流程

本文的研究流程分为以下几个步骤：

1. 问题陈述与约束可积性条件：

   • 首先，文章建立了欠驱动机械臂的动态模型，并通过分区将关节变量分为驱动关节（actuated joints）和非驱动关节（unactuated joints）。
   • 非驱动关节的动态方程被视为一种二阶约束，文章探讨了该约束的可积性条件，包括部分可积性（partial integrability）和完全可积性（complete integrability）。
   • 通过Frobenius定理，文章推导了约束可积性的必要条件，并给出了物理意义的解释。

2. 示例分析：

   • 文章通过三个示例具体说明了约束可积性的应用。例如，在水平面内的两连杆机械臂中，当第一个关节未驱动时，其动态方程可以部分积分；而当第二个关节未驱动时，动态方程则不可积。

3. 控制问题与稳定性分析：

   • 文章建立了欠驱动机械臂的状态空间模型，并分析了其线性化系统的可控性。
   • 通过Brockett定理，文章证明了欠驱动机械臂无法通过光滑反馈稳定到单一平衡点，但可以通过非光滑反馈实现稳定。
   • 文章提出了一种基于PD控制器的反馈方案，能够将系统稳定到平衡流形（manifold of equilibrium points），并通过Lyapunov函数和Barbalat引理证明了该方案的稳定性。

主要结果

1. 约束可积性：

   • 文章证明了非驱动关节的动态方程在一般情况下是不可积的二阶非完整约束，但在特定条件下（如重力矩恒定且惯性矩阵不依赖于非驱动关节变量）可以部分或完全积分。

2. 控制方案：

   • 文章提出的PD控制器能够将欠驱动机械臂稳定到平衡流形，并通过理论分析证明了其有效性。

结论与意义

本文从动态和控制的角度对欠驱动机械臂进行了深入分析，揭示了其非完整约束的本质，并提出了有效的控制方案。研究的主要贡献包括： 1. 识别了欠驱动机械臂的二阶非完整约束特性，并给出了约束可积性的条件。 2. 证明了欠驱动机械臂无法通过光滑反馈稳定到单一平衡点，但可以通过非光滑反馈实现稳定。 3. 提出了一种基于PD控制器的反馈方案，能够将系统稳定到平衡流形，为欠驱动系统的控制提供了新的思路。

研究亮点

1. 创新性：本文首次将欠驱动机械臂的动态方程识别为二阶非完整约束，填补了文献中关于高阶非完整约束研究的空白。
2. 理论深度：通过严格的数学推导和物理解释，文章深入探讨了约束可积性的条件及其控制意义。
3. 应用价值：提出的控制方案为欠驱动机械臂的实际应用提供了理论支持，尤其在空间任务和低成本自动化领域具有潜在应用前景。

未来工作

文章指出，未来的研究可以进一步探索更复杂的控制目标，并放宽对反馈律光滑性的要求，以应对更具挑战性的控制问题。

本文为欠驱动机械臂的动态与控制研究提供了重要的理论框架和方法，对非完整约束系统的控制领域具有深远影响。