基于Chebyshev多项式正交基的数据驱动模型预测控制框架研究

作者与机构
本研究的作者包括英国南安普顿大学（University of Southampton）电子与计算机科学学院的Aleksander Wolski、Bing Chu和Paolo Rapisarda。论文于2024年12月发表在IEEE第63届决策与控制会议（CDC）的会议论文集上。

学术背景
模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）在离散时间系统的应用中已取得了显著成功，但其在连续时间系统中的进展仍受限于对数学模型的高度依赖。传统MPC需要精确的系统模型，而数据驱动方法通过直接利用系统输入输出数据，避免了建模误差和复杂数学表征的需求。本研究旨在开发一种基于Chebyshev多项式正交基（Chebyshev Polynomial Orthogonal Bases, CPOB）的数据驱动MPC框架，用于连续时间系统控制，从而填补该领域的技术空白。

研究背景与技术挑战
传统连续时间MPC需要基于数学模型生成连续控制信号，而离散化过程可能导致信息丢失。早期研究通过“仿真器”（emulators）和级数展开逼近系统轨迹，但这类方法仍依赖数学模型。近年来，正交函数（如Laguerre函数）的引入改善了连续时间MPC的调参能力，但数学模型仍是必要条件。数据驱动方法在离散时间MPC中已有探索（如迭代学习控制ILC），但在连续时间领域仍缺乏通用算法。

研究目标
本研究的核心目标是：
1. 利用CPOB表示系统轨迹，构建无需数学模型的连续时间MPC框架；
2. 通过数值模拟验证参数（如预测区间、截断指数）对控制性能的影响；
3. 对比模型驱动MPC方案，证明数据驱动框架的等效性。

方法与流程
研究分为以下几个关键步骤：

1. Chebyshev多项式基的构造

   • 定义区间变换参数αγ和β，将标准区间[-1,1]映射至预测区间[γts, γts+tp]。
     
   • 利用递推公式生成正交基函数cγ,n(t)，并通过权重函数wγ(t)保证正交性。
     
   • 推导CPOB表示的微分算子矩阵dβ，实现轨迹导数的线性计算（式7）。

2. 数据驱动的系统轨迹表征

   • 提出“充分激励”输入信号的定义（定义1），确保数据能覆盖系统动态特性。
     
   • 基于定理1，通过单一输入-输出轨迹的CPOB系数矩阵vu、vy，表征所有系统轨迹的可行集（式12-13）。
     
   • 利用持久激励条件保证状态连续性（命题1），避免控制输入的突跳。

3. MPC优化问题的重构

   • 将传统MPC问题（式2）转化为数据驱动的无限维系数序列优化问题（式15）。
     
   • 引入截断近似（式16），通过有限维CPOB系数gγ,n∈R^(d×(n+1))实现计算可行性。

4. 数值仿真验证

   • 一阶系统案例（式17）：验证预测区间tp和截断指数n的影响。结果显示，增大tp会延长上升时间（图1），而提高n可降低跟踪误差但增加计算成本（图2-3）。
     
   • 非最小相位系统案例（式18）：比较CPOB-MPC与模型驱动MPC（[6]）。n=20时，跟踪误差收敛时间缩短至6.9秒，优于文献结果（图4）。

主要结果与结论
1. 框架有效性：CPOB-MPC在无模型条件下实现了与模型驱动MPC等效的控制性能，如非最小相位系统的快速参考跟踪（VIII节）。
2. 参数影响：
- 预测区间tp与上升时间正相关（评论1）；
- 截断指数n的提高可降低跟踪误差但需权衡计算复杂度（评论2）。
3. 创新性：CPOB的微分算子矩阵dβ避免了实际信号导数的测量，通过代数运算直接获取高阶导数（备注1）。

科学与应用价值
- 理论贡献：首次将数据驱动MPC拓展至连续时间领域，建立了基于正交基的函数空间优化理论框架。
- 工程意义：为无法精确建模的系统（如复杂动力学或时变系统）提供了通用控制方案，尤其在实时性要求高的场景中具有潜力。

亮点与未来方向
1. 核心创新：
- 完全数据驱动的连续时间MPC架构；
- CPOB微分算子的解析构造实现了高效数值实现。
2. 局限与展望：当前参数（如n）需预设，未来可研究动态调整策略；需进一步分析框架的稳定性和计算复杂度（VIII节）。

补充价值
- 对比实验验证了CPOB-MPC相较模型驱动方法的计算优势（VII节评论3），无需状态空间增广即可实现积分作用。
- 提出的持久激励条件（定义1）为连续时间数据驱动控制提供了普适性理论工具。

全文通过严密的数学推导和系统仿真，为连续时间数据驱动控制开辟了新途径，其方法可拓展至线性时变系统与重复控制等场景。