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一、研究作者与发表信息
本文的主要作者为Adela Capilnasiu、Lynne Bilston、Ralph Sinkus与David Nordsletten。Adela Capilnasiu的主要研究单位是伦敦国王学院（King‘s College London）生物医学工程与影像科学系；Ralph Sinkus同时隶属于伦敦国王学院与法国巴黎大学（University Paris Diderot/University Paris 13）的INSERM U1148实验室；David Nordsletten同时隶属于伦敦国王学院与美国密歇根大学（University of Michigan）生物医学工程与心脏外科系；Lynne Bilston来自澳大利亚新南威尔士大学（University of New South Wales）威尔士亲王临床学院与神经科学研究中心（Neuroscience Research Australia）。该研究于2020年2月10日在线发表于期刊《Biomechanics and Modeling in Mechanobiology》，卷号为第19卷，页码1641–1662，DOI为10.1007/s10237-020-01297-5。
二、研究背景与研究目的
软组织力学特性表征在医学研究的多个领域中具有重要意义，包括手术训练、医疗器械设计与测试、损伤机制研究以及疾病诊断等。肝脏是特别值得关注的器官，因为它在正面和侧面机动车碰撞中是最常受伤的器官，同时在慢性肝病中也需要通过力学特性评估炎症和纤维化程度。因此，对肝脏组织进行系统的流变学（rheology）表征有助于推动这些领域的发展。然而，已有研究大多分别关注肝脏在不同变形模式或不同频率下的力学响应，尚缺乏能够同时描述大变形、多种预载荷（preload）和多种频率条件下非线性粘弹性（nonlinear viscoelastic）行为的三维本构模型（constitutive model）。
本文的研究目的是定义一种肝脏本构方程，使其能够在多种变形幅度（1–50%剪切应变）和频率（0.5–2 Hz）条件下，表征肝脏组织的非线性粘弹性行为。具体而言，作者比较了三种基于粘弹性改进的超弹性模型：Mooney–Rivlin改进模型（简称VMR*）、Ogden模型（简称VOG）和指数模型（简称VEXP），并通过不同的误差范数（error norm）对模型进行参数拟合，以确定最适合描述肝脏力学响应的本构形式。
三、研究流程与实验方法
本研究的数据来源于Tan等人2013年发表的研究。实验使用新鲜健康的牛肝组织，在死后6小时内完成测试。样本被制备为半径约10毫米、高度约3毫米的圆柱体，并在100%湿度室中保持水合状态，测试温度为25°C。实验采用旋转流变仪（Kinexus Pro KNX 2100，Malvern，United Kingdom），将圆柱形样本夹在两个直径为20毫米的锯齿板之间，以防止滑动。下板固定，上板可垂直移动并绕圆柱轴振荡。实验方案包括1%、10%和20%三种压缩预载荷（compression preload），以及1%、10%、25%和50%四种剪切应变（shear strain），分别在0.5 Hz、1 Hz和2 Hz三种频率下进行。每个测试条件至少使用四个肝脏样本的数据进行平均。每个测试的前八个循环用于预处理（preconditioning），从第九个循环开始记录数据。为避免组织损伤，预处理并不是直接在最大变形水平下进行，而是从低应变到高应变逐步进行。
在建模方面，作者首先建立了运动学（kinematics）框架。设参考构型中的点经位移场映射到物理构型，通过变形梯度张量（deformation gradient tensor）F、右柯西-格林应变张量（right Cauchy-Green strain tensor）C及其不变量等描述变形。应力采用第二Piola-Kirchhoff张量（PK2）表示，PK2张量由弹性部分、分数阶粘弹性部分和静水压力部分组成。分数阶导数采用Caputo定义，其中分数阶α在0到1之间，α=0对应纯弹性响应，α=1对应纯粘性响应，中间值对应粘弹性行为。
三种本构模型分别为：VMR*模型基于修正的Mooney–Rivlin应变能函数，包含一个线性的neo-Hookean项和一个二次非线性项，粘弹性通过对线性项施加分数阶导数实现；VOG模型基于Ogden应变能函数，通过对特征值幂次的非线性依赖来捕捉非线性响应，粘弹性部分同样采用分数阶导数；VEXP模型基于Fung型指数应变能函数，其指数形式为exp(b(II_C−3))，其中b为非线性参数。扭矩（torque）通过对应力张量在顶面上的积分计算获得。
在参数拟合过程中，引入了三种不同的误差范数：第一种是经典的L2范数，通过最小二乘法拟合线性参数；第二种是逐点缩放范数（point-wise norm），将每个数据点和模型点按其对应的数据幅值进行缩放，使所有数据点在拟合中具有相同的重要性，从而更好地捕捉曲线形状趋势；第三种是参数缩放范数（parameter scaling norm），允许线性参数（如弹性系数c和粘弹性系数δ）在不同测试间变化，而非线性参数（如分数阶α和非线性参数b）在所有测试间保持固定，以克服应变软化（strain softening）效应。线性参数通过求解线性方程组获得，非线性参数通过参数扫描（parameter sweep）确定，α在0.05到1之间扫描，b在相应范围内扫描。
四、主要结果
在L2范数下，三种模型的误差相近，VMR*模型的误差略高（最多高出约3%）。这是因为VOG和VEXP模型在捕捉非线性趋势方面更具灵活性。L2范数倾向于优先拟合大幅值数据点（如50%剪切应变），因此模型在最高幅值处与数据吻合较好，但在低幅值处的拟合精度较低。此外，由于应变软化效应，数据的幅值随剪切应变的增加增长较缓，而模型的增长较陡，导致低幅值点匹配不佳。
在逐点缩放范数下，VOG和VEXP模型的误差相似，而VMR*模型误差显著较高（约高出20%），表明VMR*模型无法很好地重现非线性趋势。逐点缩放范数通过提高非线性参数b的值（如VOG的b从4增加到8，VEXP的b从0.1增加到1.2），使模型曲线形状更接近数据趋势，但同时也导致模型幅值与数据幅值之间存在更大的差异。Lissajous曲线（扭矩随角位移的变化图）显示，VEXP模型在逐点缩放范数下能更好地跟随数据的非正弦形趋势。
在参数缩放范数下，三种模型都达到了最低的误差。VOG和VEXP模型的误差曲线几乎相同，而VMR*模型在α=0.15到0.4之间误差曲线较平坦，参数可辨识性（identifiability）较差。三种模型的最佳分数阶α值在0.19到0.22之间，与文献报道的范围一致。VOG的最佳b值为10，VEXP的最佳b值为1.5。线性参数c和δ在不同测试间表现出随剪切应变增加而降低的趋势，反映了应变软化效应。线性参数的标准差可达其均值的90%，表明样本位置和剪切软化对线性参数的影响很大。
在非理想压缩（non-ideal compression）条件下，由于锯齿板防止滑移，样本在压缩时发生桶形形变（barrelling）。通过数值模拟比较理想压缩与非理想压缩，发现法向力（normal force）在两种条件下的差异最为显著，但扭矩的差异可以通过比例因子进行校正。对于VEXP模型在1 Hz下的数据，非理想压缩校正后的线性参数在10%和20%压缩应变下被缩小约1.5倍和5.9到6.8倍，同时剪切软化趋势更加明显。
五、研究结论
本文提出了三种基于分数阶粘弹性的三维非线性本构模型，并通过三种不同的误差范数对牛肝组织在多种变形和频率条件下的力学响应进行了系统分析。研究结果表明，VMR*模型形式简单，参数少，但在非线性捕捉和参数可辨识性方面表现不如VOG和VEXP模型。VOG和VEXP模型能够更准确地捕捉肝脏组织在大剪切应变下的非线性行为，但VOG模型需要计算特征值，计算成本较高。综合考虑模型复杂度、拟合精度和计算效率，VEXP模型在模型复杂性与数据拟合之间取得了较好的平衡。
该研究的科学价值在于首次提出了能够同时描述大压缩预载荷、大剪切应变和多种频率下肝脏非线性粘弹性响应的三维本构模型，并通过分数阶导数将粘弹性行为纳入超弹性框架。其应用价值包括：为交通事故安全研究提供肝脏在冲击载荷下的力学响应预测工具，为医疗器械设计和手术模拟提供更准确的组织本构模型，以及为磁共振弹性成像（magnetic resonance elastography，MRE）等无创诊断技术提供更合理的力学模型基础，从而提高肝脏炎症和纤维化等疾病的分级和诊断准确性。
六、研究亮点
本研究的亮点在于：第一，实验方案涵盖了广泛的大变形范围（剪切应变1–50%，压缩预载荷1–20%）和多个频率（0.5–2 Hz），这在已有肝脏力学研究中较为少见；第二，提出了参数缩放范数这一新的误差范数，通过允许线性参数在不同测试间变化、保持非线性参数一致，有效克服了应变软化效应，显著改善了模型拟合效果；第三，系统比较了三种常用超弹性模型的粘弹性改进形式，并分析了它们在相同数据下的参数可辨识性和拟合能力，为后续研究提供了模型选择依据。
七、其他有价值的内容
在附录中，作者还考虑了扩展模型（extended models），即在原有模型中加入独立的弹性项。结果表明，扩展模型虽然能略微降低误差，但其误差曲线在α上表现出较浅的最小值，导致参数可辨识性变差。因此，对于本研究的频率范围，单一粘弹性项已经足够，加入纯弹性项反而会引入参数耦合问题。此外，附录中对理想压缩与非理想压缩的数值模拟比较表明，虽然法向力差异显著，但扭矩的差异可以通过比例因子校正，说明本研究采用理想压缩假设不会从根本上影响扭矩响应的建模结论。