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作者及机构

本研究由Zuyu Xu、Bin Lv、Jiale Wang、Yuhang Pan、Jun Wang（通讯作者）、Yunlai Zhu、Zuheng Wu（通讯作者）和Yue Hua Dai共同完成，作者单位均为Anhui University的集成电路学院（School of Integrated Circuits）。研究以预印本形式提交至Neural Networks期刊，并于2025年4月1日发布在arXiv平台（编号：2503.23289v1）。

学术背景

研究领域为物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）与函数逼近理论的交叉应用。传统PINNs虽能通过嵌入偏微分方程（PDE）的物理约束求解复杂系统，但存在计算效率低、训练稳定性差和频谱偏差（spectral bias）等问题。此外，多层感知机（MLP）和Kolmogorov-Arnold网络（KAN）在函数逼近中各具优劣：MLP擅长低频特征学习但缺乏可解释性，KAN能高效捕捉非线性动态但难以提取低频成分。

本研究旨在提出一种混合并行架构（HPKM-PINN），通过动态平衡MLP与KAN的输出，结合两者的优势，提升PINNs在PDE求解中的精度与鲁棒性。

研究流程与方法

1. 模型设计

• 并行架构：HPKM-PINN包含并行的MLP和KAN分支，通过可调权重因子ξ（0≤ξ≤1）融合两者输出：
  [ u(x) = \xi \cdot u{\text{KAN}}(x) + (1-\xi) \cdot u{\text{MLP}}(x) ]
  KAN基于Kolmogorov-Arnold表示定理，采用B样条参数化的单变量激活函数；MLP采用标准全连接结构。
  
• 损失函数：结合PDE残差、初始条件（IC）和边界条件（BC）的加权损失：
  [ \mathcal{L} = \lambda{\text{BC}} \mathcal{L}{\text{BC}} + \lambda{\text{IC}} \mathcal{L}{\text{IC}} + \lambda_r \mathcal{L}_r ]
  

2. 实验验证

研究分两部分进行：
- 函数逼近：测试模型对混合高低频函数（如分段正弦函数）的拟合能力。结果显示，HPKM-PINN（ξ=0.9）的L2误差（0.62%）显著低于MLP（3.31%）和KAN（4.45%）。
- PDE求解：评估四个经典方程：
- 泊松方程（Poisson Equation）：HPKM-PINN（ξ=0.3）的L2误差（0.29%）优于MLP（1.84%）和KAN（2.31%）。
- 平流方程（Advection Equation）：ξ=0.7时误差仅0.028%，且收敛速度最快。
- 对流-扩散方程（Convection-Diffusion）：ξ=0.2时误差降低至0.74（MLP为0.94）。
- 亥姆霍兹方程（Helmholtz Equation）：改进幅度较小（误差0.23 vs. 0.27），因问题本身较简单。

3. 鲁棒性测试

通过添加高斯噪声验证模型稳定性。HPKM-PINN在噪声环境下表现最优，尤其在平流方程中（ξ=0.7时误差波动最小）。

4. 数据与训练

• 数据生成：采用Sobol序列和拉丁超立方采样（Latin Hypercube Sampling）分配残差点和边界条件点。
  
• 优化器：使用Adam，部分实验结合StepLR学习率调度器（γ=0.75）。
  

主要结果

1. 精度提升：HPKM-PINN在所有测试中均实现更低的L2误差，最高降低两个数量级（如泊松方程）。
   
2. 收敛速度：混合架构的损失函数下降更快（图4、6），例如平流方程在2000次迭代后即稳定。
   
3. 频谱分析：HPKM-PINN能同时捕捉高低频成分（图2），缓解了MLP的频谱偏差问题。
   
4. 计算代价：并行结构增加了参数量和训练时间（表1），但对精度提升的贡献显著。
   

结论与价值

1. 科学价值：
   
   • 提出了一种动态平衡MLP与KAN的通用框架，为PDE求解提供了新思路。
     
   • 通过理论分析（如Kolmogorov-Arnold定理）与实验验证，阐明了混合架构的数学基础。
     
2. 应用价值：
   
   • 适用于多尺度物理系统建模（如流体动力学、电磁波传播）。
     
   • 在噪声数据下的鲁棒性使其更适合实际工程问题。
     

研究亮点

1. 方法创新：首次将KAN与MLP并行化，并引入可调权重因子ξ。
   
2. 性能突破：在多个PDE基准测试中达到最优精度。
   
3. 跨领域意义：为PINNs的可解释性与效率权衡提供了解决方案。
   

其他价值

• 开源潜力：未明确提及代码公开，但实验细节完整，易于复现。
  
• 扩展性：作者建议未来研究可结合自适应网络结构以降低计算成本。
  

此研究为计算科学领域提供了兼具理论严谨性和工程实用性的新工具，尤其在复杂系统建模中具有广阔前景。