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SPINN：一种稀疏、基于物理且部分可解释的神经网络方法求解偏微分方程

作者及机构
该研究由印度理工学院孟买分校（Indian Institute of Technology Bombay）航空航天工程系的Amuthan A. Ramabathiran和Prabhu Ramachandran共同完成，发表于《Journal of Computational Physics》2021年第445卷。

学术背景与研究目标
近年来，深度学习在偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）求解中展现出巨大潜力，尤其是基于密集神经网络的方法，如物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）和深度Ritz方法（Deep-Ritz method）。然而，这类方法存在计算效率低、网络结构选择随意且缺乏可解释性等问题。

研究团队旨在开发一种新型神经网络架构，即稀疏、基于物理且部分可解释的神经网络（Sparse, Physics-based, and Partially Interpretable Neural Networks, SPINN），以弥合传统无网格方法（meshless methods）与密集神经网络之间的鸿沟。SPINN的核心目标包括：
1. 可解释性：通过将无网格表达重新解释为稀疏神经网络结构，实现模型参数的物理意义明确。
2. 高效性：减少神经网络连接数，提升计算效率。
3. 适应性：通过隐式网格自适应（implicit mesh adaptivity）处理解的不连续性和高梯度区域。

研究流程与方法

1. 无网格方法与神经网络的结合
   
   • 研究首先基于径向基函数（Radial Basis Function, RBF）的无网格近似方法，将解的表达转化为稀疏神经网络架构。具体地，解( u(x) )通过节点( xi )和核函数( \phi )的线性组合表示：
     [ u(x) = \sum{i=1}^n u_i \phi\left(\frac{|x - x_i|}{h_i}\right). ]