本文档发表于2010年第三届国际图像与信号处理会议（CISP 2010），题为《单通道盲源分离中的源数目估计》，作者是来自中国国家数字交换系统工程技术研究中心（China National Digital Switching System Engineering and Technological Research Center）的栾海燕（Haiyan Luan）、姜华（Hua Jiang）和刘小保（Xiaobao Liu）。该研究属于信号处理领域，具体聚焦于通信信号处理中的盲源分离（Blind Source Separation, BSS）问题。
研究的学术背景源于盲源分离技术在语音、图像和通信信号处理中的广泛应用。BSS能够从混合信号中恢复源信号，而无需太多关于源信号的先验知识，因此成为国际信号处理领域的研究热点。单通道盲源分离（Single Channel BSS）是BSS中的一个特殊分支，它旨在仅从一个混合信号中恢复多个源信号，这更符合实际通信条件。然而，从数学角度看，这是一个欠定问题，通常需要利用不同源信号的不同特征来解决。当前，大多数BSS算法需要预先知道混合信号中的源数目，这对分离性能有重大影响。然而，如何估计源数目仍然是一个难题，且缺乏有效的解决方案。虽然阵列信号处理中有许多估计算法，但它们并不适用于单通道BSS。迄今为止，关于数字通信中单通道BSS源数目估计的研究很少。本研究旨在利用数字信号的循环平稳特性，通过聚类循环幅度谱曲线，实现单通道盲源分离中的源数目估计。
研究的详细工作流程如下：
首先，研究建立了多输入单输出（MISO）系统的数学模型。假设接收到的混合信号由N个相互独立、均值为零的源信号线性混合而成，并附加高斯加性噪声。研究推导了混合信号的循环自相关函数，并指出在循环频率α不等于零时，由于源信号与噪声的独立性，不同源信号之间以及源信号与噪声之间的相关项理论上为零。因此，混合信号的循环自相关函数可以简化为各源信号循环自相关的加权和。进一步，通过傅里叶变换得到循环谱密度函数，表明混合信号的循环谱是各源信号循环谱的线性叠加。如果各源信号的循环频率不同，或者不同源信号在同一循环频率下的循环谱不重叠，那么源信号在循环频率域满足稀疏性条件，这使得源数目估计和分离成为可能。
其次，研究分析了常见数字通信信号的循环谱特性。根据循环谱的特征，将常见数字通信信号分为两类：第一类信号的循环平稳特性仅与符号周期有关，如MFSK、MPSK（M≥4）和MQAM；第二类信号的循环平稳特性不仅与符号周期有关，还与载波频率有关，如MASK和BPSK。研究给出了这两类信号循环幅度谱的数学表达式。分析表明，数字信号的循环幅度谱与成形滤波器系统函数经过频移后的乘积有关。在实际通信中，不同发射机的成形滤波器通常不同，即使是同一类型的发射机也存在差异。因此，可以通过对循环幅度谱曲线进行聚类来估计源数目。
第三，研究推导了有限观测条件下循环相关估计中干扰项的渐消特性。理想情况下，不同源信号之间的相关项应为零，但在有限观测时间内进行估计时，必须考虑这些干扰项的影响。研究通过数学推导证明，对于两个相互独立、均值为零的循环平稳信号，其循环互相关估计的期望为零，且其自相关函数与观测时间成反比。这意味着随着观测时间的延长，干扰项的影响会减小，从而验证了在有限观测条件下使用该方法的可行性。
第四，研究提出了基于曲线聚类的源数目估计算法。由于实际估计中存在干扰，算法首先需要在循环幅度谱中检测出有效的信号成分。研究发现，在循环频率α的截面上，如果α是某个源信号的循环频率，则其循环幅度谱曲线较为平坦，幅度相对于均值的偏差较大；反之，曲线则较为粗糙，偏差较小。因此，算法利用循环幅度谱曲线的协方差来判断该α截面上是否存在信号。为了更有效地检测信号，对协方差序列进行了特定处理，使得信号对应的峰值更加明显。
在检测出有效的循环幅度谱曲线后，算法进行曲线聚类。考虑到运算复杂度，仅考虑α > 0且f + B/2 ≥ 0的区域（B是循环幅度谱值连续大于阈值ξ的最大带宽）。首先，使用一个宽度为B的矩形窗选取所有有效曲线，并将其起点平移至零，得到曲线集合。为了消除相同类型曲线可能存在的微小平移对相似度的影响，定义了两条曲线之间的距离度量公式。接着，计算集合中任意两条曲线之间的距离，并通过与预设阈值ε比较，将相似的曲线聚类到同一集合中。如果集合中没有第二类信号，则聚类集合的数量v即为估计的源数目n；如果存在第二类信号，由于其在载波频率相关的循环频率处（α = 2fc）的曲线与符号周期相关循环频率处的曲线不同，会导致v < n。因此，需要进一步处理：从聚类集合中筛选出仅包含一个元素的集合。这些集合可能对应第一类信号在α = 1/T0处的曲线，也可能对应第二类信号在α = 2fc处的曲线。通过检查曲线中心频率的位置（第一类中心在fc，第二类中心在f=0），并删除满足“元素数量为1且曲线在f ≤ B/2时幅度大于ξ”条件的集合，可以消除第二类信号的影响。最终得到的集合数量w即为估计的源数目。
第五，研究讨论了算法的适用条件。该估计基于不同源信号在循环频率域的稀疏性，因此适用于不同源信号的循环频率不同，或者不同源信号在同一循环频率下的循环谱不重叠的情况。研究还分析了在满足和不满足这些条件下，聚类集合中元素数量的不同表现，为判断估计结果的正确性提供了理论依据。
研究的主要结果通过仿真实验进行了验证。仿真条件为：混合信号由两个QPSK信号组成，符号速率分别为1MHz和2MHz，载波频率分别为6MHz和5MHz，采样率为16MHz，观测点数为1024。第一个仿真研究了在源信号平均功率相同的情况下，正确估计概率随信噪比（SNR）变化的关係。SNR从4dB变化到20dB，间隔2dB，每个SNR下进行200次独立仿真。结果表明，随着SNR提高，正确估计概率显著上升，在较高SNR下能达到接近1的水平。第二个仿真研究了在SNR为20dB时，正确估计概率随源信号平均功率比变化的关係。功率比从0dB变化到8dB，间隔1dB，每个功率比下进行200次独立仿真。结果表明，即使在功率比达到8dB时，正确估计概率仍能保持在较高水平（约0.8）。这些结果证明了该算法在不同SNR和功率比条件下的有效性和可行性。研究也指出，当源数目增加或SNR降低时，干扰影响会加剧，但可以通过增加观测点数来抑制。
研究的结论是：利用数字通信信号的循环平稳特性，本文提出了一种新的单通道盲源分离源数目估计算法。该算法能够从时域和频域都可能重叠的混合信号中估计源数目，且无需任何关于源信号的先验知识。即使在信噪比较低或不同源信号功率比较高的情况下，该算法也具有良好的性能。
本研究的亮点在于：第一，创新性地将循环平稳分析与曲线聚类相结合，用于解决单通道盲源分离中极具挑战性的源数目估计问题，提出了一种新颖的解决思路。第二，对有限观测条件下循环相关估计中不同源信号间干扰项的渐消特性进行了理论推导，为算法的实际应用奠定了理论基础。第三，算法设计考虑了实际数字通信信号的分类（第一类和第二类），并通过曲线形状（中心频率位置）的差异来区分它们对聚类结果的影响，增强了算法的鲁棒性和实用性。第四，仿真实验系统地评估了算法在不同信噪比和信号功率比条件下的性能，验证了其有效性和可行性。
此外，研究也指出了存在的挑战，例如由于循环频率的离散特性，需要很高的分辨率，这会带来巨大的计算复杂度。这为后续研究指明了改进方向，例如开发更高效的计算方法或探索其他稀疏域。总体而言，该研究为单通道盲源分离的实际应用迈出了关键一步，具有重要的理论和应用价值。