研究成果报告：物理信息神经网络在拓扑超材料设计与力学应用中的研究
本文向您介绍由康康·陈（Kangkang Chen）、董兴建（Xingjian Dong，通讯作者）*、高鹏林（Penglin Gao）、陈倩（Qian Chen）、彭志科（Zhike Peng）、孟光（Guang Meng）合作完成的一项原创性研究。研究团队主要来自上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，合作单位包括宁夏大学机械工程学院。该研究以“physics-informed neural networks for topological metamaterial design and mechanical applications”为题，于2025年6月9日在线发表在机械工程领域的知名期刊 《International Journal of Mechanical Sciences》 上（卷301，文章编号110489）。本研究提出了一种创新的深度学习方法，致力于解决拓扑超材料，特别是弹性拓扑超材料在低频、宽带性能优化及逆向设计方面面临的挑战。
一、 学术背景与研究目的 本研究聚焦于拓扑超材料（Topological Metamaterial） 这一前沿交叉领域。拓扑超材料受凝聚态物理中拓扑相和相变理论的启发，展现出如边界态鲁棒传播、能量局域化等独特的物理特性，在声学、光学和机械工程中具有巨大应用潜力。传统的超材料设计方法（如依赖经验的试错法、基于已知物理模型的参数微调、基于梯度的拓扑优化算法、遗传算法等）在面对复杂物理现象（如非线性效应、多物理场耦合）和特定设计目标（如低频宽带操控）时，往往效率低下、设计空间受限，难以实现精准的逆向设计。
随着深度学习理论的发展，基于机器学习的数据驱动方法为超材料设计提供了新的机遇。然而，纯数据驱动模型可能缺乏物理一致性，且在训练数据范围外泛化能力有限。为此，本研究旨在开发一种物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks， PINN）模型，将物理机理与数据驱动方法深度融合，以实现对局部共振型拓扑超材料的高效、精准逆向设计。具体目标包括：1）建立能够直接根据目标色散关系生成设计参数的逆向设计模型；2）实现超材料在低频和宽带性能上的优化设计；3）探索所设计拓扑梯度超材料在波导控制和能量局域化等方面的应用。
二、 详细研究流程与方法 本研究流程严谨，环环相扣，主要包含以下几个核心步骤：
第一步：基础晶格设计与拓扑特性表征 研究首先基于局部共振（Local Resonance）原理，设计了一种双谐振器声子晶体晶格。晶格框架为环氧树脂，镶嵌的左右两个圆柱形谐振器为铅制。设计变量共7个，包括谐振器厚度/半径（决定质量）、支撑梁的高度/宽度以及谐振器间距（影响支撑刚度）。通过有限元方法计算晶格在第一不可约布里渊区的色散关系。当左右谐振器参数对称时，在波矢K点出现狄拉克锥（Dirac Cone） 简并；通过打破对称性（如调整左右谐振器质量），狄拉克锥打开，形成完全带隙（Complete Bandgap），为构建拓扑边界态奠定了基础。通过分析K点处的本征态，确认带隙附近的模态对应于谐振器的面外局部共振模式。这部分工作生成了后续深度学习模型所需的数据集基础，针对每个设计参数组合，提取了第一不可约布里渊区内24个波矢对应的前5阶本征频率，构成120维的色散关系数据。
第二步：物理等效模型的开发与验证 为了高效、精确地获取晶格在关键波矢K点处的前两阶本征频率（即左右谐振器的局部共振频率），本研究开发了一个物理等效模型。该模型通过有限元软件建立，将谐振器中心用质量单元模拟，并将其与谐振器内孔表面节点刚性耦合。通过固定晶格框架顶点，在谐振器中心施加面外单位力，计算其位移，从而反推出谐振器的等效支撑刚度。结合谐振器的质量，即可通过公式快速计算其共振频率。研究通过对比30个随机测试案例发现，该物理等效模型计算出的共振频率与全尺寸有限元模型计算出的K点前两阶本征频率高度吻合，最大误差低于6%，而计算时间从126秒大幅缩短至1.84秒。这一高效、高精度的物理模型为后续PINN模型提供了关键的物理约束信息源。
第三步：物理信息神经网络的构建与训练 本研究提出的PINN模型框架由三个核心子模块构成： 1. 预训练预测模型（蓝色区域）：这是一个多层感知机，输入为7个设计参数，输出为120维的色散关系。其作用是通过学习有限元数据集，建立从设计参数到色散关系的快速正向预测映射，替代耗时的有限元计算。 2. 逆向设计模型（红色区域）：这也是一个多层感知机，但输入为目标色散关系（120维），输出为7个设计参数。其核心功能是实现从性能目标到结构参数的逆向映射。 3. 物理信息注入（绿色区域）：将前述物理等效模型整合进逆向设计流程。具体而言，将逆向设计模型生成的参数，输入物理等效模型，计算出预测的K点共振频率。
模型的创新之处在于其损失函数的设计，它由三部分加权组成：(1) 设计参数误差：预测参数与数据集标签之间的误差；(2) 色散关系误差：将预测参数输入预训练模型得到的色散关系，与逆向设计模型输入的目标色散关系之间的误差；(3) 物理约束误差：由物理等效模型根据预测参数计算出的K点共振频率，与目标色散关系中提取的K点前两阶本征频率之间的误差。这第三项损失是关键，它将物理知识直接嵌入神经网络的学习过程，约束网络生成的参数必须满足基本的物理共振规律。
研究使用包含大量设计参数-色散关系配对的数据集对模型进行训练和测试。通过网格搜索策略优化损失函数中各部分的权重超参数。
第四步：模型性能评估与对比分析 为了验证PINN模型的有效性，研究进行了详尽的测试与对比： - 收敛性与精度：训练和测试损失曲线显示模型约在25个epoch后快速收敛并稳定。在测试集上，PINN模型预测的设计参数虽与原始标签不完全相同（说明逆向问题解不唯一），但将这些参数输入预训练模型或直接进行有限元验证时，得到的色散关系，尤其在关键的1000 Hz以下频段，与设计目标高度一致。 - 消融实验：研究设置了两个对比模型：串联神经网络模型（TNN）（即令PINN损失函数中物理约束项的权重为0）和多层感知机模型（MLP）（仅保留设计参数误差项）。对比结果显示，PINN模型的收敛速度更快，测试损失更稳定。在关键的评价指标上，PINN的均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE） 均显著低于TNN和MLP，而决定系数（R²） 则明显更高（PINN: 0.8893， TNN: 0.7115， MLP: 0.6461）。这充分证明了引入物理等效模型作为约束，极大地提升了逆向设计模型的准确性、泛化能力和稳定性。
第五步：超材料设计目标实现与应用探索 利用训练好的PINN模型，研究团队实现了两类重要的设计目标，并探索了其应用： 1. 宽带超材料设计：从数据集中选取具有初始带隙的样本色散关系，通过对其中高频波段进行“加法”（频率平移）或“乘法”（频率缩放）运算，构造出具有更宽带隙的设计目标。将目标输入PINN逆向设计模型，成功得到了新的设计参数。有限元验证表明，新结构的色散关系与设计目标吻合良好，其中一例的完全带隙宽度相比初始样本扩大了约6倍。这展示了一种灵活构建宽带目标并实现逆向设计的有效方法。 2. 低频超材料设计：通过“乘法”运算缩放样本的低频波段，设定了降低最低带隙频率的设计目标。PINN模型成功设计出了满足要求的超材料，其中一例将最低带隙频率降低了26.3%，同时带隙宽度扩大了57.4%。研究也指出了模型的局限性：受训练数据集频率范围限制，当前模型能有效设计的最低频率约为226 Hz。若目标频率低于此值，需重新扩展设计变量空间以生成包含更低频信息的新数据集。 3. 拓扑梯度超材料应用：基于宽带设计结果，通过连续调节晶格中左右谐振器的高度参数，构建了具有梯度特性的超晶格。计算表明，其拓扑边界态的群速度（Group Velocity） 随参数呈现梯度变化。进一步构造了谐振器参数沿波导路径渐变的声子晶体板，并施加点激励。仿真结果显示，在不同的激励频率下，弹性波能量被局域在波导的不同位置，实现了波导长度的动态调控。这证明了所设计梯度超材料在操控弹性波能量传输路径、实现振动控制与能量收集方面的潜力。
三、 主要研究结果 本研究取得了一系列明确且相互支撑的结果： 1. 物理等效模型高效可靠：成功开发了用于快速计算局部共振频率的物理等效模型，其精度高（误差%）、速度极快（相比全模型加速约68倍），为数据驱动模型提供了可靠的物理信息源。 2. PINN模型逆向设计性能卓越：所提出的PINN框架成功实现了从目标色散关系到设计参数的逆向映射。消融实验和多项评价指标（MSE， MAE， R²）均证明，集成物理约束的PINN模型在精度、稳定性和泛化能力上全面优于纯数据驱动的对比模型。 3. 实现了低频与宽带设计目标：利用PINN模型，通过简单的数值操作（加/乘法）定义设计目标，成功设计出宽带和低频拓扑超材料。宽带设计案例中带隙扩大6倍；低频设计案例中最低带隙频率可达约226 Hz，并拓宽了带隙宽度。 4. 展示了梯度超材料的应用潜力：基于设计出的超材料，通过引入参数梯度，实现了拓扑边界态群速度的调控，并在声子晶体板仿真中观察到了频率依赖的波导长度可控现象，为振动能量引导与收集提供了新思路。
四、 研究结论与价值 本研究的核心结论是：通过将物理等效模型与神经网络深度融合，成功开发了一种高性能的PINN逆向设计框架，有效克服了传统方法在拓扑超材料设计中的局限性。该模型不仅能够高效、准确地根据性能目标生成结构参数，还显著拓宽了超材料的设计空间，实现了对低频、宽带等复杂特性的定制化设计。
其科学价值在于：1）为物理机理与数据驱动方法的结合提供了一个成功范例，增强了神经网络模型的物理可解释性和外推能力；2）发展了一套针对局部共振型拓扑超材料的完整、高效的逆向设计方法论。其应用价值体现在：1）大幅提升了超材料的设计效率与精度，有助于加速其在振动控制（Vibration Control）、能量收集（Energy Harvesting）、信息传输（Information Transmission） 等领域的工程应用进程；2）所实现的梯度超材料波导操控，为开发新型智能声学/振动器件奠定了基础。
五、 研究亮点 1. 方法创新性强：创造性将高效的物理解析等效模型作为硬约束嵌入神经网络损失函数，构建了真正的“物理信息”驱动（而非仅数据驱动）的逆向设计模型，是该研究的核心创新点。 2. 问题导向明确：直指拓扑超材料，尤其是弹性拓扑超材料在工程应用（低频振动控制）中的核心设计难题——低频、宽带性能的实现与逆向设计，研究目标具有重要的实际意义。 3. 验证体系完备：研究不仅展示了设计结果，还通过详尽的消融实验、多指标对比、有限元反向验证以及应用场景仿真，构建了完整的证据链，充分论证了所提方法的有效性和优越性。 4. 从设计到应用闭环：工作流程完整，从基础物理分析、模型构建、性能验证到最终的应用探索（梯度超材料波导操控），形成了一个从理论方法到潜在应用的完整研究闭环。
六、 其他有价值的内容 研究在附录中对模型在超低频设计目标下的误差进行了讨论，坦率地指出了当前模型受训练数据范围限制的局限性，并给出了解决方案（重新定义设计变量空间），体现了科学的严谨性。此外，文中对拓扑超材料的分类（弹性霍尔效应、自旋霍尔效应、谷霍尔效应超材料）及研究现状的梳理，也为读者提供了清晰的领域背景。