《CAN-PINN：基于耦合自动-数值微分方法的快速物理信息神经网络》研究报告

一、作者与发表信息 该研究由Pao-Hsiung Chiu（第一作者）、Jian Cheng Wong（通讯作者）、ChinChun Ooi、My Ha Dao和Yew-Soon Ong合作完成，作者单位包括新加坡科技研究局（A*STAR）和南洋理工大学计算机科学与工程学院。研究成果发表于《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》期刊第395卷（2022年），论文标题为”CAN-PINN: A fast physics-informed neural network based on coupled-automatic–numerical differentiation method”，于2022年4月28日在线发表。

二、学术背景 本研究属于计算力学与人工智能交叉领域，聚焦物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks，PINNs）的优化方法。传统PINNs通过自动微分（Automatic Differentiation，AD）计算微分算子，虽然能精确计算任意点的梯度，但存在两个关键局限：1）需要大量配置点才能获得高精度解；2）在稀疏样本情况下容易收敛到非物理解。针对这些问题，研究团队提出耦合自动-数值微分（Coupled-Automatic-Numerical differentiation，CAN）新框架，旨在统一AD和数值微分（Numerical Differentiation，ND）的优势，提升训练效率和求解精度。

三、研究方法与流程 1. 理论框架构建 研究首先系统分析了传统AD-PINNs（A-PINNs）的局限性，提出将数值微分引入损失函数计算。具体流程包括： （1）ND-PINNs（N-PINNs）开发：基于泰勒级数展开，设计了1阶迎风（UW1）、2阶迎风（UW2）和2阶中心差分（CD2）三种数值格式，在51×51网格上验证了其有效性。 （2）CAN-PINNs创新设计：提出耦合AD与ND的混合算法，开发了CAN(UW2)和CAN(CD)两种方案。其中CAN(UW2)针对对流项优化，CAN(CD)专为压力梯度项设计，通过理论分析证明其具有更小的色散和耗散误差。

1. 数值验证体系 研究建立了五类验证案例： （1）ODE验证问题：求解du/dx=cos(x)和du/dx=cos(x)+2cos(2x)，比较41/81/161三种配置点密度下的性能。 （2）流动混合问题：二维对流方程模拟，使用65，025个配置点，考察瞬态问题的求解能力。 （3）方腔驱动流：不可压缩Navier-Stokes方程求解，Re=400，在2，601-40，401个配置点范围内测试。 （4）后向台阶流动：复杂分离流模拟，Re=200/400，采用16，000-32，000个配置点。 （5）复杂通道流动：不规则几何域问题验证。

2. 算法实现细节 （1）网络架构：采用正弦特征映射γ(v)=sin(2π(Wv+b))作为首层激活函数，后续隐藏层使用sine激活。 （2）训练策略：采用Adam优化器，初始学习率5e-3至1e-3，配合高原学习率衰减。 （3）损失函数：包含PDE残差、初始条件和边界条件约束，通过λ系数平衡各项权重。

四、主要研究成果 1. 精度提升显著 在ODE验证案例中，CAN-PINNs在41个稀疏配置点下即达到1e-5量级的相对误差，比A-PINNs精度提高2-3个数量级。方腔驱动流问题上，使用2，601个配置点时，CAN(CD)方案的u/v速度分量MSE达1e-6，而A-PINNs即使使用40，401个点仍难以收敛。

1. 计算效率优势 后向台阶流动案例显示，CAN-PINNs在相同配置点数下训练时间比A-PINNs缩短约15%，且所需迭代次数减少30%。特别地，在Re=400的复杂分离流模拟中，CAN-PINNs成功捕捉到二次涡结构，分离点预测误差小于1%。

2. 逆问题求解能力 在仅使用10个观测数据的方腔驱动流逆问题中，CAN-PINNs能准确推断未知雷诺数（误差<2.5%），同时重建全场流态。这一表现在Re=400-800范围内保持稳定。

五、科学价值与应用前景 1. 方法论创新 （1）首次提出AD与ND的耦合框架，通过CAN方案实现了1-2个数量级的精度提升。 （2）发展了适用于流体问题的专用数值格式，如CAN(UW2)对对流项保持数值稳定性，CAN(CD)有效避免速度-压力解耦。

1. 工程应用价值 （1）为复杂几何（如新加坡岛形通道）流场模拟提供高效无网格方法 （2）支持小样本条件下的参数反演，在心血管血流分析、材料设计等领域有应用潜力

六、研究亮点 1. 理论突破：证明传统A-PINNs在稀疏样本下存在”欠约束优化”本质问题，提出通过局部支持点耦合的解决方案。 2. 算法创新：开发的多矩CAN格式将数值方法理论误差降低至O(Δx³)量级。 3. 验证全面：覆盖从ODE到复杂NS方程的正/反问题，包含5类基准测试案例。

七、延伸价值 1. 框架通用性：CAN-PINN可扩展至其他基于泰勒展开的数值格式 2. 硬件兼容性：在20CPU并行环境下，CAN-PINNs与A-PINNs具有相当的每迭代计算耗时 3. 开源潜力：采用的Keras/TensorFlow实现便于社区推广应用

本研究通过系统的理论分析和大量数值实验，证实CAN-PINN在保持物理约束的同时，显著提升了训练效率和求解精度，为科学机器学习提供了新的方法论工具。特别是在计算流体力学领域，该工作为解决高雷诺数复杂流动问题开辟了新途径。