IEEE Transactions on Cybernetics 2025年9月刊研究学术报告

一、研究作者与机构
本文由Zihan Li（中国人民大学数学学院）、Dong Shen（IEEE高级会员，中国人民大学数学学院）及Xinghuo Yu（IEEE会士，澳大利亚皇家墨尔本理工大学工程学院）共同完成，发表于IEEE Transactions on Cybernetics 2025年9月刊（第55卷第9期）。

二、学术背景与目标
本研究属于控制理论领域，聚焦迭代学习控制（Iterative Learning Control, ILC）的算法优化问题。ILC是一类针对重复运行系统的控制方法，广泛应用于工业机器人、数控机床等领域。传统ILC多采用比例型更新规则（Proportional-Type Update Rule, PTUR），但其线性结构在误差较小时收敛速度显著下降。为解决这一问题，作者提出了一种分数比例型迭代学习控制（Fractional-Proportional-Type ILC, FP-ILC）的新增益选择规则，旨在提升收敛速度并保持高跟踪精度。

三、研究流程与方法
1. 问题建模
- 研究针对单输入单输出离散时间系统，系统动态方程为：
[ x_k(t+1) = A x_k(t) + B u_k(t), \quad y_k(t) = C x_k(t) ]
其中，( u_k(t) )为控制输入，( y_k(t) )为输出，( e_k(t) = y_d(t) - y_k(t) )为跟踪误差。

1. 算法设计

   • 提出分数比例型更新规则（FPUR）：
     [ u_{k+1}(t) = u_k(t) + \alpha e_k(t+1) + \beta |e_k(t+1)|^\gamma \text{sgn}(e_k(t+1)) ]
     其中，(\alpha)和(\beta)为学习增益，(0 < \gamma < 1)为分数幂。
     
   • 两种增益选择规则：
     
     • FPUR-I（基于已有研究）：要求(-1 < 1 - \alpha CB < 0)且(\beta CB < 0)，适用于大误差场景。
       
     • FPUR-II（本研究提出）：要求(0 < 1 - \alpha CB < 1)且(\beta CB > 0)，针对小误差优化收敛速度。
       

2. 收敛性分析

   • 扰动非线性映射（Perturbation Nonlinear Mapping, PNM）方法：通过构造等效非线性递推方程，证明跟踪误差收敛至可调极限环（limit cycles），而非传统ILC的渐近零误差。
     
   • 极限环计算与边界估计：通过求解非线性方程组及泰勒展开，提出极限环的递归计算方法和边界估计技术。
     

3. 性能对比与多阶段加速方案

   • 对比PTUR、FPUR-I和FPUR-II的收缩函数（contraction function），证明FPUR-II在小误差下收敛更快，FPUR-I在大误差下更优。
     
   • 提出两阶段加速方案：
     
     1. 大误差阶段采用FPUR-I快速降低误差；
        
     2. 小误差阶段切换至FPUR-II提升精度。
        
   • 系统独立性：切换迭代次数无需依赖系统矩阵信息，增强实用性。
     

4. 仿真与实验验证

   • 数值仿真：以二阶永磁电机模型为对象，验证FPUR-II的极限环收敛性及多阶段方案的加速效果。结果显示，FPUR-II在(\gamma = 0.9)时较PTUR迭代次数减少50%以上。
     
   • 实物实验：三轴机器人平台跟踪正弦轨迹，FPUR-II在存在测量噪声时仍保持稳定收敛，跟踪误差较传统方法降低一个数量级。
     

四、主要结果与逻辑贡献
1. 理论结果
- 定理1：证明FPUR-II下跟踪误差收敛至极限环，并给出极限环的显式表达式（如(|e_k(1)| \to (\beta CB / (2 - \alpha CB))^{1/(1-\gamma)})）。
- 定理2与推论1：局部收敛速率分析表明，当(\gamma = 1 - 1/(2 - \alpha CB))时可实现二次收敛（q-quadratic），其余情况为线性收敛。

1. 实验验证
   
   • 多阶段方案（如式17）在(\alpha = 10)、(\beta = 5)时，仅需20次迭代即达到(10^{-6})精度，而PTUR需50次以上。
     
   • 控制输入幅值分析显示，FPUR-II未显著增加执行负担，但精度提升显著。
     

五、结论与价值
1. 科学价值
- 提出首个基于分数幂增益选择的FP-ILC理论框架，解决了传统PTUR在小误差下收敛慢的固有问题。
- PNM方法为非线性递推系统的稳定性分析提供了新工具。

1. 应用价值
   
   • 多阶段方案可适配工业场景中动态范围大的跟踪任务（如数控机床高速加工）。
     
   • 算法对系统信息需求低，适合数据驱动控制（data-driven control）场景。
     

六、研究亮点
1. 方法创新：首次将分数幂项与比例项协同设计，通过动态调整增益平衡收敛速度与精度。
2. 理论突破：极限环分析揭示了ILC中非零误差收敛的本质，拓展了传统渐近收敛的认知边界。
3. 工程兼容性：实验证明算法在噪声环境下鲁棒性强，无需高精度模型支持。

七、其他价值
- 开源代码与实验数据已附于论文补充材料，可供工业控制社区直接验证与应用。
- 提出的增益选择规则可推广至多智能体系统（multi-agent systems）协同控制领域。