本研究由Xiaowei Jin（哈尔滨工业大学）、Shengze Cai（哈尔滨工业大学）、Hui Li（哈尔滨工业大学，通讯作者）和George Em Karniadakis（布朗大学，通讯作者）合作完成，发表于《Journal of Computational Physics》2021年第426卷，文章编号109951。
研究领域：本研究属于计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）与人工智能的交叉领域，聚焦于利用物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）求解不可压缩Navier-Stokes方程。
研究动机：传统CFD方法（如有限元、有限体积法）在复杂几何、多物理场耦合或边界条件缺失的问题中面临网格生成耗时、数值稳定性要求高等挑战。本研究旨在通过PINNs构建无需网格的Navier-Stokes求解器（NSFNets），直接嵌入控制方程，解决传统方法的局限性。
科学问题：
- 能否通过神经网络直接模拟层流和湍流？
- 不同Navier-Stokes方程形式（速度-压力形式VP、涡量-速度形式VV）对NSFNets的精度和效率有何影响？
- 如何通过动态权重和自适应采样提升训练效率？
NSFNets架构设计：
1. 输入输出设计：空间坐标和时间作为输入，输出为速度场和压力场（VP-NSFNet）或速度场和涡量场（VV-NSFNet）。
2. 损失函数构建：
- 物理约束项：Navier-Stokes方程的残差（通过自动微分计算微分算子）。
- 边界条件项：Dirichlet或Neumann边界条件的匹配误差。
- 动态权重策略：通过梯度统计动态调整损失函数中各项权重（公式6-8），平衡边界条件与方程残差的贡献。
3. 训练策略：
- 采用Adam优化器进行初始训练，结合L-BFGS-B微调。
- 自适应残差点采样（Residual-based Adaptive Refinement, RAR）：在残差较大的区域动态增加采样点以提升精度。
实验验证：
1. 层流验证：
- Kovasznay流：二维稳态解析解验证VP/VV-NSFNets的收敛性。结果显示，VV-NSFNet在相同网络规模下精度更高（相对L2误差达10^-5量级）。
- 圆柱绕流：非定常流动模拟，对比DNS数据库。动态权重策略使VP-NSFNet的速度场误差降低50%。
- Beltrami流：三维非定常解析解测试，VP-NSFNet压力场误差较大（约13%），因压力通过不可压缩性约束间接求解。
2. 湍流模拟：
- 槽道湍流（Reτ≈1000）：VP-NSFNet在子域内成功维持湍流，但需高分辨率边界条件支持。动态权重（γ=5）显著提升精度（速度误差<10%）。
关键发现：
1. VP与VV形式对比：
- VV-NSFNet在层流中表现更优，但因高阶导数计算成本较高；VP-NSFNet更适合湍流模拟（与DNS数据兼容性更好）。
- 压力场的隐式求解（VP形式）可能导致精度损失，而VV形式通过消除压力项规避了此问题。
2. 动态权重有效性：动态调整损失权重（如公式12）可加速收敛，尤其在边界条件噪声较大时（如10%噪声下仍保持稳定）。
3. 迁移学习应用：将训练好的NSFNets参数迁移至新雷诺数问题（如Re=40→60），训练时间减少78%，精度提升一个数量级。
科学价值：
- 方法论创新：首次将PINNs扩展到高雷诺数湍流直接模拟，证明了其在复杂流动中的潜力。
- 应用突破：解决了传统CFD难以处理的病态问题（如边界条件缺失、逆问题），为数据-物理融合建模提供了新范式。
（注：术语翻译示例：Physics-Informed Neural Networks (PINNs) = 物理信息神经网络；Navier-Stokes = 纳维-斯托克斯；自动微分 = Automatic Differentiation (AD)）