自动驾驶赛车在变摩擦系数赛道上的时间最优轨迹规划研究

一、 研究团队与发表信息 本研究由来自德国慕尼黑工业大学（Technical University of Munich）的Fabian Christ, Alexander Wischnewski, Alexander Heilmeier和Boris Lohmann共同完成。研究成果以题为“Time-optimal trajectory planning for a race car considering variable tyre-road friction coefficients”的学术论文形式，于2021年正式发表在车辆动力学领域的国际期刊《Vehicle System Dynamics》（第59卷，第4期，页码588-612）上。该论文于2019年12月在线发表，DOI号为10.¹⁰⁸⁰⁄_00423114.2019.1704804。

二、 学术背景与研究目标 本研究属于自动驾驶与车辆动力学交叉领域，核心是解决最小单圈时间问题（Minimum Lap Time Problem, MLTP）。MLTP旨在为给定的赛车和赛道，计算出物理上可实现的最快行驶轨迹，是一个典型的最优控制问题（Optimal Control Problem, OCP）。

传统的MLTP研究通常假设整个赛道的轮胎-路面摩擦系数是恒定不变的。然而，在实际赛道中，由于路面材料、湿度、温度、橡胶沉积物等因素的影响，摩擦系数会随位置发生显著变化。忽略这种变化会导致规划的轨迹过度乐观，在低摩擦区域可能超出车辆的物理极限，从而引发安全风险。对于追求极限性能的自动驾驶赛车而言，精确考虑路面摩擦的不均匀性至关重要。

本研究正是在这一背景下展开的。其核心目标是：开发一种能够考虑赛道局部变化的、车轮级轮胎-路面摩擦系数的自动驾驶赛车时间最优轨迹规划方法。该研究是慕尼黑工业大学参与Roborace自动驾驶赛车竞赛项目的一部分，旨在为在车辆物理极限下运行的自动驾驶汽车开发现代化软件解决方案。

三、 详细研究流程与方法 本研究的工作流程可以概括为以下几个关键步骤：问题建模、数值求解方法设计、摩擦系数地图集成、仿真验证与分析。

1. 赛道与车辆建模 * 赛道模型：研究采用曲线横坐标法（Curvilinear Abscissa Approach）描述赛道。以一条参考中心线的弧长s作为自变量，通过中心线曲率κ、赛道左右宽度等参数，可以精确描述车辆在赛道上的位置（横向偏移n）和姿态（相对航向角ξ）。这种方法便于施加赛道边界约束，并能自然地处理沿赛道变化的参数（如摩擦系数）。 * 车辆模型：研究对比了两种不同复杂度的模型： * 单轨模型（Single Track Model）：将同一车轴左右轮胎合并，忽略横向载荷转移，模型相对简单。 * 双轨模型（Double Track Model）：分别考虑四个车轮，模型包含纵向、横向和横摆三个自由度。它整合了非线性轮胎模型、简化的发动机特性以及准静态车轮载荷转移（Quasi-Steady State Tyre Load Simplification）计算。轮胎力采用基于Pacejka魔术公式的模型，并引入了随垂直载荷递减的修正项，以更真实地模拟高负载下的轮胎特性。车辆的控制输入为前轮转向角δ、驱动力F_drive（≥0）和制动力F_brake（≤0）。此外，模型还包含了执行器（如最大转向角、电机功率和扭矩）的动态与静态约束。

2. 最优控制问题（OCP）的构建与数值求解 * 问题构建：将MLTP表述为一个OCP。目标函数是最小化单圈时间。系统动力学由车辆模型方程（在时间域描述）构成。约束条件包括：车辆动力学方程、执行器极限、轮胎附着椭圆约束（即每个轮胎的纵向力与横向力的合力不能超过当前摩擦系数与垂直载荷的乘积）、赛道边界约束以及闭环条件（起点与终点状态一致）。 * 变量转换与转录：为了便于求解，将自变量从时间t转换为沿参考线的弧长s。随后，采用直接正交配点法（Direct Orthogonal Gauss-Legendre Collocation）这一直接法（Direct Method）将连续的无限维OCP转录为有限维的非线性规划问题（Nonlinear Programme, NLP）。具体而言，将整个弧长区间离散化为多个小段，状态变量在每个小段内用三次拉格朗日多项式近似，控制变量在每个小段内为常数。通过强制状态多项式在配点（本研究中采用3阶勒让德多项式零点）处的导数等于系统动力学方程，将微分方程约束转化为代数等式约束。 * 数值求解：生成的大规模稀疏NLP问题，使用内点法求解器IPOPT进行求解。为了高效、精确地提供求解器所需的目标函数和约束的导数信息，研究利用了算法微分（Algorithmic Differentiation, AD）工具CasADi软件框架。为了提高数值稳定性和收敛速度，对状态变量和控制变量进行了归一化缩放。此外，为了避免控制变量出现非物理的高频振荡，在目标函数中加入了对其弧长导数的正则化项。

3. 变摩擦系数地图的集成（本研究核心创新点） 这是本研究区别于以往工作的关键。研究团队提出了一种将离散的摩擦系数地图（Friction Map）集成到OCP框架中的新方法。 * 数据输入：假设通过传感器（如激光雷达）和估计算法，可以获得一个在笛卡尔坐标系（xi, yi, μi）下离散表示的赛道摩擦系数地图。 * 映射方法：在OCP的每个离散路径点sk上，车辆的位置由决策变量n（横向偏移）决定。为了建立每个轮胎在该点的摩擦系数μij,k与n之间的连续函数关系，研究采用了以下步骤： 1. 对于给定的sk，在垂直于参考线的方向上，以精细网格（如Δn=0.1m）采样，从全局摩擦地图中提取出每个轮胎位置对应的摩擦系数值。 2. 使用高斯基函数线性组合来拟合μij,k与n之间的关系。这种方法比简单的线性回归能更好地捕捉摩擦系数在横向上可能出现的剧烈变化。 * 应用方式：计算出的变摩擦系数μij主要用于轮胎附着椭圆约束，确保规划的轨迹在任何位置都不会超过轮胎与路面的实际附着极限。为了平衡计算复杂度和精度，在计算轮胎侧向力时，摩擦系数仅沿参考线中心变化，而不随横向位置n变化。

4. 仿真验证与对比分析 研究以Roborace竞赛中的自动驾驶赛车DEVBot为对象，在柏林Formula E赛道上进行了仿真。 * 对比不同车辆模型：比较了单轨模型和双轨模型的规划结果。结果显示，双轨模型由于考虑了横向载荷转移及其导致的轮胎力衰减，规划出的最高加速度更低，单圈时间比单轨模型慢4.57秒。其中，仅横向载荷转移一项就导致了3.60秒的时间损失。这证明了在高速赛车场景中，考虑载荷转移对准确评估车辆极限至关重要。 * 验证变摩擦系数的影响： * 简单场景：在人工赛道上设置摩擦系数线性变化或局部极低的区域。结果显示，规划器会自动调整走线：在摩擦系数向外侧增大的弯道，会选择更靠外的、摩擦更高的路线；在低摩擦区域，会提前调整路线，以更平缓的曲线通过，避免在低摩擦区内进行剧烈的方向改变。 * 复杂场景：使用人工生成的、带有随机扰动（μ在1.0±Δμ范围内变化）的柏林赛道摩擦地图进行测试。结果表明，即使摩擦系数的微小变化（如Δμ=±0.1）也会对单圈时间、速度和最优走线产生显著影响（最大横向偏移可达2.944米）。 * 极端场景：在赛道中引入两条零摩擦（μ=0）的“油渍”区域。规划出的轨迹成功地让所有车轮都避开了零摩擦区，并通过提前调整入弯点来适应这一约束，展示了该方法处理剧烈路面条件变化的能力。 * 计算效率：在普通笔记本电脑上，对于一条赛道，单轨模型优化耗时约100秒，双轨模型约120秒，证明了该方法的实用性。

四、 主要研究结果及其逻辑关联 1. 模型对比结果：仿真结果表明，双轨模型因其包含了横向载荷转移效应，能更真实地反映赛车的物理极限，规划出的轨迹更保守（速度更低、圈速更慢）。这直接引导出结论：对于追求极限的赛车轨迹规划，必须考虑载荷转移的影响。研究进一步分析了时间损失来源：主要是外侧轮胎受限于内侧轮胎的驱动力分配。为此，研究探索了扭矩矢量分配（Torque Vectoring）的潜力，通过独立控制后轴左右电机的驱动力，可更好地利用高负载外侧轮胎的附着力，仿真显示能为示例赛道带来1.27秒的圈速提升。 2. 变摩擦系数集成结果：研究成功地将摩擦系数地图集成到OCP框架中。规划出的轨迹能够智能地响应路面摩擦的变化： * 在摩擦系数变化的区域，规划器会在“更长的附着极限路径”和“更短的附着极限路径”之间做出权衡。 * 在局部低摩擦区域，规划器会主动选择曲率更小的走线，并提前进行调整。 * 在存在零摩擦障碍的区域，规划器能生成完全避开该区域的轨迹。 这些结果强有力地支持了本研究的核心论点：可变的轮胎-路面摩擦系数对最优轨迹有显著影响，在非均质赛道上考虑这一因素可以（且必须）显著改善单圈时间和安全性。 逻辑链条清晰：引入摩擦地图 → 优化问题中的轮胎力约束变得与位置相关 → 求解出的最优控制（转向、油门、刹车）和状态（位置、速度）随之适应 → 最终得到适应路面条件的、物理上可执行的最优轨迹。 3. 方法可行性结果：采用直接正交配点法、CasADi自动微分和IPOPT求解器的组合，能够在可接受的时间内（约2分钟）完成复杂双轨模型和变摩擦约束下的全局轨迹优化。这证明了整个方法流程的工程实用性和实时性潜力，为其在真实自动驾驶赛车上的部署奠定了基础。

五、 研究结论与价值 本研究的主要结论是：提出并验证了一套完整的、考虑车轮级变摩擦系数的自动驾驶赛车时间最优轨迹规划方法。该方法通过将离散摩擦地图以连续函数形式嵌入最优控制问题，使规划出的轨迹能够主动适应赛道附着条件的变化，从而在保证安全的前提下提升圈速。

其科学价值在于：首次在MLTP的全局轨迹优化框架中，系统性地集成了高精度的、随空间变化的摩擦系数模型，推动了车辆极限动力学与轨迹规划交叉领域的研究深度。它提供了一种处理复杂环境约束（非均匀路面）的通用方法论。

其应用价值尤为突出：该算法已在实际的Roborace自动驾驶赛车上进行了初步测试，并计划用于后续赛季的比赛。它为自动驾驶系统在物理极限边缘安全、高效运行提供了关键核心技术。此外，研究所开发的完整Python代码已开源，为学术界和工业界提供了宝贵的参考工具。

六、 研究亮点 1. 核心创新：首次在时间最优轨迹规划的全局优化框架中，考虑了随赛道位置变化的、车轮特定的轮胎-路面摩擦系数。这是对传统恒定摩擦假设的重大突破，极大地增强了规划结果的实际性和安全性。 2. 方法创新：提出了使用高斯基函数拟合来建立摩擦系数与车辆横向位置之间的连续函数关系，从而将离散的摩擦地图高效、平滑地集成到NLP问题中。 3. 系统化的建模与对比：详细对比了单轨和双轨模型，定量分析了横向载荷转移对圈速的关键影响，并探讨了扭矩矢量分配的优化潜力，为车辆模型的选择和底盘控制系统设计提供了见解。 4. 工程实用性：整个技术栈（CasADi, IPOPT）的选择和实现（如弧长参数化、正则化处理、数据平滑）充分考虑了计算效率与鲁棒性，最终算法在普通硬件上达到了接近实时的性能，展示了强大的工程落地能力。

七、 其他有价值内容 * 研究中对赛道中心线数据的高频噪声问题进行了处理，采用了近似样条回归进行平滑，提高了优化的鲁棒性。 * 论文附录提供了完整的车辆参数和轮胎魔术公式参数，确保了研究的可复现性。 * 作者指出，未来工作将侧重于能量最优控制，并探索在配点处（而不仅是区间边界）施加路径约束以允许使用更粗的离散化网格，从而进一步减少计算量。摩擦系数地图的实际估计方法也是当前的研究主题。