本文档是哈尔滨工程大学智能科学与工程学院张凯、王宏健等研究人员发表于IEEE Sensors Journal（2025年4月）的一篇原创性研究论文，题为《Multiplatform Bearing-Only Target Tracking Algorithm Based on Maximum Likelihood Maximum Correntropy Kalman Filter》。该研究针对非高斯噪声环境下的多平台纯方位（Bearing-Only）目标跟踪问题，提出了一种新颖的滤波算法。
一、研究概况 本研究由哈尔滨工程大学的张凯、王宏健（通讯作者）、任景飞、罗乃夫、卢振伟以及武汉第二船舶设计研究所的陈卫豪共同完成。论文发表于IEEE传感器期刊2025年4月1日出版的第25卷第7期。研究领域属于信息融合、非线性滤波与目标跟踪，具体聚焦于水声被动探测、机器人导航等领域中的纯方位目标跟踪（BOT）难题。
二、学术背景与目标 在工程实践中，特别是水下环境，使用被动声呐等传感器仅能获得目标的方位角信息，而无法直接获取距离，这被称为纯方位跟踪。它是一个高度非线性的状态估计问题。传统方法如扩展卡尔曼滤波（EKF）、无迹卡尔曼滤波（UKF）等在处理此类强非线性系统时，存在数值不稳定和估计精度下降的问题。此外，海洋环境背景噪声复杂，导致传感器测量噪声往往呈现非高斯特性，而基于最小均方误差（MMSE）准则推导的标准卡尔曼滤波器（KF）及其变种在高斯噪声假设下最优，在非高斯噪声下性能会显著恶化甚至发散。
为解决这些问题，已有研究尝试将最大似然估计（MLE）与卡尔曼滤波结合，形成最大似然卡尔曼滤波（MLKF）。其核心思想是：首先利用来自多个平台的方位测量值，通过MLE算法得到目标在笛卡尔坐标系中的位置估计及其误差协方差，然后将此“转换后的测量”视为线性测量，输入标准的KF进行状态更新。这种方法通过测量转换，绕开了直接处理非线性测量方程，从而避免了EKF等算法因线性化带来的数值不稳定问题。然而，标准MLKF仍然基于MMSE准则，其性能在非高斯测量噪声下会下降。
因此，本研究的目标是：第一，将MLKF算法系统性地应用于多平台二维纯方位目标跟踪，并详细阐述其实现流程，以提升算法在非线性系统中的数值稳定性；第二，针对非高斯测量噪声环境，为了进一步提升跟踪精度，提出一种改进算法——最大似然最大相关熵卡尔曼滤波（MLMCKF）。该算法用最大相关熵准则（MCC）取代原KF更新步骤中的MMSE准则，以期获得更优的鲁棒性和估计精度。
三、研究流程与方法 研究流程主要包括理论模型建立、算法推导、仿真验证三大部分。
1. 模型建立： 研究建立了标准的二维常速度（CV）目标运动模型（状态方程）和多平台方位测量模型（测量方程）。目标状态为位置和速度的四维向量。假设有N个观测平台，每个平台在k时刻获得一个带有噪声的方位角测量值，测量噪声被建模为零均值高斯白噪声（算法推导阶段假设，但在仿真中会挑战此假设）。测量方程是目标与平台位置之差的反正切函数，具有强非线性。
2. MLKF算法流程： 这是本研究提出的基础算法框架，具体步骤如下： * 测量转换（MLE）： 在每个时刻k，收集所有N个平台的方位测量值。研究者构建了基于这些测量值的似然函数，并通过最大化该似然函数来估计目标位置。求解最大似然估计（MLE）时，采用高斯-牛顿迭代法。为了启动迭代，论文提出了一种基于任意两个平台方位角的三角定位变换公式作为初始值。迭代的停止准则是达到最大迭代次数（20次）或相对变化小于阈值（0.01）。最终输出目标位置的MLE估计值及其对应的克拉美-罗下界（CRLB），作为转换后测量的误差协方差矩阵。这一步是核心预处理步骤，将非线性方位测量转换为了伪线性位置测量。 * 卡尔曼滤波： 将上一步得到的目标位置估计视为新的“测量值”，其测量矩阵变为简单的线性矩阵（仅提取状态向量中的位置分量）。随后，执行标准卡尔曼滤波的预测和更新步骤，对目标的位置和速度进行联合估计。整个流程在算法1中清晰列出。
3. MLMCKF算法流程： 这是本研究的主要创新点，旨在提升MLKF在非高斯噪声下的性能。 * 最大相关熵准则（MCC）回顾： 论文首先回顾了MCC的原理。相关熵是信号处理中一种基于信息论学习的广义相似性度量，它对误差的偶次矩进行加权，对大误差（异常值）给予较小的权重。MCC即寻求最大化模型输出与期望响应之间的相关熵。通过调整高斯核函数的宽度参数，可以在鲁棒性（小σ）和逼近MMSE性能（大σ）之间进行权衡。 * 算法推导： 研究者将KF的状态方程和经过ML转换后的测量方程组合成一个新的方程。通过引入误差的Cholesky分解，将问题转化为一个带有加性噪声的线性回归问题。然后，采用MCC代替MMSE作为损失函数，来求解目标状态的后验估计。这导出了一个定点迭代方程。具体更新步骤不再是KF的一次性计算，而是通过迭代求解。迭代中，通过计算基于当前估计误差的高斯核函数值，动态地调整预测误差协方差和测量噪声协方差矩阵的权重（即论文中的Cx_k和Cy_k矩阵），进而计算出一个改进的卡尔曼增益。后验协方差也通过新的公式计算。迭代的初始值设为KF的先验估计，停止准则与MLE迭代类似。整个MLMCKF的完整流程在算法2中给出。
4. 仿真实验设计： 为了验证所提算法的性能，研究者设计了系统的蒙特卡洛仿真实验。 * 仿真场景： 在二维平面，一个目标沿直线匀速运动。设置多个（N可变）位置固定的观测平台。总仿真时长1000秒，采样间隔1秒。过程噪声为高斯噪声。 * 实验一：MLE测量转换的渐近最优性验证。 为了从经验上验证文献中“当观测平台数量趋近无穷时，MLE转换后的测量服从高斯分布”的理论，研究者进行了10000次蒙特卡洛仿真。通过改变观测平台数量（3, 8, 15），绘制位置估计误差（PEE）的直方图，并计算误差的均值和方差。研究对象是不同平台数量下的PEE分布。处理方法是纯粹的统计计算和可视化比较。 * 实验二：非高斯噪声下滤波器性能分析。 这是验证算法核心价值的部分。传感器测量噪声被设置为混合高斯噪声：以90%的概率服从标准差为1°的高斯分布，以10%的概率服从标准差为4°的高斯分布，以此模拟实际中可能出现的异常值或重尾噪声。观测平台数固定为15。 * 首先，再次进行10000次蒙特卡洛仿真，绘制非高斯噪声下MLE转换后位置误差的直方图，观察其分布特性。 * 其次，在相同的非高斯噪声场景下，对比五种算法的跟踪性能：MLKF、MLHKF（MLE+ Huber KF）、MLIVBKF（MLE+基于逆Wishart-Student‘s t的变分贝叶斯KF）、MLAPIVBKF（MLE+自适应版本的IVBKF）以及本文提出的MLMCKF（核宽度σ设为2）。研究对象是各算法在100次蒙特卡洛仿真中的轨迹。评估指标是位置和速度的均方根误差（RMSE）及其平均值（ARMSE）。此外，还比较了各算法的运行时间以评估计算复杂度。所有滤波器使用基于MLE转换结果和先验信息生成的相同随机初始状态。
四、主要结果与分析 1. MLE测量转换的渐近最优性结果： 仿真结果完全支持理论预测。图1和表1显示： * 当观测平台数量较少（如3个）时，位置估计误差的直方图明显偏离高斯分布，且估计存在较大偏差。 * 随着观测平台数量增加（到8个，特别是15个），直方图越来越接近钟形的高斯分布形态。 * 误差的均值和方差也随着平台数量增加而显著减小。当平台数为15时，误差均值已接近0。 * 结论：在实际有限平台条件下，MLE转换后的目标位置噪声并非严格高斯分布，但平台数量越多，其分布越接近高斯分布。这为后续使用KF处理转换后的测量提供了合理性的经验支持。
2. 非高斯噪声下MLE转换的分布特性： 图2显示，即使在15个平台的情况下，当原始测量噪声为非高斯混合噪声时，MLE转换后的位置误差分布虽然整体对称，但在误差绝对值较大处（>400）出现了明显的“拖尾”或异常值。这证实了在非高斯噪声环境下，即使经过MLE转换，测量噪声依然是非高斯的，因此直接使用基于高斯假设的MLKF必然不是最优的，从而引出了对更鲁棒算法（如MLMCKF）的需求。
3. 滤波器性能对比结果： * 精度（ARMSE）： 表2展示了五种算法的位置和速度ARMSE。结果显示：MLKF算法性能最差，这是因为其高斯假设与非高斯噪声现实不符。MLHKF、MLIVBKF和MLAPIVBKF算法的精度略有提升，但改善有限，因为它们分别主要针对测量异常值和特定的重尾噪声（Student‘s t分布）设计，而仿真中使用的混合高斯噪声可能更复杂。本文提出的MLMCKF算法（σ=2）取得了最佳的跟踪精度，其位置和速度ARMSE均为最小。这验证了MCC在处理混合型非高斯噪声方面的有效性。 * 动态性能（RMSE曲线）： 图3和图4分别展示了位置和速度的RMSE随时间变化的曲线。曲线清晰表明，在整个跟踪过程中，MLMCKF的RMSE在绝大部分时间都低于其他对比算法，且曲线更为平缓，显示了其优越且稳定的估计性能。 * 核宽度σ的影响： 研究者在表2中也测试了不同σ对MLMCKF性能的影响。结果显示，当σ增大时，MLMCKF的性能逐渐接近MLKF；当σ减小时，算法对非高斯噪声的鲁棒性增强。这验证了论文“备注2”中的理论分析：MCC通过核宽度参数提供了灵活性。 * 计算复杂度： 表3对比了各算法的运行时间。MLMCKF由于引入了定点迭代，其运行时间略长于MLKF（约为1.05倍），但远低于粒子滤波等复杂算法，且与其他几种改进型算法（MLHKF等）处于同一量级。这表明MLMCKF在获得显著精度提升的同时，并未带来不可接受的计算负担，具有良好的实用性。
五、研究结论与价值 本研究得出以下主要结论： 1. 算法有效性： 成功将MLKF算法应用于多平台纯方位目标跟踪，提供了完整的实现流程，通过测量转换有效规避了强非线性系统直接线性化带来的数值不稳定问题。 2. 分布验证： 通过仿真验证，当观测平台数量足够多时，MLE转换后的目标位置估计渐近服从零均值高斯分布；但在非高斯测量噪声下，即使平台数足够，转换后的噪声分布依然是非高斯的。 3. 算法优越性： 提出的MLMCKF算法通过用MCC准则替代MMSE准则来更新后验估计，显著提升了在非高斯测量噪声环境下的目标跟踪精度。其性能优于现有的几种针对非高斯噪声的改进滤波算法。 4. 参数灵活性： MLMCKF算法的性能受高斯核宽度σ影响，可通过调整σ在鲁棒性和与MLKF的近似度之间取得平衡。
本研究的价值体现在： * 科学价值： 将信息论学习中的最大相关熵准则与经典的卡尔曼滤波框架及最大似然估计方法相结合，为解决非高斯噪声下的非线性滤波问题提供了一种新的、有效的思路。详细推导了MLMCKF的定点迭代求解过程，丰富了鲁棒滤波理论。 * 应用价值： 所提算法尤其适用于水下无人航行器（UUV）协同被动目标跟踪、水下无线传感器网络定位等实际工程场景，其中测量噪声常呈复杂的非高斯特性。算法在提升精度的同时保持了可接受的计算量，具备良好的工程应用前景。
六、研究亮点 1. 问题导向的创新： 研究精准抓住了多平台纯方位跟踪中“强非线性”和“非高斯噪声”两个核心难点，提出了递进式的解决方案（先解决非线性不稳定MLKF，再解决非高斯精度下降MLMCKF）。 2. 算法的新颖性： 提出的MLMCKF算法是主要创新点。它并非简单套用MCC，而是将其巧妙地嵌入到经过MLE预处理后的KF更新步骤中，形成了一套完整、可实现的滤波流程。 3. 系统性的验证： 研究验证层次清晰：先验证MLE转换的渐近性质，为算法基础铺垫；再构造复杂的混合非高斯噪声环境，全面对比多种先进算法，从平均精度、动态曲线、计算复杂度多角度证明了MLMCKF的优越性。对核宽度参数影响的讨论也增加了研究的深度。 4. 详尽的实现细节： 论文提供了包括三角定位初始值、高斯-牛顿迭代、定点迭代停止准则等在内的完整算法步骤和参数设置，具有很高的可复现性，对其他研究人员和工程师具有重要参考价值。
七、其他有价值内容 论文在最后讨论了未来研究方向，指出实际工程中还需考虑平台间的信号传播时延和通信时延等问题，为后续研究指明了方向。此外，附录中提供了MLMCKF关键公式（47）和（50）的详细推导过程，体现了研究的严谨性。