融合无偏伪线性卡尔曼滤波器在纯方位目标跟踪中的应用

本文所介绍的文档是由蔡志浩、邢士祺、蒙威泽、王俊鹏、苏鑫源和全思农共同完成，发表于《Remote Sensing》期刊2024年第16卷的第4536页，于2024年12月3日正式发布。所有作者均来自中国长沙的国防科技大学电子科学学院复杂电磁环境效应与信息系国家重点实验室。本研究属于信号处理与目标跟踪领域，具体聚焦于纯方位目标跟踪（Bearings-Only Target Tracking， BOT）这一经典非线性滤波问题。

研究的核心背景在于，纯方位跟踪技术仅利用角度测量数据来估计目标的位置、速度等参数，在国防、导航、气象等领域具有广泛的应用。然而，由于角度测量与目标状态之间的非线性关系，该问题本质上是非线性的。解决BOT非线性问题的常用方法包括非线性贝叶斯滤波（如扩展卡尔曼滤波EKF）、粒子滤波（PF）以及伪线性卡尔曼滤波器（Pseudo-Linear Kalman Filter， PLKF）。其中，PLKF因其计算复杂度低、实现简单、鲁棒性强等优点而受到广泛关注。但是，PLKF存在一个根本性的缺陷：在伪线性化过程中，测量矩阵（Measurement Matrix） 与伪线性噪声（Pseudo-Linear Noise） 之间存在相关性，这种相关性会导致状态估计产生偏差（Bias），特别是在测量噪声较大时，偏差会急剧增大，严重影响跟踪精度和稳定性。

已有一些方法试图解决PLKF的偏差问题。例如，偏差补偿PLKF（Bias-Compensated PLKF， BC-PLKF） 通过估计并减去偏差项来进行补偿；基于工具变量的PLKF（Instrumental Variable-based PLKF， IV-PLKF） 则试图构造无噪声的工具变量矩阵来替代原有的测量矩阵，以达到渐近无偏。然而，这些方法都存在局限性：当测量噪声增大时，BC-PLKF的偏差补偿精度会下降，导致补偿效果变差；而IV-PLKF的性能又依赖于BC-PLKF的估计结果，因此在高噪声环境下同样性能恶化。此外，近期提出的无偏伪线性卡尔曼滤波器（Unbiased Pseudo-Linear Kalman Filter， UBKF）在二维空间取得了良好效果，但其对初始估计精度要求较高，初始估计不准确可能导致与真实值失去关联，进而引起滤波发散。

为了克服上述挑战，本研究提出了一种全新的算法——融合无偏伪线性卡尔曼滤波器（Fusion Unbiased Pseudo-Linear Kalman Filter， FUBKF）。本研究的目标是：1）通过分离测量矩阵中的噪声，消除PLKF中测量矩阵与噪声的相关性，从根本上解决估计偏差问题；2）确保算法在低噪声和高噪声环境下均能保持高精度和强鲁棒性；3）将算法从二维空间推广到三维空间，以应对更复杂的实际应用场景。

研究工作的详细流程

本研究首先对二维BOT问题进行建模，定义了目标和观测者的状态向量。目标动态模型假设为匀速运动，状态方程如式（1）所示，其中包含了状态转移矩阵F和过程噪声。测量方程则是基于目标与观测者之间的几何关系得到的角度测量值，如式（4）和式（5）所示，其中包含了高斯测量噪声。这是后续所有算法推导和性能比较的基础模型。

接下来，研究回顾了经典的PLKF算法流程。PLKF的核心步骤是通过代数变换，将非线性的角度测量方程（5）重写为伪线性的形式（6）：zk = hk xk + ηk。这里，zk是构造的观测变量，hk是测量矩阵（与噪声测量角相关），ηk是伪线性噪声。然后，算法按照卡尔曼滤波的标准步骤进行状态预测、协方差预测、计算卡尔曼增益、状态更新和协方差更新。然而，由于hk的构造依赖于带噪声的测量角，导致hk与ηk相关，这正是PLKF估计偏差的根源。文中通过理论推导和仿真都证实了这一点。

针对PLKF的偏差问题，本研究提出的FUBKF算法采取了独特的解决思路，其工作流程可以概括为几个关键步骤：

第一步：全局伪线性化与噪声分离。 这是算法的理论基础。在低噪声假设下（cos ξk ≈ 1, sin ξk ≈ ξk），对原始的伪线性测量方程进行代数操作。将包含噪声的测量矩阵hk近似分解为两部分：一个不包含噪声的真实部分gk，和一个与噪声ξk相乘的扰动项。通过将整个方程除以一个特定的标量ζk（其表达式如式（20）所示），可以巧妙地重构出一个新的测量方程（22）：žk = ḣk xk + ξk。在这个新方程中，重构后的测量矩阵ḣk（等于gk/ζk）与测量噪声ξk不再相关，从而在理论上实现了无偏估计。这里的gk仅依赖于目标的真实方位角和位置，ζk依赖于真实状态。

第二步：关键参数（gk和ζk）的精确估计。 然而，在实际情况中，目标的真实状态（真实方位角αk、真实距离dk）是未知的，因此gk和ζk无法直接获得。这是算法实现的关键挑战。本研究提出，利用无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter， UKF） 来对目标状态进行高精度估计。UKF采用“Sigma点”技术来近似非线性函数的统计特性，在处理非线性问题方面具有精度高、无需计算雅可比矩阵、对初值不敏感、鲁棒性强等优点，非常适合用于BOT模型中的状态估计。具体步骤如式（26）至（36）所述，包括Sigma点的选取、状态预测、测量更新以及最终的状态和协方差估计。通过UKF算法，可以得到目标状态的估计值x_ukf_k，进而计算出估计的方位角α_ukf_k、距离d_ukf_k，最终得到gk和ζk的估计值ĝk和ζ̂k（式38）。

第三步：算法融合与FUBKF迭代。 将UKF估计得到的ĝk和ζ̂k，与PLKF的基本框架进行融合，形成完整的FUBKF算法。具体迭代过程如式（39）至（45）所示：首先进行状态预测和协方差预测；然后，利用ĝk和ζ̂k，根据式（41）和（42）计算用于当前时刻滤波的新观测值žk和新测量矩阵ḣk；接着，像标准卡尔曼滤波一样，计算卡尔曼增益、更新状态和协方差。需要强调的是，FUBKF并非UKF和PLKF的简单串联。UKF的作用是独立、并行地为PLKF提供一个高质量的、无噪声关联的测量矩阵估计，从而“修正”PLKF的核心缺陷。

第四步：向三维空间的扩展。 为了验证算法的普适性和实际应用价值，本研究进一步将FUBKF算法从二维推广到三维BOT问题。三维模型（图2）涉及方位角和俯仰角两个测量值，状态向量和测量方程更为复杂。研究遵循了与二维推导相似的逻辑：首先建立三维状态空间模型（式54， 55）；然后推导三维PLKF，并指出其同样存在因h‘k与η’k相关而产生的偏差；接着，通过类似的代数近似和噪声分离技术，得到三维形式下测量矩阵与噪声解耦的方程（式83）；最后，利用UKF估计三维空间中的真实角度和距离，得到三维的ĝ‘k和μk（式84），并将其融入三维PLKF框架，形成三维FUBKF算法（式85-91）。这证明了FUBKF方法的核心思想具有从二维到三维的良好可扩展性。

第五步：仿真验证与性能分析。 为了评估FUBKF算法的性能，研究进行了大量的蒙特卡洛仿真实验。研究设计了四种典型场景：二维非机动目标跟踪、二维机动目标跟踪、三维非机动目标跟踪、三维机动目标跟踪。在每个场景中，都将FUBKF与PLKF、BC-PLKF、IV-PLKF、EKF、PF和UKF共七种算法进行对比。性能评估指标包括均方根误差（Root Mean Square Error， RMSE） 和时间平均RMSE，并以后验克拉美-罗下界（Posterior Cramér–Rao Lower Bound， PCRLB） 作为理论性能基准。仿真参数设置详尽，例如总时长400秒，蒙特卡洛实验次数为10000次，以充分保证统计可靠性。

研究的主要结果

仿真结果全面而有力地支持了FUBKF算法的优越性。

在二维非机动目标跟踪场景中（图4），当测量噪声标准差为5°时，PLKF的RMSE随时间显著增大，偏差明显。EKF在低噪声时尚可，但在该噪声水平下已开始发散。BC-PLKF和IV-PLKF性能相近，但均差于FUBKF。PF与UKF性能接近。而FUBKF算法的位置和速度估计RMSE曲线最接近PCRLB，表明其估计精度最高，最接近理论最优。图5进一步展示了算法性能随噪声变化的鲁棒性。随着角度测量噪声从1°增加到10°，PLKF的偏差急剧上升；EKF在约5°后性能严重恶化；BC-PLKF和IV-PLKF的性能也随着噪声增大而显著下降，这是因为BC-PLKF的偏差补偿精度在高噪声下变差，进而影响了依赖其结果的IV-PLKF。相比之下，FUBKF的RMSE曲线增长平缓，在所有噪声水平下都最接近PCRLB，展现了出色的抗噪能力和稳定性。

在二维机动目标跟踪场景中（图7），目标在运动过程中发生机动（加速度变化）。FUBKF同样表现出最佳性能，其RMSE最接近PCRLB。特别值得注意的是，在目标发生机动后（约150秒后），FUBKF的RMSE能够迅速收敛并保持在较低水平，表明算法能很好地适应目标运动状态的突变。图8的时间平均RMSE对比再次确认，在各种噪声水平下，FUBKF在机动目标跟踪中依然保持性能领先和高度鲁棒性。

在三维空间的仿真中，结论与二维一致。无论是非机动目标（图10， 11）还是机动目标（图13， 14），FUBKF算法在位置和速度估计上的RMSE都显著低于其他对比算法（PLKF， BC-PLKF， IV-PLKF， EKF），并且最逼近PCRLB。这充分证明了本研究提出的噪声分离与UKF融合框架在更高维、更复杂的跟踪环境中依然有效。PF和UKF在三维场景中性能相当，但均不如FUBKF精确和稳定。

此外，研究还对比了各算法的计算复杂度（通过运行时间衡量）。结果显示，线性化程度最高的EKF运行最快，PLKF次之。FUBKF由于引入了UKF进行并行估计，其计算时间比PLKF长，但与其他非线性滤波算法（如PF、UKF本身）处于同一量级，且在获得了远超这些算法的跟踪精度的前提下，其计算代价是可接受的。

研究的结论与价值

本研究成功提出并验证了一种用于纯方位目标跟踪的融合无偏伪线性卡尔曼滤波（FUBKF）算法。该算法的核心贡献在于：第一，通过对测量方程进行全局伪线性处理和代数近似，从理论层面实现了测量矩阵与噪声的分离，为构建无偏估计器奠定了理论基础。第二，创新性地引入UKF算法，对分离噪声后的关键参数（测量矩阵）进行高精度、鲁棒的估计，从而解决了理论无偏性在实际中因真实状态未知而无法实现的问题。第三，将上述思路成功地从二维空间推广到三维空间，显著提升了三维纯方位目标跟踪的精度。

该研究的科学价值在于，它针对PLKF这一经典算法的固有偏差缺陷，提出了一种系统性的、基于噪声分离和融合估计的解决方案，不仅从理论上分析了偏差来源并给出了解耦方法，而且通过巧妙的算法设计（融合UKF）实现了工程上的可行性和高效性。其应用价值则非常直接：FUBKF算法能够显著提高在复杂电磁环境或高噪声干扰下，利用被动传感器（如声呐、红外、电子支援措施）进行目标跟踪的精度和可靠性，这对于军事防御、空中交通管制、海洋监测等实际应用具有重要意义。

研究的亮点

本研究的亮点突出体现在以下几个方面：1. 根本性解决偏差问题：不同于以往“补偿”偏差的思路，FUBKF从“消除”测量矩阵与噪声的相关性这一根源入手，实现了理论上的无偏估计，这是方法上的重要创新。2. 巧妙的融合架构：将具有优异非线性处理能力的UKF与计算高效的PLKF框架进行并行融合，利用UKF的估计结果来“修正”PLKF的核心缺陷，构思巧妙，兼顾了精度与复杂度。3. 强大的鲁棒性与普适性：大量仿真实验证明，FUBKF在从低到高的各种噪声水平下，对非机动和机动目标，在二维和三维空间中，均能保持接近理论最优的跟踪性能，表现出极强的鲁棒性和环境适应性。4. 完整的理论推导与实验验证：研究从问题建模、算法推导、扩展到三维，再到全面的蒙特卡洛仿真对比与性能分析，形成了一个完整、严谨的研究闭环，结论可信度高。

本研究提出的FUBKF算法为纯方位目标跟踪领域提供了一个高性能、高鲁棒性的新解决方案，具有重要的理论意义和广阔的应用前景。