三维AOA目标跟踪中的一种状态约束与噪声分离的伪线性卡尔曼滤波算法

本研究由Jinjie Huang, Qingyang Jia, Hengyu Liang, Xiaojun Ban完成。Jinjie Huang与Qingyang Jia来自哈尔滨理工大学自动化学院，Hengyu Liang来自哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院，Xiaojun Ban来自哈尔滨工业大学控制理论与制导技术中心。该研究以研究论文形式发表于《ISA Transactions》期刊，该卷刊于2026年，文章编号为169，页码465-476。文章在线发表于2025年12月26日，收录于2025年12月22日。

该研究的学术背景属于信息与控制科学领域，具体聚焦于无人机（Unmanned Aerial Vehicles, UAV）平台下的被动目标跟踪技术。随着无人机技术的飞速发展，与非合作目标监控相关的军事、民用及商业应用日益广泛。其中，被动跟踪系统因其不主动发射电磁波，仅利用目标辐射的信号进行工作，具有作用距离远、隐蔽性强、安全性高等优点。在被动跟踪系统中，仅使用到达角（Angle of Arrival, AOA）信息的单站跟踪系统因其部署简单、平台机动灵活而备受关注。然而，仅凭角度测量的单站三维AOA跟踪系统面临两大核心挑战：一是系统的弱可观测性；二是测量模型固有的强非线性。为了处理非线性问题，研究者们已开发出多种基于卡尔曼滤波（Kalman Filtering, KF）的改进算法，如扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filtering, EKF）、容积卡尔曼滤波（Cubature Kalman Filtering, CKF）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filtering, UKF）等。然而，这些方法均涉及对非线性项的近似计算，不可避免地产生近似误差，导致跟踪性能下降。粒子滤波（Particle Filtering, PF）、移动水平估计（Moving-Horizon Estimation, MHE）等方法虽精度更高，但计算负担重，难以满足实时性要求。

另一种处理非线性的思路是伪线性卡尔曼滤波（Pseudo-Linear Kalman Filtering, PLKF）。PLKF通过伪线性变换和等价转换，将非线性测量方程转化为线性形式，从而避免了直接处理非线性。然而，PLKF的一个根本性缺陷在于，变换后的测量矩阵与测量噪声之间存在相关性，这导致了PLKF估计存在偏差，且误差会随采样序列累积。为解决此问题，后续出现了偏差补偿PLKF（Bias-Compensated PLKF, BC-PLKF）、辅助变量PLKF（Instrumental-Variable PLKF, IV-PLKF）和无偏PLKF（Unbiased PLKF, UB-PLKF）等改进算法。其中，UB-PLKF在二维情况下理论上可通过将噪声项从伪线性测量矩阵中分离出来获得无偏估计。然而，UB-PLKF在滤波过程中需要当前时刻的真实目标位置，这在实际应用中是无法获取的，现有方法通常使用估计值替代，这可能导致精度下降或滤波器发散。

针对上述问题，本研究旨在提出一种能够同时保证高精度和高稳定性的单站三维AOA跟踪算法。具体目标是：开发一种状态约束与噪声分离的伪线性卡尔曼滤波（State-Constrained and Noise-Separated Pseudo-Linear Kalman Filtering, SC-NS-PLKF）算法，通过融合噪声分离技术和状态约束机制，从根本上消除PLKF的固有偏差，并有效防止滤波发散，以实现对非合作目标的高精度、稳健跟踪。

研究的详细工作流程主要包括以下几个核心部分： 首先，是问题建模与PLKF偏差分析。研究考虑了一个三维坐标系下的单站被动跟踪场景，其中观测站（通常为无人机）的位置已知，目标是估计空间目标的运动状态（包括三维位置和速度）。目标的运动模型在采样周期内被建模为匀速运动，其状态方程为标准线性形式。关键的非线性来源于AOA测量方程，该方程将测量到的方位角和俯仰角与目标及观测站的几何位置联系起来。为了分析PLKF的偏差，研究从基本的几何关系出发，通过三角恒等式对原始非线性测量方程进行等价变换，推导出了伪线性测量方程。分析表明，变换后新定义的测量矩阵中包含了原始的测量噪声，导致其与新的测量噪声向量相关。通过对PLKF估计误差期望值的详细推导，研究量化了这一相关性引入的固有偏差，并明确指出该偏差是导致PLKF性能下降的根本原因。

其次，是噪声分离伪线性卡尔曼滤波（NS-PLKF）的推导。这是本研究的核心创新步骤之一。为了消除PLKF的偏差，研究提出了一种噪声分离技术。具体而言，研究人员对伪线性变换过程进行了更精细的处理，旨在将混杂在测量矩阵参数中的噪声项完全“剥离”出来，并将其重新组合到一个新合成的噪声向量中。通过严格的数学推导（详见论文附录A），在假设测量噪声足够小的条件下，研究成功地将原始的、包含噪声的伪线性测量矩阵，转换成了一个全新的、与噪声无关的测量矩阵。同时，原始测量噪声则与由观测站位置和目标几何关系决定的系数矩阵相乘，构成了NS-PLKF的复合测量噪声。这一过程的关键在于，新的测量矩阵仅依赖于目标的真实位置（而非测量值），从而在理论上保证了滤波器的无偏性。研究将这一新模型形式化表述为定理1，并给出了完整的NS-PLKF算法步骤，包括初始化、预测、变量计算（计算新的测量向量、测量矩阵和噪声协方差）和修正。

第三，是状态约束与噪声分离伪线性卡尔曼滤波（SC-NS-PLKF）的构建。尽管NS-PLKF在理论上能提供无偏估计，但其在实际运行中面临一个“先有鸡还是先有蛋”的困境：为了计算NS-PLKF所需的测量矩阵和噪声协方差，必须知道目标的真实位置，而这正是需要估计的量。为解决这一难题，本研究引入了“辅助滤波”和“状态约束”两个核心思想。具体工作流程如下：1）算法并行运行两个滤波器：一个是NS-PLKF（主滤波器），另一个是一个辅助滤波器（例如EKF）。2）辅助滤波器利用标准的非线性滤波方法（如EKF）对目标状态进行估计，其输出（包括状态估计和误差协方差矩阵）被提供给NS-PLKF，作为计算其测量矩阵等变量时所需的“目标位置”的替代值。3）为了防止当辅助滤波器的估计误差较大时，导致NS-PLKF计算错误并最终发散，研究设计了一个椭球域约束条件。该约束以一个不等式形式定义了一个以辅助滤波器估计值为中心、以其误差协方差矩阵形状确定的椭球区域。4）在每个滤波周期，算法计算NS-PLKF的状态估计，并检查其是否落在此椭球域内。如果满足条件，则接受NS-PLKF的估计作为最终输出；否则，则认为NS-PLKF的估计可能因输入不准确而不可靠，转而采用辅助滤波器的估计作为最终输出。这一机制巧妙地融合了NS-PLKF的潜在高精度优势和辅助滤波器的稳健性，并通过椭球域约束实现了两者的自适应切换与协同，从而构成了完整的SC-NS-PLKF算法。

第四，是算法的有界性证明与计算复杂度分析。为了从理论上确保所提算法的可靠性，研究对其估计误差的有界性进行了严格证明。研究首先基于系统可观测性假设和辅助滤波器估计有界的假设，引用相关引理，证明了在一定条件下，NS-PLKF的Ricatti差分方程解是有界的。接着，通过构造一个李雅普诺夫（Lyapunov）函数，并利用引理3，最终证明了SC-NS-PLKF的估计误差在均方意义下是指数有界的，并且以概率1有界。这一理论结果为算法的稳定性奠定了坚实的数学基础。此外，研究还对算法的计算复杂度进行了定量分析。通过统计浮点运算次数，并与标准卡尔曼滤波、NS-PLKF以及其他先进算法（如PF、MHE）进行比较，结果表明SC-NS-PLKF在保持高精度的同时，计算复杂度显著低于PF（尤其是大粒子数时）和MHE，具有良好的实时应用潜力。

第五，是仿真实验与性能评估。研究通过大量的蒙特卡洛（Monte-Carlo）模拟来验证所提算法的性能。仿真设置了一个持续200秒、采样间隔1秒的典型三维跟踪场景，目标和观测站（无人机）均按预定轨迹运动。评估指标采用位置和速度的均方根误差（Root Mean Square Error, RMSE）。实验分为两部分：首先，将SC-NS-PLKF（以EKF为辅助滤波器）与几种基础方法进行比较，包括：使用预测值替代目标位置的NS-PLKF、使用EKF估计值替代目标位置的NS-PLKF、原始PLKF、标准EKF以及作为性能上限的“使用真实目标位置的NS-PLKF”。结果表明，SC-NS-PLKF的性能非常接近理想上限，且远优于其他存在发散或偏差累积的基础方法。研究还通过图表详细展示了椭球域约束对状态估计选择的过程，并分析了不同椭球域参数ρ对跟踪精度的影响，验证了参数设置的重要性。其次，将SC-NS-PLKF与几种先进的跟踪算法进行比较，包括UB-PLKF、融合无偏卡尔曼滤波（Fusion Unbiased Kalman Filtering, FUBKF）、PF和MHE。在标准高斯噪声环境下，SC-NS-PLKF在位置和速度跟踪上均表现出稳定且低误差的性能，优于UB-PLKF和FUBKF，与MHE相当，但计算效率远高于使用大粒子集的PF和MHE。此外，研究还测试了算法在非高斯噪声（混合分布噪声，模拟杂波干扰）和测量丢失情况下的鲁棒性。结果表明，SC-NS-PLKF在各种干扰条件下均能保持稳定的高精度跟踪，其椭球域约束机制有效抑制了异常测量和短期数据丢失带来的不良影响，展现了卓越的鲁棒性。

本研究得到的主要结果包括：1）成功推导出无偏的NS-PLKF测量模型及其闭式噪声统计量。2）成功构建了融合辅助滤波与椭球域约束的SC-NS-PLKF完整算法框架。3）通过理论证明，确立了SC-NS-PLKF估计误差的指数有界性，确保了算法的稳定性。4）通过系统的仿真实验，获得了大量数据，这些数据一致表明，与现有的PLKF变体、EKF、UKF、PF、MHE等先进方法相比，SC-NS-PLKF在跟踪精度、稳定性和计算效率方面具有综合优势，特别是在存在噪声干扰、目标机动或测量异常的情况下，其鲁棒性表现尤为突出。

基于上述工作与结果，本研究得出结论：所提出的状态约束与噪声分离伪线性卡尔曼滤波（SC-NS-PLKF）算法，通过精确的非线性等价变换和噪声分离技术，在理论上实现了无偏估计；通过引入辅助滤波器和椭球域状态约束，解决了算法实际运行中的可行性问题，并有效防止了滤波发散。该算法在仅使用到达角（AOA）测量的无人机被动跟踪应用中，实现了更高的跟踪精度、更强的鲁棒性以及良好的计算效率。这项研究的科学价值在于，它从理论上解决了PLKF类算法中长期存在的偏差与实用性之间的矛盾，提出了一种严谨的、可证明稳定的滤波器设计新框架。其应用价值在于，为无人机导航、监视、态势感知等需要高精度、稳健被动跟踪的领域，提供了一种高效可靠的算法解决方案。

本研究的亮点可归纳为以下几点：1）方法新颖性：创造性地将“噪声分离”与“状态约束”两大思想融合，提出SC-NS-PLKF新算法，同时攻克了PLKF的偏差问题和实际运行难题。2）理论严密性：不仅提供了NS-PLKF的完整推导，还给出了SC-NS-PLKF估计误差有界性的严格数学证明，为算法可靠性提供了理论保障。3）性能优越性：通过全面的仿真对比，从精度、稳定性、鲁棒性和计算效率等多个维度，验证了所提算法相对于多种现有先进方法的综合优势。4）实用性：算法设计充分考虑了实际应用中的约束（如无法获取真实目标位置），提出的解决方案（辅助滤波+椭球约束）具有工程可实现性，复杂度分析也表明其适合实时系统。

论文中还有其他有价值的内容，例如对单站AOA跟踪系统可观测性条件的讨论、对多种被动定位技术（如TDOA, FDOA）的简要对比、对PLKF偏差项的详细分解公式、以及完整的附录证明过程，这些内容都为相关领域的研究人员提供了深入理解和进一步研究的基础。