针对单点积分实体壳单元的增强假定应变与假定自然应变方法研究：全面报告

本研究由Rui P. R. Cardoso (阿威罗大学)、Jeong Whan Yoon (阿威罗大学、美铝技术中心)、M. Mahardika (MSC软件公司，荷兰)、S. Choudhry (MSC软件公司，美国)、R. J. Alves de Sousa (阿威罗大学) 以及 R. A. Fontes Valente (阿威罗大学) 共同完成。研究论文题为《Enhanced assumed strain (EAS) and assumed natural strain (ANS) methods for one-point quadrature solid-shell elements》，发表于2008年的《International Journal for Numerical Methods in Engineering》期刊上（提前在线发表于2007年12月3日）。

一、 学术背景

本研究属于计算力学与有限元方法领域，专注于壳结构分析的数值模拟技术。研究的核心动机源于对高效、稳健且适用于复杂工业场景的实体壳（solid-shell）有限元开发的需求。传统壳单元在模拟双面接触问题时存在困难，且通常涉及复杂的节点旋转自由度；而传统的实体单元虽能处理厚度方向的应力并易于引入本构模型，但通常需要完全积分方案（单元单层内集成点较多），计算代价高昂。Alves de Sousa等人先前提出的“缩减增强实体壳”（Reduced Enhanced Solid Shell, RESS）单元概念，结合了单层壳结构、缩减面内积分（单点积分）与沿厚度方向多积分点的优点，并采用了增强假定应变（EAS）方法以缓解闭锁现象（如体积闭锁和泊松闭锁），显示出较高的计算效率。然而，原始的RESS单元在横向剪切应变部分采用了选择性缩减积分（SRI）技术，忽略了沙漏（或物理稳定化）部分中的横向剪切应变分量。这一疏忽在导致单元行为略显柔性的同时，也可能在某些非线性应用（如大刚性体旋转）中激发沙漏模态，甚至有时会使刚度矩阵出现非正定状态。因此，本研究的目标在于改进RESS单元的稳定性和精度，通过引入新的应变场构造方法来消除因SRI引起的不稳定性，从而发展出一种性能更优的改进型实体壳单元。

二、 详细研究流程

本研究的主要工作流程围绕对原始RESS单元的改进展开，具体包含以下几个关键步骤：

1. 问题诊断与改进方案制定： 研究团队首先分析了原始RESS单元在不稳定场景（如90度刚体旋转）中出现沙漏模式的原因，指出其根源在于横向剪切沙漏应变分量的缺失。为此，他们提出了两个核心改进方向：一是针对横向剪切应变场，采用改进的假定自然应变（ANS）方法；二是针对薄膜应变场，基于Liu等人的稳定化向量构造新的沙漏应变。

2. M-RESS单元的理论构建与公式推导： 这是研究的核心部分，旨在建立改进单元（命名为M-RESS）的完整数学和力学框架。

   • 运动学描述： 采用八节点实体壳拓扑结构，具有一个面内积分点和多个沿厚度方向的积分点。定义了等参坐标向量、辅助向量和形函数。单元使用位于单元中心的局部共旋坐标系来描述材料本构关系，以确保增量客观性。
   • 应变场的重新组织与计算： 总应变张量被分解为薄膜、法向和横向剪切分量。在共旋坐标系下，应变由等参坐标下的协变分量通过变换得到。研究详细推导了：
     • 恒定应变场： 包含在单元中心评估的分量和仅依赖于厚度坐标的分量。
     • 改进的ANS方法应用： 重点在于横向剪切应变。与经典ANS方法通常在壳单元中面设置连接点不同，本研究创新地将连接点设置在单元的顶面和底面。具体而言，法向厚度应变（ε_ξξ）的连接点位于单元竖直边的中点；而横向剪切应变（ε_ξζ， ε_ηζ）的连接点则分别位于顶面和底面的特定位置（如图3所示）。通过对这些连接点处的应变值进行双线性插值，得到高斯点处的应变。这种基于上下表面的ANS处理被证明能显著提高单元的稳定性。
     • 新的沙漏薄膜应变构造（物理稳定化II）： 为了确保单元能通过薄膜拼片试验（Patch Test），本研究放弃了直接在共变坐标系中构造沙漏薄膜应变的方法（物理稳定化I），转而采用基于Liu等人工作的稳定化向量。首先将节点坐标转换到局部共旋坐标系，然后构造一组与线性位移场正交的稳定化向量（Γk）。利用这些向量以及雅可比矩阵的逆，构建了在局部共旋坐标系下的沙漏薄膜应变-位移矩阵（例如 B_hat^ξ, B_hat^η 等）。此外，为了进一步避免沙漏应变引起的体积闭锁，采用了B-bar方法，仅使用沙漏应变张量的偏量部分进行稳定化计算。
   • EAS方法的整合： 保留并利用了单一的增强参数（仅用于厚度方向的法向应变增强），以同时缓解体积闭锁和泊松闭锁问题。该增强应变场被添加到总应变场中。
   • 弱形式与线性化系统方程： 基于Veubeke-Hu-Washizu变分原理和Simo与Rifai的增强应变公式，推导了线性化后的弱形式。最终得到以增量位移向量和增量增强参数为未知量的系统方程，其中包含线性刚度矩阵、与增强参数耦合的矩阵、几何非线性刚度矩阵、内力向量等组成部分。

3. 数值验证与性能评估： 研究通过一系列经典的基准测试算例，系统地比较了M-RESS单元与原始RESS单元以及其他多种先进的实体壳单元和壳单元（如H1/ME9, HCIS12, MITC4, S4E6P7等）的性能。

   • 研究对象： 这些算例覆盖了单元行为的各个方面，包括：薄膜拼片试验（检验单元能否在常应力状态下产生精确的常应变）、弯曲拼片试验、Cook倾斜板（检验面内剪切和弯曲性能）、扭转变梁（薄板和厚板，检验复杂弯曲和翘曲行为）、带端部隔膜的受压圆柱壳（检验复杂曲面壳体性能）、浅拱结构的跳跃行为（检验几何非线性和屈曲后路径）、90度刚体旋转（专门检验沙漏稳定性）以及深冲压成型模拟（检验单元在涉及双面接触、大变形和弹塑性材料的大规模工业仿真中的适用性）。
   • 数据处理与对比分析： 对于每个算例，研究记录了关键指标（如特定节点的位移、收敛速率、载荷-位移曲线），并与参考解或其他单元的结果进行定量（表格）和定性（图形）对比。分析重点在于M-RESS单元在精度、收敛性、稳定性（特别是对沙漏模式的控制）以及对网格畸变的鲁棒性方面的表现。

三、 主要结果

研究在各个数值验证环节均取得了明确且积极的结果：

1. 拼片试验： M-RESS单元成功通过了薄膜拼片试验（表I），而原始RESS单元未通过。在弯曲拼片试验中（表II-IV），M-RESS的结果误差显著小于RESS，显示了更高的精度。

2. Cook倾斜板： 如图6所示，M-RESS单元在收敛到参考解（垂直位移23.91）方面表现出色，其收敛曲线优于原始RESS和大多数对比的壳单元，这归功于新的满足薄膜拼片试验的稳定化向量。

3. 扭转变梁： 对于薄梁和厚梁，在面内和面外载荷作用下，M-RESS单元在所有网格密度下都表现出优异的收敛性和精度（表V-VIII），其性能与MITC4等优秀壳单元相当，且对于厚梁情况，其精度优于原始RESS单元。

4. 受压圆柱壳： 如图9所示，在粗网格下，所有单元（包括M-RESS）精度都有限，但随着网格细化，M-RESS单元稳定收敛到参考解，性能与先进的实体壳单元H1/ME9和HCIS12以及壳单元MITC4、S4E6P7相当。

5. 浅拱跳跃分析： M-RESS单元精确地再现了参考的载荷-位移曲线（图11）。更重要的是，在网格严重畸变的情况下（图10），M-RESS单元的响应几乎不受影响（图12，13），显示了其对网格畸变的低敏感性。相比之下，原始RESS单元和壳单元S4E6P7在畸变网格下出现了可观测的偏差。

6. 90度刚体旋转： 这是最关键的稳定性测试。如图15所示，原始RESS单元在旋转后出现了明显的沙漏模态扭曲，而M-RESS单元则完美地完成了刚体旋转，没有任何不稳定性出现，强有力地证明了基于上下表面的ANS方法在控制横向剪切沙漏模式方面的有效性。

7. 深冲压模拟： 该算例展示了M-RESS单元的实际工业应用潜力。由于实体壳单元能自动包含厚度方向的正应力并处理双面接触，且M-RESS单元仅需单层单元（沿厚度方向多个积分点）即可准确模拟弯曲和塑性，相较于需要堆叠多层传统实体单元以达成相似精度的方案，M-RESS在计算效率（自由度更少）上具有显著优势，适用于大规模工业仿真。

四、 研究结论与价值

本研究的结论是，通过将改进的假定自然应变（ANS）方法（连接点置于顶面和底面）与增强假定应变（EAS）方法相结合，并引入基于Liu等人稳定化向量的新型沙漏薄膜应变构造方法，成功开发出了改进的缩减增强实体壳（M-RESS）单元。该单元不仅继承了原始RESS单元计算高效、易于集成通用三维本构模型、仅含平动自由度的优点，而且彻底克服了因SRI技术引起的沙漏不稳定性问题。M-RESS单元能通过薄膜拼片试验，在广泛的线性与非线性基准测试中表现出卓越的精度、收敛性、稳定性以及对网格畸变的鲁棒性。

本研究的科学价值在于为解决单点积分实体壳单元的稳定性难题提供了一套有效且理论严谨的解决方案，深化了对于EAS和ANS方法在实体壳单元中协同作用的理解，特别是提出了基于上下表面的ANS插值新策略。其应用价值则非常突出：M-RESS单元被证明非常适合于涉及大变形、大旋转、双面接触和弹塑性材料的大规模工业仿真（如钣金成形），因为它兼具了计算效率和数值稳健性，已被作者成功集成到商业有限元软件MSC.Marc和MSC.Nastran中。

五、 研究亮点

1. 创新性的应变场处理： 核心亮点在于提出了将ANS方法的连接点设置在单元顶面和底面，而非传统的中面，这一改进被证明是显著提升单元稳定性的关键。
2. 系统的稳定化方案： 针对薄膜应变沙漏场，构建了能严格满足薄膜拼片试验条件的新稳定化向量，确保了单元的收敛性。
3. 综合的性能验证： 通过一套完整且具有挑战性的基准测试套件，全方位、多角度地验证了改进后单元的性能，特别是包含了对沙漏稳定性的专门测试（90度刚体旋转），结论令人信服。
4. 明确的工程应用导向： 研究始终着眼于解决工业仿真中的实际问题（如双面接触、计算效率），最终开发的M-RESS单元在理论上先进，在实用中高效可靠，实现了理论研究与工程应用的紧密结合。

六、 其他有价值内容

论文附录（Appendix A）中提供了构建横向剪切应变场所需的应变-位移矩阵的详细形式，为其他研究者复现或进一步研究该方法提供了完整的数学细节。此外，文中对实体壳单元常见的几种闭锁现象（体积闭锁、泊松闭锁、横向剪切闭锁）及其传统解决方案进行了简要而清晰的回顾，为读者理解本工作的贡献提供了必要的背景知识。