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神经网络基函数方法（NNBM）及其Gauss–Newton优化器在非线性偏微分方程求解中的应用研究

一、作者及机构
本研究由上海交通大学数学科学学院的Huang Jianguo（第一作者）和Wu Haohao（共同作者）合作完成，发表于期刊《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》2025年第143卷。研究得到中国国家重点研发计划（项目编号2020YFA0709800）和国家自然科学基金（编号12071289）的资助。

二、学术背景
本研究属于计算数学与科学机器学习交叉领域，针对二维/三维非线性偏微分方程（PDEs）的数值求解难题。传统方法（如有限元法、有限差分法）需复杂网格划分，而深度学习方法的优势在于无网格特性。现有物理信息神经网络（PINN）等方法存在收敛速度慢、精度受限等问题。本研究提出神经网络基函数方法（Neural Network Basis Method, NNBM），结合Gauss–Newton优化器，旨在实现高精度、高效率的PDE求解。

三、研究流程与方法
1. 基函数构建
- 采用单隐层全连接神经网络生成基函数：
$$u{nn}(x)=\sum{m=1}^M \alpha_m \sigma(w_m^T x + b_m)$$
其中权重$w_m$和偏置$b_m$通过两种策略预设：
*策略一*：基于ELM（极限学习机）的随机生成；
*策略二*：通过TransNet技术使神经元在单位球内均匀分布（创新性方法）。

1. 最小二乘问题建模

   • 通过配置法将PDE离散化为非线性最小二乘问题：
     $$\min \sum_{i=1}^{I_1} \gammaP | \mathcal{N}(u{nn}(x_i)) - f(xi) |^2 + \sum{j=1}^{I_2} \gammaB | \mathcal{B}(u{nn}(x_j)) - g(x_j) |^2$$
     其中$\gamma_P$和$\gamma_B$为惩罚系数，$\mathcal{N}$和$\mathcal{B}$分别为微分算子和边界算子。

2. Gauss–Newton优化器设计

   • 通过Gâteaux导数计算Jacobian矩阵，将非线性问题转化为线性最小二乘迭代求解。
     
   • 理论证明：该算法与Dong和Li（2021）提出的Newton-LLSQ方法等价（关键理论贡献）。

3. 应用验证

   • 测试案例包括：
     *Von Kármán方程*（非线性弹性力学）：模拟薄板大变形；
     *不可压缩磁流体动力学（MHD）方程*：涉及速度场$\mathbf{u}$与磁场$\mathbf{B}$耦合。
     
   • 实验设置：隐藏神经元数$M=100-1000$，配置点$I_1=2500$（域内）、$I_2=200$（边界），对比PINN方法。

四、主要结果
1. 精度优势
- 在方形域$\Omega_1=(0,1)^2$上，NNBM的$L^2$误差随神经元数增加稳定下降至$10^{-8}$（图1），显著优于PINN（误差高1-2个数量级）。
- 复杂几何域$\Omega_2$（含半圆孔洞）中，即使边界条件非均匀，NNBM仍保持$10^{-7}$量级精度（图3）。

1. 计算效率

   • 当$M=1000$时，NNBM求解Von Kármán方程仅需3秒，而PINN（Adam+LBFGS）需2947秒（表3）。
     
   • Gauss–Newton迭代次数稳定在2-5次（表4、5），表明算法收敛性优异。

2. 理论贡献

   • 首次建立NNBM与Newton-LLSQ的等价性（定理3.1），为机器学习求解PDE提供了严格的数学框架。

五、结论与价值
本研究提出的NNBM框架兼具科学价值与工程应用潜力：
1. 方法论创新：通过神经网络基函数与Gauss–Newton优化的结合，解决了传统方法在复杂几何和边界条件下的精度瓶颈。
2. 理论突破：揭示了机器学习方法与经典数值分析算法的内在联系。
3. 应用扩展性：可推广至含时问题（通过时间变量空间化）和其他非线性PDE体系。

六、研究亮点
1. 基函数生成策略：TransNet技术通过参数化$\gamma_m$（表1-2）优化神经元分布，提升基函数表达能力。
2. 高效优化算法：Gauss–Newton迭代的显式Jacobian计算避免了PINN中梯度消失问题。
3. 跨领域验证：在力学（Von Kármán）和流体（MHD）两类典型问题上均实现超收敛。

七、其他发现
- 超参数$\gamma$的选择对精度有显著影响（图2）：当$\gamma$从1.5跃升至2时误差突增，建议通过实验调参。
- 开源实现采用NumPy的linalg.lstsq求解器，保证了算法易用性。

（报告字数：约1500字）