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作者及发表信息

本研究由Jianmin Xing（青岛科技大学数学与物理学院）、Ronghu Chi和Na Lin（青岛科技大学自动化与电子工程学院人工智能与控制研究所）合作完成，发表于《International Journal of Robust and Nonlinear Control》（2021年，卷31，页码1168–1180），DOI编号10.1002/rnc.5347。研究获得中国国家自然科学基金（61873139）、山东省自然科学基金（ZR2017MEE071、ZR2019MF036）及山东省“泰山学者”计划资助。

学术背景

研究领域与动机

该研究属于控制理论领域，聚焦于二维非线性系统（2D nonlinear systems）的自适应迭代学习控制（Adaptive Iterative Learning Control, AILC）。传统迭代学习控制（ILC）多针对一维重复动态系统，而实际工业场景（如化工反应器温度场、卫星气象图处理）常涉及具有多维动态特性的系统，且存在非重复性不确定性（如随机初始状态偏移、变轨迹任务、非均匀试验长度）。现有研究未充分解决此类复杂场景，因此本研究旨在提出一种新型二维自适应迭代学习控制框架（2D-AILC），以兼顾多维动态与非重复性扰动。

核心挑战

1. 非重复性不确定性：包括随机初始状态、迭代变化的参考轨迹和试验长度不一致。
   
2. 多维动态耦合：系统状态随时间和批次（迭代）两个方向演化，传统一维分析方法失效。
   
3. 概率性中断：实际试验可能因安全限制提前终止，需概率化建模。
   

研究流程与创新方法

1. 问题建模

研究对象为多输入多输出（MIMO）二维非线性参数化系统（公式1）：
[ x_k(i+1, j+1) = \Phi_0 \xi_0(x_k(i,j), \dots) + B u_k(i,j) + d(i,j) ]
其中，(i,j)为空间坐标，(k)为迭代次数，(d(i,j))为可重复扰动。
- 关键假设：系统非线性满足线性增长条件（假设3），控制增益矩阵正定（假设2）。

2. 控制算法设计

提出2D-AILC方案，包含两大创新：
- 随机变量建模：首次引入伯努利分布随机变量( \gamma_k(i,j) )描述试验长度变化（公式3-4），概率( p(i,j) )反映系统运行至((i,j))点的可能性。
- 虚拟跟踪误差：定义( e^*_k(i,j) = \gamma_k(i,j) e_k(i,j) )（公式6-7），通过补偿缺失数据解决非均匀试验长度问题。

控制律（公式9）：
[ u_k(i,j) = \hat{\Phi}_k(i,j) \Psi_k(i,j) ]
参数更新律（公式10）：
[ \hat{\Phi}k(i,j) = \hat{\Phi}{k-1}(i,j) + \frac{\eta e^*{k-1}(i+1,j+1)}{\mu + |\Psi{k-1}(i,j)|^2} \Psi_{k-1}(i,j)^T ]
其中，(\eta)为步长，(\mu)为权重因子，(\Psi_k(i,j))合并参考轨迹与系统状态信息。

3. 收敛性证明

结合Lyapunov稳定性理论与新型二维关键引理（2D-KTL），证明在试验长度随机变化下仍能实现跟踪误差的渐进收敛（定理1）。核心步骤包括：
- 构造Lyapunov函数( v_k(i,j) )分析参数估计误差有界性（公式16-20）。
- 利用2D-KTL证明虚拟跟踪误差依概率收敛（公式26-27）。

主要结果与逻辑链

1. 参数估计有界性（定理1-i）：通过不等式链（公式22）证明(\hat{\Phi}_k(i,j))始终有界。
   
2. 跟踪误差收敛（定理1-ii）：虚拟误差的平方和有限（公式24），最终导出(\lim_{k\to\infty} e_k(i,j)=0)（公式37）。
   
3. 系统稳定性（定理1-iii）：状态(x_k(i,j))与控制输入(u_k(i,j))在整体迭代过程中保持有界。
   

结果关联性：参数更新的自适应性与随机变量建模共同确保算法在非理想条件下的鲁棒性，控制律中的参考轨迹反馈直接补偿了任务变化的影响。

结论与意义

理论价值

• 首创性：首次将随机试验长度、变参考轨迹和初始偏移统一纳入二维系统ILC框架。
  
• 方法创新：2D-KTL为多维动态系统的收敛分析提供了新工具。
  

应用价值

适用于需要高精度跟踪的工业多维过程控制，如：
- 化工反应器温度场调控：处理空间非均匀加热问题。
- 卫星图像处理：适应气象数据的时变扫描范围。

研究亮点

1. 全面性：同时解决非重复性三大不确定性源，突破传统ILC的严格重复条件限制。
   
2. 概率化处理：伯努利变量建模试验长度，更贴合实际中断场景。
   
3. 多维融合：控制律与更新律均显式考虑二维动态特性，算法复杂度显著降低。
   

其他价值

仿真部分以MIMO二维非线性系统为例（图1-6），验证了在40×40网格上，即使试验长度随机变化（20-40步）、参考轨迹迭代变动（图1-2），算法仍能实现快速收敛（图6）。研究为后续三维动态系统ILC（如无人机编队控制）奠定了基础。