本研究由Niu Huo（中国人民大学数学学院、中国人民大学应用数学中心、教育部金融计算与数字工程工程研究中心）、Dong Shen（中国人民大学数学学院）、Jinrong Wang（贵州大学数学系）合作完成，发表于2024年5月7日收录的《International Journal of Robust and Nonlinear Control》，DOI号为10.1002/rnc.7424。论文标题为《Novel Quantized Iterative Learning Control Based on Spherical Polar Coordinates》，聚焦离散时间系统在数据量化（data quantization）条件下的迭代学习控制（iterative learning control, ILC）方法创新。

学术背景

研究领域：该研究属于控制科学领域，涉及网络化控制系统（networked control systems, NCSs）中的量化迭代学习控制（quantized ILC, QILC）。由于网络带宽限制，系统输出、控制输入或跟踪误差等信号需经过量化处理传输，但传统量化器（如对数量化器、均匀量化器）存在无限量化级数或复杂编码机制的局限性。作者创新性地提出基于球极坐标（spherical polar coordinates）的量化器，旨在解决上述问题。
研究动机：现有量化方法在ILC系统中难以平衡量化精度与计算复杂度，尤其是在信号未收敛至零时（如系统输出需跟踪非零参考信号），动态支持球面（support sphere）的设计缺乏理论指导。
研究目标：开发基于球极坐标的量化ILC框架，针对系统输出量化、广义量化（输出与输入均量化）、跟踪误差量化三种场景，设计动态调整的支持球面半径及学习控制方案，实现有界误差收敛或零误差跟踪。

研究方法与流程

1. 系统建模与量化器设计

• 系统模型：采用离散时间线性系统（公式1），状态方程与输出方程分别为
  ( x_i(k+1) = A_k x_i(k) + B_k u_i(k) )
  ( y_i(k) = C_k xi(k) )
  满足输入-输出耦合矩阵( C{k+1}B_k )满秩及初始状态可重复性假设。
  
• 球极坐标量化器：定义四元组( (l_i, n, b, m) )，其中( l_i )为支持球面半径，( n )为比例同心球层数，( b )为比例因子，( m )为角度分割数。量化过程分为三步：
  （1）将笛卡尔坐标信号转换为球极坐标；
  （2）根据支持球面分区量化；
  （3）反变换为量化后的笛卡尔坐标信号。
  创新点：最小球区域（smallest sphere）内信号量化为零，避免对数量化器在零点附近需无限精度的问题。
  

2. 三类量化场景的控制方案

系统输出量化场景（图2）

• 控制方案（公式10）：
  ( u_{i+1}(k) = u_i(k) + \gamma^o(k+1)\left(y_r(k+1) - \eta^o_i(k+1)\tilde{y}_i(k+1)\right) )
  其中( \tilde{y}_i )为量化输出，( \eta^o_i )表示输出是否在最小球外。
  
• 支持球面设计（公式11）：半径( l^o_{i+1} = |y_r| + l^o |e_i| )，通过迭代误差动态调整量化范围。
  

广义量化场景（图4）

• 输入与输出双重量化（公式26-27）：控制输入( \tilde{u}_i )和系统输出( \tilde{y}_i )均被量化。
  
• 支持球面设计：输入侧半径( l^{g1}_{i+1} = l^{g1}_i + l^{g1}|\vec{e}i| )，输出侧半径( l^{g2}{i+1} = |y_r| + l^{g2}|e_i| )。
  

跟踪误差量化场景（图5）

• 控制方案（公式49）：直接量化跟踪误差( \tilde{e}_i = q(ei) )，支持球面半径按指数收缩（公式50）：( l^e{i+1} = \mu l^e_i )（( \mu < 1 )）。
  

3. 收敛性分析

• 系统输出量化（定理1）：在连续( t^o )次迭代中存在( \tilde{y}_i \neq 0 )时，跟踪误差有界收敛（公式21），上界依赖量化误差参数( \xi^o )。
  
• 广义量化（定理2）：类似输出量化，但需额外处理输入量化误差（公式44），收敛条件更严苛。
  
• 跟踪误差量化（定理3）：通过设计学习增益矩阵( \gamma^e(k) )（公式51），实现零误差收敛（( |e_{i+1}| \leq (\rho^e)^i |e_1| )）。
  

主要结果

1. 量化性能：球极坐标量化器通过动态支持球面适应信号变化，其误差满足扇形边界条件（引理1-2），量化误差参数( \xi )由比例因子( b )和角度分割数( m )控制。
   
2. 收敛性：
   
   • 系统输出与广义量化场景中，跟踪误差有界收敛（定理1-2），且误差上界显式给出。
     
   • 跟踪误差量化场景可实现零误差跟踪（定理3），因量化误差随跟踪误差趋零而消失。
     
3. 实验验证：以永磁同步电机（permanent magnet synchronous motor）为例，验证理论结果。
   

结论与价值

1. 理论贡献：
   
   • 首次将球极坐标量化引入ILC系统，提出迭代依赖的支持球面设计方法。
     
   • 解决非零收敛信号的量化难题，扩展了量化控制的应用范围。
     
2. 应用价值：为网络化控制系统中带宽受限问题提供高效解决方案，尤其适用于工业多机协同控制（如温度、压力监控）。
   

研究亮点

1. 方法创新：
   
   • 动态支持球面半径设计策略（公式11、29、50），摆脱传统时间轴演化的限制。
     
   • 最小球区域量化特性简化计算，避免复杂编码机制（对比文献[23-25]）。
     
2. 多场景覆盖：统一框架处理三类量化问题，并通过定理严格证明性能差异。
   
3. 工程友好性：参数（如( b, m )）可调，平衡量化精度与计算负担。
   

其他价值

论文指出，未来可进一步研究初始状态偏移的补偿机制（备注1），并探讨高相对阶系统的扩展方法。此外，量化器参数自适应优化是潜在方向。

（全文约2200字）