学术研究报告：基于高阶相关性的数字调频信号调制分类方法

本研究的主要作者是南加州大学电气工程系通信科学研究所的 Bassel F. Beidas（IEEE 会员）和 Charles L. Weber（IEEE 会士）。该研究成果发表在 IEEE Journal on Selected Areas in Communications 期刊上，具体为 1995 年 1 月第 13 卷第 1 期。

一、 研究学术背景

本研究属于非合作通信理论中的调制分类领域，核心是信号处理与统计决策理论。调制分类技术旨在识别接收信号所采用的调制格式，而无需与发射方进行协同。该技术在军事和民用领域均有重要应用价值，例如在通用接收机中集成多个接收器、网络环境中的信号路由选择、信号验证、频谱管理以及将信号引导至正确的解调器等。

研究的直接背景是解决多进制频移键控（M-ary Frequency Shift Keying, MFSK）信号在加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise, AWGN）环境下的分类问题。传统方法通常依赖于信号频谱的显式估计（如采用信道化匹配滤波器组），这类方法虽然在频率精确已知时性能接近最优，但其性能对频率失配（例如多普勒频移或频率漂移）非常敏感，一旦信号的实际载频偏离滤波器预设的中心频率，分类性能会严重下降。另一方面，基于简单能量检测（即宽带辐射计）的方法实现简单但对信号统计特性不敏感，性能较差。因此，研究的目标是开发一种新颖的分类方法，该方法既能在高信噪比下逼近最优性能，又对频率失配具有鲁棒性，同时避免复杂的频谱估计过程。

为了达到这一目标，作者引入了高阶相关（Higher-Order Correlation, HOC）这一工具。HOC是自相关算子的迭代应用，在随机过程参数建模、谱估计等领域有广泛应用，但此前尚未系统地与调制分类的统计决策理论框架相结合。本研究旨在建立一个通用理论框架，将HOC域与统计决策理论联系起来，并基于此开发一系列仅使用时域HOC操作的新型分类器，以填补宽带辐射计与最优信道化方法之间的性能鸿沟。

二、 研究详细工作流程

本研究是一个理论分析与算法设计、性能仿真验证相结合的研究，其工作流程主要包括理论框架构建、新型分类器设计、性能分析与仿真验证三大步骤。

第一步：理论框架构建——建立HOC域与似然比函数的联系 研究首先定义了高阶相关函数：一阶相关即自相关函数，p阶相关函数定义为(p-1)阶相关函数的自相关。核心理论贡献在于，针对接收信号波形（包含一个在带宽B内频率完全随机的信号分量和AWGN），推导了其平均似然比函数（Average Likelihood-ratio Function, ALF）在HOC域中的级数展开表示。通过将ALF中的修正贝塞尔函数进行幂级数展开，并将展开式中的各项表示为不同阶HOC域中能量或内积的测量值。例如，展开式中的第四阶项对应于一阶相关函数的能量，第六阶项对应于一阶与二阶相关函数的内积，等等。这最终将ALF表达为一个由HOC测量值加权求和的级数形式。该理论框架表明，HOC域能够为信号提供完整的统计表征，且通过适当处理（即保留级数的不同阶数项），可以实现对ALF任意精度的近似。这为后续设计基于HOC的、可实现的（非最优但易于处理）分类规则奠定了坚实的理论基础。

第二步：新型分类器设计——针对不同MFSK分类场景 研究将MFSK信号分类问题归纳为三种主要情况，并为每种情况设计了相应的基于HOC的分类器家族。这三种情况是：情况I：两种MFSK信号符号持续时间相同但带宽（进制数M）不同；情况II：带宽相同但符号持续时间不同；情况III：符号持续时间和带宽均不同。研究的重点是前两种情况。

对于每种情况，研究首先描述了对应的最优似然比分类器，其结构通常是一个多通道的匹配滤波器组，需要显式计算信号在预设频率点上的频谱。作为对比，研究提出了非信道化的HOC方法。该方法的核心是设计一个预处理模块，将接收信号下变频并滤波，根据分类场景的不同，可能分离出不同的子带信号。然后，对处理后的信号（或其离散时间版本）进行逐符号、逐子带的HOC计算。

基于理论框架中ALF的级数近似思想，研究者设计了一系列分类统计量，通过保留HOC级数展开中的不同高阶项来获得： 1. 一阶相关分类器 (Z1)：基于ALF级数展开中保留前三项（主要涉及一阶相关函数的能量）而构建。 2. 二阶相关分类器第一类 (Zi1)：基于保留前四项（涉及一阶与二阶相关函数的内积）而构建。 3. 二阶相关分类器第二类 (Zi2)：基于保留前五项（涉及二阶相关函数的能量）而构建。 4. 三阶相关分类器 (Z3)：在需要更高阶近似的场景（如情况II的高信噪比区）提出，基于保留更多项（直至九项）而构建。

这些分类器的共同特点是完全在时域通过相关操作实现，无需显式频谱估计。研究给出了每种分类器统计量的具体数学表达式和相应的处理框图。作为性能基准，研究还考虑了能量基分类器 (Ze)，即简单的宽带辐射计。

第三步：性能分析与仿真验证 性能分析包括理论推导和蒙特卡洛仿真。理论分析方面，研究推导了最优信道化方法、非信道化HOC方法以及各阶截断级数统计量（即上述Z1, Zi1等）的性能下界或高斯近似下的检测特性。关键的性能度量是正确分类概率 (Pc)。研究计算或分析了这些分类器在不同信噪比（SNR）下的Pc，特别关注了最优方法在频率失配（最坏情况是信号频率落在两个预设频率点中间）时的性能恶化。

仿真验证部分，研究者进行了大量的蒙特卡洛仿真实验。例如，对于情况I（如32FSK vs 64FSK，观测10个符号），模拟了在固定虚警概率下，各种分类器（最优、Z1, Zi1, Zi2, Ze）的Pc随信噪比变化的曲线，并对比了最优方法在有/无频率失配时的表现。对于情况II（如32FSK vs 64FSK，带宽相同但符号周期不同），也进行了类似的仿真，并加入了更高阶的Z3分类器进行对比。仿真结果（以数据点和曲线图形式呈现）用于验证理论分析的准确性，并直观展示不同分类器之间的性能差距。

三、 研究主要结果

1. 理论联系得到验证：成功建立了HOC操作与统计决策理论中平均似然比之间的数学联系。公式（14）及其推导表明，通过HOC域的测量和加权组合，可以近似实现最优的似然比检测，这为HOC在分类问题中的应用提供了理论依据。

2. 检测性能分析结果：在信号检测（区分信号有无）的背景下，分析表明，基于完整ALF的非信道化HOC方法的性能，与最优的信道化（匹配滤波器组）方法相比，仅有约0.4 dB的微小损失，而远优于简单的宽带辐射计。这证明了HOC方法在逼近最优性能方面的有效性。

3. 截断级数统计量的性能趋势：仿真结果（如图3所示）验证了理论分析，并显示随着信噪比升高，保留更高级数项的HOC分类器（如六阶、八阶截断统计量）性能显著优于低阶项分类器（如四阶统计量，即能量检测器）。这证实了在高信噪比下，高阶HOC项包含更重要的鉴别信息。

4. MFSK分类仿真结果：

   • 情况I（同符号周期，不同M）：仿真图10显示，要达到Pc=0.975，与能量基分类器(Ze)相比，一阶相关分类器(Z1)所需信噪比低2.9 dB，二阶分类器(Zi1, Zi2)低3.6-3.9 dB，最优分类器低4.4 dB。性能最好的HOC分类器(Zi2)仅比无频率失配的最优分类器差0.5 dB。然而，最优分类器在最坏频率失配下性能会恶化约2 dB，而HOC方法本质上具有频率失配鲁棒性，不受此影响。
   • 情况II（同带宽，不同符号周期）：仿真图12显示，能量基分类器失效。要达到Pc=0.90，与一阶分类器(Z1)相比，二阶分类器(Zi1, Zi2)所需信噪比低2-2.8 dB，三阶分类器(Z3)低3.9 dB，最优分类器低4.4 dB。同样，最优分类器在频率失配下性能崩溃，而HOC方法保持稳定。
   • 情况III（参数均不同）：仿真图13显示了类似的趋势，HOC方法在性能上接近最优，且对频率失配不敏感。

5. 复杂度初步评估：研究在表II中对情况I下几种分类器使用的相关器（包括乘法和积分操作）数量进行了比较。结果显示，HOC分类器的复杂度虽高于能量检测器，但显著低于最优的信道化方法。例如，对于32FSK vs 64FSK分类，Zi2分类器使用6个相关器，而最优方法需要64个（匹配滤波器）。这表明HOC方法在性能和实现复杂度之间取得了良好的折衷。

四、 研究结论与价值

本研究的主要结论是：提出并评估了一套基于高阶相关（HOC）的非信道化算法，用于对通用的多符号MFSK类信号进行调制分类。这些算法在完全避免显式频谱估计、仅使用时域HOC操作的同时，能够有效逼近最优似然比分类器的性能，并且对频率偏移具有天然的免疫力。随着信噪比提高，所提出的HOC方法相比简单的能量检测规则（当后者适用时）能带来显著的性能改善。

研究的科学价值在于首次建立了一个系统的理论框架，将HOC域操作与统计检测与分类理论的核心——平均似然比函数联系起来，从而将看似临时的HOC处理赋予了决策理论的最优性依据。这为后续在信号处理中更严谨地应用HOC工具提供了范式。

应用价值突出体现在其鲁棒性和实用性上。该方法解决了实际通信系统中因多普勒、频率漂移等导致接收频率不确定时的分类难题，其性能在频率失配时依然稳定。同时，相比需要大量并行匹配滤波器的最优方法，HOC方法的实现复杂度更低，更利于工程实现。该技术可广泛应用于非合作通信侦察、智能接收机、频谱监测与管理等领域。

五、 研究亮点

1. 理论创新性：核心亮点是将高阶相关（HOC）这一信号处理工具与统计决策理论中的平均似然比（ALF）建立了严谨的数学联系，为HOC在检测与分类问题中的应用提供了坚实的理论基础，超越了以往ad-hoc的使用方式。
2. 方法新颖性：提出了一类全新的、完全在时域通过迭代相关操作实现的调制分类器家族。这种方法摒弃了传统的频谱估计或信道化处理，是一种本质上的宽带处理方法。
3. 性能与鲁棒性的卓越平衡：所提出的HOC分类器在性能上能够紧密逼近理论最优分类器（仅损失约0.5 dB），同时又具备对频率失配的天然免疫力，这是传统最优方法所不具备的关键优势，解决了实际应用中的一个核心痛点。
4. 系统性解决方案：研究并非提出单一算法，而是针对MFSK分类的不同参数场景（符号周期、带宽关系），系统性地推导并设计了一系列分类规则，并进行了详尽的理论性能分析和仿真验证，工作非常完整。

六、 其他有价值内容

研究在最后展望了未来的工作方向，指出当前研究假设了符号定时同步（即已知信号到达时间）。一个重要的扩展是将结果推广到异步分类场景，即接收机缺乏准确的定时信息。作者指出，得益于所建立的理论联系，可以方便地利用平均似然比理论，将本文提出的同步HOC规则系统地转化为异步规则（通过将未知定时作为冗余参数进行平均）。更进一步，异步分类和定时估计（符号同步）这两个任务可以同时完成，且使用同一套HOC操作，这为设计高效的综合处理系统提供了思路。