学术报告：Loewner框架下LPV系统的降阶建模方法研究

一、作者与发表信息
本研究由Ion Victor Gosea（德国马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）、Mihaly Petreczky（法国里尔中央理工学院）和Athanasios C. Antoulas（美国莱斯大学及马克斯·普朗克研究所）共同完成，发表于2021年IEEE决策与控制会议（CDC）。

二、研究背景与目标
线性参数时变（LPV, Linear Parameter-Varying）系统是一类系数随时间变化信号（调度变量）而变化的线性系统，在控制理论与工程中应用广泛（如航空、机械振动）。尽管LPV系统的控制设计与辨识已有较多研究，但针对其频域响应特性的降阶建模问题尚未充分探索。现有方法多局限于二次稳定（quadratically stable）系统，或依赖复杂的 Hankel矩阵构造，面临维度灾难（curse of dimensionality）。

本研究的目标是扩展经典Loewner框架（一种基于频域数据驱动的降阶方法）至LPV系统，提出一种新型降阶算法，要求降阶模型在特定频率点与原系统的传递函数匹配，且无需稳定性假设，计算复杂度低于传统平衡截断或线性矩阵不等式（LMI）方法。

三、研究方法与流程

1. 模型定义与假设

   • 研究对象为仿射依赖调度变量的LPV状态空间模型（LP-SSA），其状态方程如下：
     [ \dot{x}(t) = A(p(t))x(t) + B(p(t))u(t), \quad y(t) = C(p(t))x(t) ] 其中( A(p) = A0 + \sum{i=1}^{n_p} A_i p_i )，且假设 ( B ) 和 ( C ) 矩阵与调度变量无关（简化分析）。
     

2. 广义传递函数构建

   • 通过Volterra级数和生成级数（generating series）理论，将LPV系统的输入-输出映射转化为多变量拉普拉斯变换下的广义传递函数序列：
     [ { h0(s), h{q_1 \cdots q_k}(s_0, \ldots, s_k) \mid q_i \in {1, \ldots, n_p}, k > 0 } ] 这些函数通过双线性系统（Bilinear System）的频域响应生成（公式8-9）。
     

3. Loewner框架扩展

   • 关键步骤：
     
     • 选取左/右插值点（如虚轴频率点 ( \mu_j, \lambda_i )）和参数域扩展点（( q^{(l)}_k, q^{®}_k )）。
       
     • 构造广义可观性矩阵 ( \mathcal{O} ) 和可控性矩阵 ( \mathcal{R} )（公式23-24），其元素为广义传递函数在选定频率点的值。
       
     • 通过Loewner矩阵 ( \hat{E} ) 和移位Loewner矩阵 ( \hat{A}_0 )（公式32-34）构建降阶模型，确保频域插值条件匹配。
       

4. 降阶模型验证

   • 数值实验中，研究者对比了原系统与降阶模型（阶数 ( r=1,2,3 )）的时域响应。结果显示，( r=3 ) 的降阶模型逼近精度达机器误差级别（图1-2）。
     

四、研究结果与发现
1. 理论贡献：
- 首次将Loewner框架引入LPV系统降阶，提出插值条件定理（定理2），证明降阶模型精确匹配原系统在选定频率点的广义传递函数（公式38）。
- 该方法避免了Hankel矩阵构造，降低了计算复杂度，适用于非稳定系统。

1. 数值验证：
   
   • 在3维LPV系统（调度变量 ( n_p=2 )）中，降阶模型的输出误差随阶数增加迅速收敛（图2），验证了方法的有效性。
     

五、研究价值与意义
1. 科学价值：
- 为LPV系统提供了首个基于频域匹配的降阶理论框架，填补了传统方法在非稳定系统和频域特性保留方面的空白。
2. 应用潜力：
- 适用于需频域性能保障的控制设计（如振动抑制、飞行器控制），且计算效率优于基于LMI的方法。

六、创新与亮点
1. 方法创新：
- 将Loewner框架从LTI系统推广至LPV系统，结合生成级数和双线性系统理论，解决了多变量传递函数的构造问题。
2. 技术优势：
- 无需稳定性假设，支持非平衡系统的降阶，并给出了显式插值条件。

七、其他要点
- 未来方向包括扩展至更一般的LPV系统（如 ( B,C ) 依赖调度变量）以及时域响应解析。
- 论文对比了现有方法（如[19]的互质分解法、[20]的子马尔可夫参数匹配法），突显了本方法的低复杂性和频域解释性优势。

（注：专业术语如Loewner框架、Volterra级数等首次出现时标注英文，后续直接使用中文译名。）