面向双功能雷达-通信系统的最优波形设计研究学术报告

一、 研究团队与发表信息

本研究的主要作者包括 Fan Liu（刘凡，北京理工大学/伦敦大学学院）、Longfei Zhou（周龙飞，北京大学）、Christos Masouros（伦敦大学学院）、Ang Li（李昂，伦敦大学学院）、Wu Luo（罗武，北京大学）以及 Athina Petropulu（罗格斯大学）。该研究成果以题为《Toward Dual-functional Radar-Communication Systems: Optimal Waveform Design》的论文形式，发表于信号处理领域的顶级期刊《IEEE Transactions on Signal Processing》第66卷第16期，于2018年8月15日出版。该工作得到了英国工程与物理科学研究理事会、中国国家留学基金委和中国国家自然科学基金等机构的支持。

二、 研究背景与目标

本研究属于无线通信与雷达信号处理交叉领域，具体聚焦于双功能雷达-通信（Radar-Communication， RadCom）系统的波形设计。随着物联网和移动通信设备数量的爆炸式增长，对无线频谱资源的需求日益紧迫。然而，大量频谱目前被雷达等专用系统独占，导致频谱利用效率低下。因此，通信与雷达的频谱共享（CRSS）成为一个重要的研究方向。传统的频谱共存方案（如机会式共享、零空间投影等）通常需要雷达与通信设备之间交换信道状态信息（CSI）等侧信息，并通过控制中心进行协调，这增加了系统复杂性和实现难度。

与“共存”思路不同，双功能系统旨在设计一种能够同时执行雷达探测与通信任务的单一波形，从而在无需信息交换的前提下实现频谱共享，并可能带来低截获概率（LPI）通信等额外优势。然而，现有研究在波形设计上面临挑战：早期的单天线集成波形性能损失大；多输入多输出（MIMO）系统中的一些方案数据速率低；而考虑多用户通信的波束赋形方法又未解决恒模（Constant Modulus）波形这一实际需求。恒模波形对雷达和通信都至关重要，因为它能避免非线性功率放大器带来的信号失真，实现高效能传输。但恒模约束（CMC）导致优化问题非凸且通常是NP难问题，现有方法大多只能获得局部最优解。

因此，本研究的核心目标是：为服务于多用户下行链路通信同时进行雷达目标探测的双功能MIMO RadCom系统，开发一系列最优或高性能的波形设计方案。研究旨在最小化下行链路多用户干扰（MUI），同时满足雷达特定的波束方向图要求，并最终攻克具有恒模约束的波形设计这一难题，寻求全局最优解。

三、 研究流程与方法详述

本研究遵循由简入繁、从理论到实践的思路，层层递进地提出了四种波形设计方案，并针对每种方案设计了相应的求解算法。

流程一：给定雷达波束方向图的闭式波形设计 此流程旨在为两种经典的雷达波束模式（全向和定向）设计严格满足雷达约束的波形。 * 研究对象与模型：研究一个配备N根天线的均匀线性阵列（ULA），同时服务K个单天线用户并探测雷达目标。通信模型采用平坦瑞利衰落信道，接收信号为期望符号、多用户干扰（MUI）和噪声之和。雷达模型通过设计发射信号矩阵X的空间协方差矩阵Rx来塑造发射波束方向图Pd(θ)。 * 问题一：全向波束方向图设计。目标是在发射信号正交（协方差矩阵为单位阵）的严格约束下，最小化MUI能量。该问题被归结为一个正交普鲁克鲁斯问题（OPP）。研究方法利用了OPP的性质，通过奇异值分解（SVD）直接得到了全局最优解的闭式表达式：X = √(Pt/N) U I{N×L} V^H，其中U和V来自矩阵H^H S的SVD。此方法计算复杂度低，与通信中传统的迫零（ZF）预编码处于同一量级。 * 问题二：定向波束方向图设计。目标是在发射信号协方差矩阵等于一个给定期望矩阵Rd（对应特定方向图）的严格约束下，最小化MUI。研究方法通过乔列斯基（Cholesky）分解将约束转化为类似OPP的形式，再次利用SVD得到了全局最优解的闭式表达式：X = √(Pt/L) F Ũ I{N×L} Ṽ^H，其中F来自Rd的分解，Ũ和Ṽ来自新构造矩阵的SVD。

流程二：雷达与通信性能的权衡设计 上述严格约束设计可能导致通信性能严重损失。本流程引入权衡因子ρ，允许雷达波束方向图与期望值存在一定失配，从而在雷达与通信性能之间进行灵活折衷。 * 研究对象：基于流程一中得到的严格解X0作为参考波形，构建加权优化问题。 * 问题三：总功率约束下的权衡设计。目标函数是MUI能量与波形偏离参考波形能量的加权和，约束为总功率固定。该问题可转化为一个具有单个二次约束的非凸二次约束二次规划（QCQP）问题。研究方法发现其等价于一个信赖域子问题（TRS），且强对偶性成立。通过构建拉格朗日函数并利用最优性条件，将原问题转化为一个关于拉格朗日乘子λ的一维方程求解问题。研究者设计了一种低复杂度算法（Algorithm 1）：先计算相关矩阵的特征值分解，然后使用黄金分割搜索法高效求解最优λ，最后回代得到全局最优波形X_opt。该算法避免了通用的半定规划（SDP）求解器，复杂度显著降低。 * 问题四：每天线功率约束下的权衡设计。将总功率约束替换为更实际的每根天线功率相等的约束。该问题具有多个二次等式约束，形成非凸可行域。直接使用SDR松弛并配合高斯随机化只能得到近似解。为此，研究者提出了基于黎曼流形优化的求解方法。他们将可行域识别为复斜流形（Complex Oblique Manifold），并设计了黎曼共轭梯度（RCG）算法（Algorithm 2）。该算法在流形的切空间上计算黎曼梯度、确定共轭下降方向，并通过收缩映射（Retraction）将迭代点拉回流形。这种方法能高效地找到高质量（接近全局最优）的可行解。

流程三：恒模波形设计 为满足雷达和通信系统对功率放大器效率的严苛要求，本流程研究具有恒模（恒定包络）和相似性约束（SC）的波形设计。 * 问题建模：在最小化MUI的目标下，约束波形每个元素的模为常数（恒模约束），并且与一个已知的基准雷达信号（如线性调频信号）的差异在无穷范数意义下小于给定阈值η（相似性约束）。该问题可分解为对信号矩阵每一列的独立优化。 * 核心挑战：恒模约束使得每个变量的可行域是复平面单位圆上的一段弧，导致问题非凸且NP难。现有方法（如SDR、黎曼流形法、连续QCQP细化法）通常只能找到局部最优解。 * 创新方法：分支定界（Branch-and-Bound， BnB）全局优化算法（Algorithm 3）。这是本研究最重要的贡献之一。该方法旨在找到问题的全局最优解。 1. 分支（Branching）：将整个可行域（各变量相位区间的笛卡尔积）不断细分。研究者提出了两种划分规则：基本矩形细分（BRS，选择最宽相位区间进行平分）和自适应矩形细分（ARS，根据上下界解差距最大的维度进行平分），后者收敛更快。 2. 定界（Bounding）：对于每个子区域，计算目标函数值的上界和下界。 * 下界计算：将非凸的弧约束松弛为其凸包（一个圆扇形区域）。松弛后的问题是一个凸的QCQP，可以通过内点法或研究者设计的加速梯度投影（GP）方法高效求解，所得最优值即为原问题在该子区域的下界。 * 上界计算：首先将下界解投影回非凸的弧约束上得到一个可行解。然后，以此可行解为初始点，在非凸弧约束上局部求解原问题（使用fmincon或修改后的GP方法），得到的目标函数值即为上界。 3. 剪枝与迭代：不断选择下界最小的子区域进行分支，并更新全局上下界。当某个子区域的下界超过当前全局上界时，该区域不可能包含全局最优解，可被剪枝。迭代直至全局上下界之差小于预设容差。 * 理论贡献：研究者不仅提出了算法，还严格证明了该BnB算法的收敛性，并分析了其最坏情况复杂度（对于BRS规则，迭代次数上界为O((2/η1)^n)，其中η1与容差δ有关）。尽管最坏复杂度是指数级的，但仿真表明，得益于紧致的上下界，算法在实际中能在较少迭代内收敛。

流程四：数值仿真验证 研究者通过大量仿真实验验证了所提算法的有效性。仿真参数设置：天线数N=16，用户数K=4，帧长L=30，采用QPSK调制。对比方案包括传统通信ZF预编码、仅考虑雷达的波形设计以及作为恒模设计对比基准的SQR-BS算法。 * 实验内容： 1. 评估不同方案（全向/定向、严格/权衡、总功率/每天线功率约束）下的通信性能（和速率、符号错误率SER）和雷达性能（波束方向图）。 2. 展示权衡因子ρ对雷达检测概率与通信速率、波束方向图均方误差（MSE）与通信速率之间折衷关系的影响。 3. 验证BnB算法对于恒模波形设计的收敛速度，比较BRS与ARS规则。 4. 展示相似性容限ε对通信和速率以及雷达脉冲压缩性能（旁瓣电平）的权衡影响，并将BnB算法的全局最优解与SQR-BS的局部最优解进行对比。

四、 主要研究结果

1. 闭式设计性能：仿真结果表明，所提的全向和定向波束的闭式最优解能精确产生所需的雷达波束方向图。然而，在信道条件不佳时，通信性能（和速率、SER）损失较大，显著差于纯通信的ZF预编码下界。
2. 权衡设计效能：引入较小的权衡因子（如ρ=0.2）后，通信性能得到极大改善，非常接近ZF预编码的性能下界，而雷达波束方向图仅产生轻微畸变，证明了权衡设计的有效性。同时，采用RCG算法求解的每天线功率约束方案，其性能与总功率约束方案几乎相同，验证了RCG算法的近优性。
3. 性能折衷曲线：通过变化权衡因子ρ，得到了雷达检测概率与用户可达速率、波束方向图MSE与可达速率之间的清晰折衷曲线。这为系统操作员根据实时需求调整工作点提供了依据。
4. 恒模设计优势：
   • 算法收敛性：BnB算法（无论是BRS还是ARS规则）都能在有限迭代内收敛，且上界在迭代早期就趋于稳定，说明结合局部搜索的BnB能快速定位高质量解。
   • 全局最优性：在恒模波形设计中，本研究提出的BnB算法获得的通信和速率始终显著高于作为对比的SQR-BS算法（局部最优），并且非常接近通过凸松弛得到的下界。当相似性容限ε较大时，BnB算法能逼近无MUI的性能极限。
   • 雷达-通信折衷：对于恒模波形，存在通信和速率与雷达波形相似性（进而影响脉冲压缩性能）之间的折衷。增大ε（允许波形更大变化）可以提升通信速率，但会降低雷达脉冲压缩的性能（如提高旁瓣）。BnB和SQR-BS在相同ε下雷达性能相近，但BnB的通信性能更优，凸显了其全局优化能力。

五、 研究结论与价值

本研究系统性地提出并解决了一系列双功能MIMO雷达-通信系统的波形设计问题，其核心结论与价值如下：

1. 方法论贡献：研究提供了一套从严格约束到权衡优化，再到复杂恒模约束的完整波形设计框架。特别是，为非凸的恒模约束波形设计问题，创新性地开发了一种能保证全局最优性的分支定界算法，并给出了收敛性证明和复杂度分析，填补了该领域高效全局算法研究的空白。
2. 性能验证：通过理论推导和仿真验证，表明所提方案能在保证雷达探测性能（如形成特定波束方向图、保持波形良好相关性）的同时，有效支持多用户下行通信，并实现两者性能的灵活权衡。
3. 实用价值：所提出的权衡设计算法（如低复杂度TRS求解器、RCG算法）计算复杂度与通信-only的ZF预编码相当，易于实际部署。恒模波形设计直接面向功率放大器非线性这一工程痛点，其全局最优解为实际系统提供了性能上限参考。
4. 系统价值：研究推动了从雷达与通信设备“共存”到“一体化设计”的范式转变。所设计的双功能波形无需设备间交换信息，降低了系统复杂性和信令开销，为未来紧凑型、高谱效的集成感知与通信（ISAC）系统提供了关键的技术支撑。

六、 研究亮点

1. 问题体系的完整性：研究覆盖了双功能波形设计从理想条件（严格波束匹配）到实际约束（恒模）的核心问题谱系，构成了一个层次分明、逐步深入的完整研究框架。
2. 算法创新的深度：针对不同问题特性，灵活运用了从闭式解、基于强对偶性的低复杂度算法、流形优化到全局分支定界算法等多种优化技术，体现了深厚的算法功底。
3. 攻克关键难题：首次为具有恒模和相似性约束的双功能波形设计问题提供了可证明的全局优化算法，并分析了其复杂度，这是本研究最突出的理论贡献。
4. 严谨的理论分析：不仅给出了算法，还对算法的收敛性、复杂度进行了严格证明和分析，提升了工作的理论深度和可靠性。
5. 显著的性能提升：仿真结果明确显示，所提的权衡设计能大幅提升通信性能而仅轻微牺牲雷达性能；所提的BnB算法在恒模设计上显著优于已有的局部优化方法。

七、 其他有价值内容

论文在引言部分对雷达-通信频谱共享（CRSS）和双功能系统的研究现状进行了清晰的梳理，区分了“共存”与“一体化”两种技术路径，并指出了现有工作在恒模全局优化方面的不足，这为读者理解本工作的定位和价值提供了良好的背景。此外，附录中详细给出了梯度投影法中投影算子（pr2）的几何推导，以及分支定界算法关键引理和定理的证明，体现了研究的严谨性和完整性。作者也展望了未来的研究方向，如考虑自相关/互相关约束等更实际的雷达指标，以及将所提低复杂度算法在硬件平台上实现，显示了研究的延续性和应用潜力。