数据驱动的范数最优迭代学习控制：研究方法与应用价值
一、研究团队与发表信息
本文由Zheng Jiang和Bing Chu合作完成，两位作者均来自英国南安普顿大学（University of Southampton）的电子与计算机科学学院。研究发表于国际自动控制联合会（IFAC）的期刊*IFAC PapersOnLine*第55卷第12期（2022年），文章标题为《Norm Optimal Iterative Learning Control: A Data-Driven Approach》，开放获取许可为CC BY-NC-ND 4.0。
二、学术背景与研究目标
科学领域与问题背景
迭代学习控制（Iterative Learning Control, ILC）是控制理论中针对重复性任务系统的设计方法，通过历史迭代数据优化跟踪性能。范数最优ILC（Norm Optimal ILC, NOILC）是经典的模型依赖方法，具有误差范数单调收敛的优势，但其依赖显式系统模型，而实际场景中模型获取成本高或难度大。
研究动机与目标
本文旨在解决模型依赖ILC的局限性，提出一种完全数据驱动的NOILC框架，不依赖系统模型即可实现与模型方法同等的收敛性能。研究基于数据驱动控制理论的最新进展（如Willems基本引理），并结合滚动时域策略进一步降低数据需求。
三、研究流程与方法细节
1. 问题建模与NOILC基础
- 系统动力学：采用离散线性时不变系统（LTI），描述为状态空间方程（式1），并通过提升技术（lifting technique）将输入-输出关系转化为矢量形式（式2）。
- 传统NOILC：基于模型的目标函数（式13）最小化跟踪误差与输入变化范数，解为式14，需已知系统矩阵*G*（式6）。
2. 数据驱动NOILC设计（Algorithm 1）
- 核心理论：利用Willems基本引理（Theorem 2），通过历史数据构建Hankel矩阵（式18-19），将系统动态表示为数据的线性组合。
- 算法实现：目标函数（式21）约束条件替换为数据驱动的线性表示，解为式22，通过伪逆计算更新输入。关键步骤包括：
- 构造初始响应矩阵*w0*（式23-25）；
- 验证输入信号需满足持续激励条件（PE条件）。
- 收敛性证明：Theorem 3证明数据驱动解与模型解等价，实现误差范数单调收敛（式15）。
3. 滚动时域改进（Algorithm 2）
- 动机：原算法需长时程PE条件，实际难以满足。
- 方法：将全局优化分解为多步局部优化（式26），每步预测时域*h*内输入更新（式28）。
- 子问题通过Hankel矩阵局部求解（式29-32）；
- 时域*h*可调节，平衡计算复杂度与收敛速度。
- 收敛性分析：Theorem 4证明渐进收敛，并给出单调收敛的充分条件（式33-34），与权重矩阵q/*r*和系统奇异值相关。
4. 仿真验证
- 对象：三轴龙门机器人*z*轴模型（式36），采样周期0.01s，跟踪正弦参考信号（式37）。
- 实验设计：比较不同时域*h*（1至200）下的收敛性能，权重设为*q=I*、*r=8×10⁻⁶I*。
- 结果：
- *h=200*时恢复完整数据驱动NOILC，收敛性与模型方法完全一致（图2）；
- 缩短时域仍保证渐进收敛，但收敛速度随*h*增大而提升（图3）。
四、主要结果与逻辑链条
1. 理论等效性：Theorem 3证明数据驱动NOILC与模型方法数学等价，消除对显式模型的依赖。
2. 滚动时域灵活性：Algorithm 2通过局部优化降低PE条件要求（从*n+N*降至*h+N*），适应长时程任务。
3. 收敛性保障：Theorem 4提出单调收敛的权重调节规则（如增大*q/r*比值），为实际参数选择提供依据。
4. 仿真验证：实验显示算法在不同时域下均实现完美跟踪，且收敛速度与*h*正相关（图2-3）。
五、研究结论与价值
科学价值
1. 方法论创新：首次将Willems引理引入ILC领域，构建无需辨识模型的NOILC框架，拓宽数据驱动控制在迭代任务中的应用边界。
2. 理论严密性：通过严格的数学证明（附录A），确立数据驱动与模型方法的性能等价性。
应用价值
1. 工程适用性：适用于模型复杂或获取成本高的场景（如机器人、增材制造），减少实验调试成本。
2. 灵活性扩展：滚动时域设计可适配不同硬件算力需求，如嵌入式系统实时控制。
六、研究亮点
1. 模型无关性：完全摒弃传统ILC对显式模型的依赖，仅需历史输入-输出数据。
2. 双算法架构：基础算法保证理论性能，滚动时域改进提升工程可行性。
3. 通用性分析：收敛条件（如式34）为其他数据驱动控制设计提供参考范式。
七、其他贡献
- 开源潜力：算法仅依赖线性代数运算（如伪逆），易于复现或集成至现有控制库。
- 跨领域启示：框架可扩展至非线性系统或鲁棒ILC设计，为后续研究提供方向。
（字数：约2000字）