本文介绍一项发表于《mathematics》期刊2023年第11卷的研究，题为“Lithium-ion battery modeling and state of charge prediction based on fractional-order calculus”。该研究由长安大学汽车运输安全与安全技术交通行业重点实验室的张新锋（通讯作者）、杨凯凯、王忠义与西安大学信息工程学院的李向军共同完成，文章于2023年8月4日正式出版。这是一项原创性研究，聚焦于电动汽车领域的关键技术——锂离子电池荷电状态（State of Charge, SOC）的精确预测。
一、 研究背景与目标
在应对环境恶化与能源危机的背景下，电动汽车（Electric Vehicles, EVs）的发展至关重要。作为电动汽车的核心动力源，锂离子电池的安全性与可靠性直接影响其发展进程。电池管理系统（Battery Management System, BMS）是电动汽车最关键的子系统之一，其核心功能之一便是精确估算电池的荷电状态（SOC）。SOC反映了电池的剩余电量，直接关系到车辆的续航里程、充放电策略制定以及电池寿命保护。然而，SOC无法直接测量，必须通过模型与算法进行估计。由于电池内部电化学反应复杂，系统具有强非线性特征，这给SOC的精确估算带来了巨大挑战。
传统的锂离子电池建模方法主要包括等效电路模型（Equivalent Circuit Models, ECMs）和电化学模型（Electrochemical Models, EMs）。ECMs使用电阻、电容等整数阶电气元件来模拟电池外部特性，结构简单、计算量小，便于工程应用，但无法描述电池内部的电化学反应机理，导致SOC预测精度有限。相反，EMs基于电化学原理（如多孔电极理论、浓溶液理论），能够从微观层面量化电池内部的反应动力学、传质、传热等过程，精度高，但模型结构极为复杂，控制方程繁多，计算负荷巨大，难以应用于实际BMS的实时估计。
因此，研究的目标是提出一种新型的锂离子电池建模与SOC预测方法，旨在：1）建立一个比ECMs更精确、比EMs更简洁的电池模型；2）开发一种鲁棒性强、精度高的SOC估计算法。为实现这一目标，本研究创新性地引入了分数阶微积分（Fractional-order Calculus, FOC）理论。
二、 研究流程与方法
本研究主要包含三个核心流程：分数阶阻抗模型（Fractional-order Impedance Model, FOIM）的建立、模型参数辨识、以及基于分数阶扩展卡尔曼滤波（Fractional-order Extended Kalman Filter, FEKF）算法的SOC预测。
流程一：分数阶阻抗模型（FOIM）的建立 研究以经典的戴维南（Thevenin）等效电路模型为基础进行改进。戴维南模型包含一个开路电压源、一个欧姆内阻和一个RC并联网络（模拟极化效应）。然而，整数阶RC网络无法精确描述电池内部基于分形介质的异常扩散现象。本研究借鉴了电化学阻抗谱（Electrochemical Impedance Spectroscopy, EIS）的分析结果。典型的锂离子电池EIS图谱中，低频区表现为一条斜率恒定的直线，这表征了电池内部的离子扩散现象（浓差极化）。
为精确描述这一现象，本研究用两个分数阶元件替换或补充整数阶元件：一是恒相位角元件（Constant Phase Element, CPE），用于描述中高频区的极化行为；二是沃伯格（Warburg）元件，专门用于描述低频区的扩散行为。这两个元件的阻抗在频域中定义为与频率的分数次幂相关。由此，构建了分数阶阻抗模型（FOIM）。该模型在架构上与等效电路模型类似，但引入了分数阶α（CPE阶次）和β（Warburg阶次）作为关键参数，使其能够更好地反映电池内部的电化学机理，同时在复杂度上远低于完整的电化学模型。基于基尔霍夫定律和Grunwald–Letnikov (G-L)分数阶微积分定义，推导出了FOIM的状态空间方程（状态转移方程和测量方程），状态变量包括CPE两端电压、Warburg元件两端电压以及SOC本身。
流程二：模型参数辨识 FOIM中包含六个需要辨识的关键参数：分数阶α、β，极化电阻R1、极化电容C1（与CPE相关），扩散参数W（与Warburg元件相关），以及欧姆内阻R0。研究采用了混合参数辨识策略： 1. 辨识α, β, R1, C1, W：采用遗传算法（Genetic Algorithm, GA）进行全局优化搜索。将电池在脉冲放电工况下的实测端电压与模型输出端电压的误差均方根作为适应度函数，通过迭代（选择、交叉、变异）寻找使误差最小的参数组合。遗传算法能有效避免陷入局部最优，适用于此类非线性模型的参数辨识。 2. 辨识R0：采用基于脉冲测试的解析方法。通过分析电池在施加或撤除脉冲电流瞬间的端电压突跳（由欧姆极化引起），利用公式直接计算欧姆内阻R0。该方法简单直接，物理意义明确。
实验数据来自马里兰大学CALCE实验室公开的测试数据，电池型号为INR18650-20R动力电池，额定容量2Ah。研究选取了25°C下的脉冲放电测试数据用于模型参数辨识和验证。
流程三：基于FEKF的SOC预测 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）是处理非线性系统状态估计的常用算法。本研究将分数阶微积分理论引入EKF框架，提出了分数阶扩展卡尔曼滤波（FEKF）算法，用于对FOIM进行状态（包括SOC）估计。 具体步骤为：首先，将FOIM的连续状态空间方程进行离散化。然后，利用G-L分数阶定义对离散化的状态方程进行变换，得到一个包含历史状态项（分数阶记忆效应）的离散系统方程。FEKF算法流程同样包含初始化、时间更新（预测）和测量更新（校正）三个步骤。与传统整数阶模型下的EKF算法相比，FEKF在状态预测方程中引入了由分数阶阶次决定的系数矩阵，从而在滤波过程中考虑了电池系统的分数阶动力学特性。为了验证算法的有效性，研究在两种典型的动态测试工况下进行仿真验证：动态应力测试（Dynamic Stress Test, DST）和联邦城市驾驶计划（Federal Urban Driving Schedule, FUDS）。将FEKF算法的SOC估计结果与传统的EKF算法估计结果以及安时积分法计算的SOC参考值进行对比分析。
三、 主要研究结果
1. FOIM模型验证结果： 将辨识得到的FOIM参数与文献中的一阶分数阻抗模型（IM）和整数阶戴维南模型进行对比。在脉冲放电条件下，FOIM输出的端电压曲线与实测电压曲线吻合度最高。误差分析表明，FOIM的端电压误差在整个测试过程中基本保持在±0.02V以内，且随时间推移而减小；而整数阶戴维南模型的误差则随时间增大。定量分析显示，FOIM端电压的均方根误差（RMSE）为0.0139V，分别比IM模型（0.0152V）和戴维南模型（0.0195V）降低了0.0013V和0.0056V。这证明了FOIM在模型精度上相对于传统整数阶模型和简化分数阶模型的显著优势。文中指出，高阶整数阶RC模型虽然可能提高精度，但会急剧增加模型复杂度和计算量，而FOIM在精度和计算效率间取得了更好的平衡。
2. SOC预测结果： 在DST和FUDS两种动态工况下，对FEKF算法的性能进行了测试。初始SOC故意设置为与真实值有偏差的70%，以检验算法的鲁棒性。 * 在DST工况下：FEKF和EKF算法均能收敛到真实的SOC值，表现出良好的鲁棒性。但FEKF算法的SOC估计误差收敛在±0.02以内，且收敛速度明显快于EKF算法。FEKF的SOC估计RMSE为0.0121，最大误差为0.020；而EKF的RMSE为0.0352，最大误差为0.042。FEKF的精度和效率均优于EKF。 * 在FUDS工况下：结果类似。FEKF算法的SOC估计误差收敛至0.02左右，而EKF算法收敛至0.035左右。FEKF的SOC估计RMSE为0.0233，最大误差为0.045；EKF的RMSE为0.0348，最大误差为0.060。FEKF的精度同样显著优于EKF。
特别值得注意的是，当SOC处于较高或较低区间时，由于电池参数变化，两种算法的估计误差都会有所增大，但FEKF算法增大的幅度小于EKF算法，表明FEKF对模型误差的变化具有更好的抑制能力。文中分析认为，建模误差是影响SOC估计精度的主要因素，FEKF算法因采用了更精确的分数阶模型，从而获得了更高的SOC估计精度。
四、 结论与价值
本研究成功地将分数阶微积分理论引入锂离子电池建模与状态估计领域，提出了一套完整的基于分数阶阻抗模型（FOIM）和分数阶扩展卡尔曼滤波（FEKF）的电池SOC预测方法。主要结论如下： 1. 所提出的FOIM能够比传统整数阶等效电路模型更准确地描述电池的电化学机理，同时模型结构比完整的电化学模型更简洁，计算量更小，在精度与复杂度之间取得了良好折衷。 2. 基于FOIM的FEKF算法，在DST和FUDS等多种动态工况下，相较于基于整数阶模型的传统EKF算法，展现出了更高的SOC估计精度、更快的收敛速度以及更好的鲁棒性。其SOC估计的均方根误差和最大误差均显著降低。
该研究的价值体现在： * 科学价值：为锂离子电池这一强非线性、具有分数阶动力学特性的系统提供了一种新的、更精确的建模与状态估计理论框架，丰富了分数阶微积分在工程领域的应用实例。 * 应用价值：为电动汽车电池管理系统（BMS）中高精度SOC实时估计提供了一种有效的解决方案。提高SOC估计精度对于提升电动汽车的续航里程预估准确性、优化能量管理、防止电池过充过放、延长电池寿命及保障车辆安全具有直接的工程意义。
五、 研究亮点
这项研究为解决电动汽车BMS中的核心难题——高精度SOC估计，提供了一条新颖且有效的技术路径，具有重要的理论和实践意义。