本文介绍的研究工作是由复旦大学信息科学与工程学院、电磁波信息科学教育部重点实验室的张洋洋、付海洋（IEEE会员）、秦伊岚、王康宁和马嘉钰共同完成的，标题为“Physics-Informed Deep Neural Network for Inhomogeneous Magnetized Plasma Parameter Inversion”。该研究论文发表于IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters期刊，发表时间为2022年4月，收录在期刊第21卷第4期中。
一、 学术背景
本研究属于等离子体物理与计算电磁学、机器学习交叉领域，具体聚焦于非均匀磁化等离子体（Inhomogeneous Magnetized Plasma）的参数反演（Parameter Inversion）问题。
研究动机与背景：等离子体参数反演对于理解空间等离子体物理、实现等离子体隐身、等离子体处理等应用至关重要。然而，特别是对于非均匀且受外部磁场影响的磁化等离子体，其参数反演非常具有挑战性。传统的反演方法，如基于人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）或贝叶斯框架的方法，存在一些局限性，例如对训练数据的先验信息要求高、采样需求密集、或由于数值微分方法导致的精度不足等问题。具体到电磁（Electromagnetic, EM）波与等离子体耦合的复杂系统中，如何基于稀疏采样（Sparse Sampling） 的数据，同时实现全局电磁场重建（Global Electromagnetic Field Inversion）和非均匀等离子体参数（如等离子体频率）的反演，是一个亟待解决的难题。
近年来，物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN） 的兴起为解决此类问题提供了新思路。PINN将支配物理系统的偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）作为约束条件嵌入到神经网络的损失函数中，使得网络在训练过程中不仅拟合数据，还遵循物理规律。这种方法具有泛化能力强、灵活性高、对训练数据需求量相对较少等优势，已在流体力学、材料识别等多个领域取得成功应用。
研究目标：基于PINN框架，本研究旨在开发一个专门用于麦克斯韦等离子体耦合系统（Maxwell’s Plasma Coupling System） 的物理信息深度神经网络。该网络的核心目标是，仅利用稀疏采样的电磁场数据（作为标签），以及已知的少量先验参数（如碰撞频率），同步、高精度地反演出非均匀分布的等离子体频率（与等离子体密度相关）和均匀的电子回旋频率，并同时重建出全局的电磁场和电流密度分布。
二、 详细工作流程
本研究的工作流程主要围绕所提出的PINN模型构建、训练与验证展开，可以分为以下几个关键步骤：
1. 正向物理模型构建与数据生成 * 研究对象与模型：研究考虑一维情况下，电磁波与各向异性、有碰撞的磁化等离子体的相互作用。其物理基础是耦合的麦克斯韦方程组和电流密度方程（即论文中的方程(1)-(3)）。其中关键参数包括：真空介电常数ε0和磁导率μ0、空间非均匀的等离子体频率ωp（正比于电子密度）、均匀的电子回旋频率ωce（正比于背景磁场）、以及已知的碰撞频率υc。研究中设定了特定的波传播方向（沿z轴）和磁场方向（θ=90°，即垂直于波传播方向），以简化模型。 * 数据生成（合成数据）：为了验证所提网络的有效性，研究者并未使用真实实验数据，而是通过数值仿真生成了“真实”数据作为基准。他们采用电流密度卷积-时域有限差分（Current Density Convolution-Finite Difference Time Domain） 方法，模拟了电磁脉冲（频率f=200 GHz）穿过一个厚度为1.2 cm的非均匀磁化等离子体平板的过程。等离子体密度被设定为具有特定高斯分布的非均匀轮廓。仿真生成了包含800个空间网格点和4000个时间步长的完整数据集，包括电场分量Ex, Ez、磁场分量Hy以及电流密度分量Jx, Jz。
2. 物理信息深度神经网络架构设计 * 网络总体结构：如图1所示，提出的网络包含三个核心模块：（a）深度神经网络模块，（b）残差项模块，（c）损失函数。 * （a）深度神经网络模块：此模块进一步分为两个子网络。 * 场神经网络（Field Neural Network）：输入为时空坐标（对于一维情况为z, t）。输出为待求的全局电场E、磁场H和电流密度J。 * 参数神经网络（Parameter Neural Network）：由于等离子体参数（如等离子体频率ωp）被假设为仅与空间位置相关而与时间无关，因此其输入仅为空间坐标（z）。输出为非均匀的等离子体频率ωp。此外，均匀的电子回旋频率ωce也作为一个输出（与磁场相关）。网络采用Swish函数作为激活函数，并使用Z-score方法对输入数据进行标准化预处理。 * （b）残差项模块：这是PINN的核心，将物理定律（PDEs）编码为网络训练的约束。系统被自动划分为真空区和等离子体区，分别计算残差。对于一维、θ=90°的情况，研究者从基础方程(1)-(3)推导出了归一化后的残差方程（论文中方程(4)-(11)）。例如，在等离子体区，残差项包含了麦克斯韦方程和电流动力学方程的所有项，其中就包含了需要反演的参数ωp和ωce。通过自动微分（Automatic Differentiation, AD）技术计算这些残差项关于网络输入和参数的导数。 * （c）损失函数：损失函数由两部分构成（方程12）：第一部分是数据损失，衡量网络输出的电场、磁场在稀疏采样点处与“真实”标签（从合成数据中抽取）的差异；第二部分是物理损失，即所有残差项（真空区和等离子体区）的平方和。物理损失作为正则项，迫使网络的预测满足麦克斯韦-等离子体耦合方程组。优化器采用Adam算法来最小化这个复合损失函数。
3. 模型训练与反演过程 * 训练设置：从完整的合成数据集中，随机抽取极少量空间点（例如20个点，对应1/40的采样率） 在所有时间步上的电场（Ex, Ez）和磁场（Hy）数据作为训练标签（即“稀疏采样”）。已知的碰撞频率υc作为先验信息输入。参数ωp和ωce的初始值设为零。 * 训练流程：网络训练过程同时优化场神经网络和参数神经网络的权重。通过反向传播，损失函数同时驱动网络：（1）拟合稀疏采样点处的场数据；（2）满足所有空间-时间点上物理方程所规定的约束。这个过程本质上是一个“边求解边学习” 的过程：网络在学习如何从稀疏数据中插值/推断全场信息的同时，也必须遵守物理规律，从而能够同时“猜出”正确的、未知的等离子体参数分布。训练过程分为真空区和等离子体区两个阶段进行。
4. 结果验证与对比分析 * 内部验证：使用训练好的网络，对全部800个空间点和4000个时间步进行预测，得到全局的Ex, Ez, Hy, Jx, Jz场分布，以及空间分布的ωp和标量值ωce。将这些预测结果与用于生成标签的“真实”合成数据（即仿真得到的全场数据）进行定量比较，计算相对误差。 * 外部对比：为了凸显PINN方法的优势，研究者将其与两种传统方法进行对比：（1）不带物理约束的普通人工神经网络（ANN），仅使用稀疏数据训练进行场重建；（2）样条插值（Spline Interpolation） 方法。对比在不同稀疏采样率（如1/16, 1⁄25, 1⁄40, 1⁄50, 1/80）下的重建精度和参数反演精度。
三、 主要结果
1. 基于稀疏采样的同步反演与重建效果 图2展示了在空间采样点仅为20个（采样率1/40）时的详细结果。 * 全局场重建：图2(b)-(f)显示，网络成功重建出了全局的Ex, Ez, Hy, Jx, Jz场，其分布与“真实”场高度吻合。即使在未被采样的区域（包括真空-等离子体边界附近），网络也给出了准确的预测。 * 非均匀参数反演：图2(g)显示，网络反演出的等离子体频率ωp的空间分布曲线与预设的真实高斯分布曲线几乎完全重叠。最大相对误差小于2%，平均相对误差仅为0.11%。图2(h)显示，电子回旋频率ωce的反演值迅速收敛到真实值（100 GHz），相对误差小于1%，最终平均误差为0.13%。 * 精度量化：对于20个采样点的情况，各物理量的平均相对误差分别为：Ex（0.29%）、Ez（0.17%）、Hy（4.14%）、Jx（1.19%）、Jz（0.15%）。这证明了该方法在极稀疏数据下实现高精度同步反演的强大能力。 * 训练收敛：图2(i)的损失曲线显示，训练过程是收敛的，真空区训练约3小时，等离子体区训练约15小时。
2. 方法优越性：低采样需求与高精度 图3的结果系统地证明了PINN相较于传统方法的显著优势。 * 场重建精度对比：图3(a)对比了在相同稀疏采样（20个点）下，PINN、ANN和样条插值对Ez场的重建效果。可以直观看出，PINN的重建曲线最平滑，且与真实曲线最接近，特别是在采样点之间和边界区域。ANN和样条插值的结果则出现了明显的振荡或不准确。 * 误差随采样率变化：图3(b)上图定量地展示了三种方法重建Ez场的相对误差随采样率降低（采样点变少）的变化趋势。随着采样点减少，ANN和样条插值的误差急剧上升，而PINN的误差增长极为缓慢，始终保持较低水平。在极低采样率（如1/80）下，PINN的优势更加巨大。 * 参数反演鲁棒性：图3(b)下图展示了PINN反演所有场和参数（Ex, Ez, Hy, Jx, Jz, ωp, ωce）的相对误差在不同采样率下的表现。即使采样率低至1/50，等离子体频率ωp的反演误差也仅为0.15%。这充分说明了PINN方法对于数据稀缺情况的强大鲁棒性，其物理约束有效弥补了数据信息的不足，防止了过拟合并解决了病态反演问题。
四、 结论与价值
本研究的核心结论是：成功开发并验证了一种针对麦克斯韦等离子体耦合系统的物理信息深度神经网络。该方法能够基于稀疏采样的电磁场数据，无需密集采样或复杂的先验假设，即可同步、高精度地实现非均匀磁化等离子体参数（等离子体频率）的反演以及全局电磁场、电流密度的重建。
科学价值： 1. 方法论创新：将PINN框架成功应用于复杂的、多物理场耦合的电磁-等离子体相互作用反问题中，为解决此类传统上非常困难的逆散射/参数反演问题提供了一种全新的、强大的无网格（Meshless） 计算工具。 2. 解决关键挑战：有效应对了“同时反演非均匀系数与全局场”这一长期挑战。物理约束的引入使得网络能够从极少量数据中提取出隐含的、与参数相关的物理模式，这是纯数据驱动的ANN方法无法做到的。 3. 推动交叉研究：深化了机器学习与计算物理、等离子体物理的融合，展示了“物理引导的机器学习”在解决科学工程难题方面的巨大潜力。
应用价值： 1. 降低探测成本与难度：该方法对采样数据要求极低，这意味着在实际应用（如空间等离子体遥感、实验室等离子体诊断）中，可以减少传感器数量、简化探测布局、缩短数据采集时间，从而显著降低成本和技术复杂度。 2. 提升诊断能力：能够从有限的、可能不完整的观测数据中，高分辨率地重构出等离子体参数的精细空间分布和全场电磁信息，为等离子体状态诊断和目标特性识别提供了更强大的工具。 3. 为复杂应用奠基：本文验证的一维模型为后续研究更复杂场景（如二维/三维问题、不同磁场倾角θ、存在噪声的实际数据等）奠定了基础，有望应用于更广泛的等离子体相关领域。
五、 研究亮点
六、 其他有价值的内容
论文最后对未来的工作方向进行了展望，包括将方法扩展到更高维度（二维/三维）、考虑变化的磁场倾角（θ）、以及处理包含噪声的实测数据等。这些展望指出了该方法走向实际应用所需克服的下一步挑战，也为后续研究提供了明确的路线图。此外，文中引用的相关工作较为全面，显示了研究者对该领域发展脉络的清晰把握。