本研究由马德里理工大学（Universidad Politécnica de Madrid）的Jiaqing Kou与西北工业大学（Northwestern Polytechnical University）的陈佳宁（Chenjia Ning）及张伟伟（Weiwei Zhang）教授合作完成。该研究成果于2022年10月发表在《AIAA Journal》（美国航空航天学会期刊）第60卷第10期。这是一项关于数据驱动流体力学的原创性研究，旨在通过引入机器学习领域的前沿方法，解决多保真度流场重构中的关键技术难题。
在计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）和空气动力学优化设计中，快速且准确地重构流场、预测气动载荷一直是核心目标。传统的高保真度CFD模拟虽然精度高，但求解高维偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）成本极其昂贵。数据驱动的降阶模型（Reduced-Order Models, ROMs）成为了极具吸引力的替代方案。主流的降阶模型依赖特征提取（Feature Extraction），如本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition, POD），将高维流场表示为一系列模态的线性组合，然后在低维空间进行建模。
然而，现实中流场数据往往来自多个来源（如风洞试验、数值模拟、飞行测试），具有异构性和多保真度特性。低保真度数据（如粗网格、低阶格式或简化方程的仿真结果）成本低但精度差，高保真度数据精度高但成本昂贵。多保真度建模的核心思想是融合两者，利用低代价数据提供代表性物理信息，从而用较少的高保真度数据构建出高精度模型。这一策略成功的关键在于准确捕捉低/高保真度数据之间的相关性。
现有的多保真度流场重构方法，例如直接建立低/高保真度POD模态系数之间的桥函数（Bridge Function），往往忽略了它们特征分布的内在差异，导致模型精度受限。本研究的目的正是针对这一局限性，提出利用 迁移学习（Transfer Learning） 来发现更具代表性、能更好地关联多保真度数据的特征，从而提高多保真度流场重构的精度。研究聚焦于一种名为 域适应（Domain Adaptation） 的迁移学习方法，旨在从多源数据中发现“域不变特征”（Domain-Invariant Features）。
本研究工作建立了一套完整的计算框架，其核心流程分为离线训练和在线预测两阶段，并提出了两种不同的迁移学习实现路径。
1. 数据生成与预处理的共性流程 研究首先在参数空间内采样，通过求解不同精度的控制方程或设置不同的数值格式，生成多组配对的高保真度和低保真度流场快照（Snapshots）。所有快照数据均首先通过POD方法进行降维，提取主要流动模态（Modes）及其对应的模态系数（Mode Coefficients），作为流场的低维特征。低、高保真度数据将分别被视为源域（Source Domain）和目标域（Target Domain）数据。识别桥函数（Bridge Function） ah = g(al) 是核心任务，其中ah和al分别是高、低保真度模态系数。本研究的创新点在于，先对al进行迁移变换，得到更匹配ah的特征，再进行映射。
2. 基于迁移成分分析（Transfer Component Analysis, TCA）的框架 TCA是一种通过非线性特征变换来缩小域间分布差异的技术。其工作原理如下： - 特征映射：TCA认为源域和目标域的边际分布不同（p(x_s) ≠ q(x_t)）。它通过引入一个非线性变换φ，将数据映射到一个再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space），旨在使映射后的特征分布尽可能接近（p(φ(x_s)) ≈ q(φ(x_t))）。 - 优化目标：该框架的目标是同时最小化源域和目标域之间的最大均值差异（Maximum Mean Discrepancy, MMD），并最大化变换后特征空间中的数据方差，以保留原始数据的重要属性。通过求解由MMD距离矩阵、中心化矩阵和核矩阵（Kernel Matrix）构成的广义特征值问题，得到一个变换矩阵w。 - 特征迁移：任意一组新的低保真度POD系数a_l^*，通过核技巧（Kernel Trick）计算其核向量k_{a^*}后，便可利用w投射到特征对齐的新空间，得到迁移特征a_{l,tca}^* = k_{a^*}^T w。最后，用该迁移特征作为输入，通过克里金（Kriging）等插值方法建立其与高保真度系数a_h的桥函数，实现重构。
3. 基于测地流核（Geodesic Flow Kernel, GFK）的框架 GFK则采用了一种不同的思路，它通过整合无限多个特征子空间来寻找域不变特征： - 子空间嵌入与流形分析：GFK将低、高保真度数据的POD基（即模态矩阵）视为格拉斯曼流形（Grassmann Manifold）上的两个点P_s和P_t。如果两点距离远，则直接迁移效果差。 - 测地流构建：GFK在流形上构建一条连接P_s和P_t的测地流（Geodesic Flow），这是一条平滑的变化路径φ(t)，其中t从0（源域）变化到1（目标域）。路径上每一点代表一个中间子空间。 - 核集成与变换：GFK不单独选择某个中间子空间，而是通过积分，将原始数据在所有中间子空间φ(t)上的投影内积整合起来，计算出一个正半定的测地流核矩阵G。这个G矩阵定义了一个无限维的域不变特征空间，并可通过其平方根矩阵L（满足G = L^T L）进行显式的特征映射。对于任一快照x，其GFK特征为z = Lx。在获得同时包含低、高保真度数据的GFK特征后，再次进行POD，并基于变换后的低保真度GFK模态系数a_{l,gfk}和高保真度系数a_h建立桥函数。
4. 测试案例与评估设计 为全面验证，研究设计了复杂度递增的四个案例，并对比了四种模型： - 案例A（热传导方程）与案例B（伯格斯方程）：属于一维PDE问题。高、低保真度分别由完整/简化方程或粘性/无粘性求解获得。样本量各为30个训练样本与8个测试样本。 - 案例C（NACA0012翼型跨声速流）与案例D（ONERA M6机翼跨声速流）：属于二维/三维复杂空气动力学问题。高低保真度差异来自数值格式精度（二阶/一阶通量重构）或求解收敛残差（1×10⁻⁶/1×10⁻¹）。NACA0012翼型采用28个拉丁超立方采样点训练，ONERA M6机翼采用28个均匀采样点训练。 - 对比模型：包括仅使用高保真度数据的“单保真度模型”、直接映射POD系数的“标准多保真度模型”，以及本文提出的“TCA模型”和“GFK模型”。
研究结果一致性地证实了迁移学习的优越性。
首先，在特征空间关联性分析中，研究对比了低保真度原始POD系数、TCA特征、GFK特征与高保真度POD系数的关系图。结果显示，标准方法的高阶模态系数之间存在严重的非线性交叠，很难区分。而经过TCA变换后，特别是高阶特征之间的相关性变得非常明晰，非线性扭曲被极大消除。GFK方法也改善了特征的线性可分性，但效果不如TCA显著。这直观地展示了迁移学习为何能提升后续建模精度。
其次，在模型预测精度上，定量误差分析有力地支撑了上述发现。 - 在热传导案例中，当使用足够多模态时，TCA模型的均方误差最低，比标准多保真度方法降低了一个数量级，GFK模型也略有提升。 - 在非线性更强的伯格斯方程案例中，尽管激波的存在使得低、高保真度数据相似度整体偏低，导致所有多保真度模型的准确性均低于直接在时间参数上插值的单保真度模型，但在多保真度方法内部，TCA模型依然提供了最接近单保真度模型的最高精度，重构出的激波形态最准确。 - 在NACA0012翼型（9个测试案例）和ONERA M6机翼（6个测试案例）的跨声速流场重构中，挑战主要在于对激波位置和强度的精确捕捉。TCA和GFK模型重构的表面压力系数分布比标准方法更平滑，且能更准确地追踪激波。NACA0012翼型案例中，TCA和GFK模型的预测误差均值和标准差比标准方法降低了约20%。ONERA M6机翼案例的全局流场误差云图也清楚表明，迁移学习方法有效降低了“λ”形激波附近的最高重构误差区域。
本研究成功地将域适应迁移学习引入多保真度流场降阶建模领域，得出以下结论：通过TCA或GFK方法对低保真度数据进行特征变换，能够有效对齐源域和目标域的特征分布，提取出更具代表性的低维流场特征。这些“域不变”特征使得低保真度与高保真度模态系数之间的映射关系更简单、更单调，从而可以构建出精度远高于传统方法的多保真度降阶模型。
其科学价值在于，为数据融合和科学机器学习提供了一种新颖的范式，超越了直接映射原始特征的局限，从特征分布对齐的根本层面解决了多源异构数据联合建模的难题。应用价值显著，能够在保证预测精度的同时，大幅降低获取高保真度数据所需的计算或实验成本，对气动外形优化设计、飞行器实时控制和状态评估等具有重要的工程意义。