学术报告：动态模态分解与控制方法（Dynamic Mode Decomposition with Control, DMDc）

作者与发表信息

本研究由Joshua L. Proctor（Institute for Disease Modeling, Bellevue）、Steven L. Brunton（华盛顿大学机械工程与应用数学系）和J. Nathan Kutz（华盛顿大学应用数学系）共同完成，并于2016年发表于SIAM Journal on Applied Dynamical Systems（Vol. 15, No. 1: 142–161）。

研究背景

动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）是一种数据驱动的降维方法，用于从高维复杂系统中提取时空相干模态，且无需依赖系统方程。然而，传统DMD无法处理受外部控制（actuation）的系统，导致动态模态和输入-输出模型（input-output models）的分离不准确。

为解决这一问题，作者提出了动态模态分解与控制（DMDc），其核心目标包括：
1. 解耦动态与控制效应：在受控系统中区分内禀动力学与外源控制的影响；
2. 输入-输出建模：构建适用于高维系统的低阶模型，支持预测与控制器设计；
3. 数据驱动架构：仅需系统观测数据和控制输入的历史快照（snapshots），无需先验方程知识。

研究方法与流程

1. 数据矩阵构建

DMDc基于三组数据矩阵：
- 状态快照矩阵（X, X′）：X记录时间序列状态（如流体速度场或流行病传播数据），X′为其时间偏移版本（如X′ = [x₂, x₃, …, xₘ]）。
- 控制输入矩阵（Υ）：记录与X同步的外部控制输入（如疫苗接种量）。

2. 动态模型构建

假设系统满足线性关系：
[ x_{k+1} \approx A x_k + B u_k ]
通过最小二乘法求解最佳拟合算子A和B：
1. 已知B的情况：通过SVD分解X，重构A的近似解（式3.5）；
2. 未知B的情况：将X与Υ拼接为增广矩阵Ω，通过双重SVD分解提取A和B（式3.17-3.19）。

3. 降阶与模态分析

• 投影变换：利用SVD的左奇异向量（Ũ）将高维状态投影到低维子空间（如r=5），显著降低计算复杂度（r ≪ n）。
  
• 动态模态提取：求解降阶矩阵Ã的特征分解（Ãw = wλ），通过变换式（3.21）还原全维模态φ。
  

关键结果

1. 不稳定线性系统的控制分离
   在二维不稳定系统中（如式4.1），DMDc成功分离了比例控制器（proportional controller）的影响，准确还原了原始不稳定动力学（A的真实特征值1.5与0.1），而传统DMD因控制干扰导致模态污染。

2. 大规模稳定系统的降阶建模
   对比DMDc与传统DMD在100维测量系统中的应用（图2），DMDc生成的频率响应（singular values of frequency response）与真实模型完全吻合，验证了其在输入-输出建模中的精确性。

3. 傅里叶域稀疏系统的应用
   针对128×128空间网格的流行病传播模型（图3），DMDc在噪声环境下仍能准确识别主导模态的特征值，而传统DMD因忽略控制输入产生显著偏差。

结论与意义

1. 科学价值
   

• 非线性系统理论扩展：通过Koopman算子理论（Koopman operator theory）连接数据驱动的模态分析与非线性动力学。
  
• 系统辨识新方法：区别于经典方法如ERA（Eigensystem Realization Algorithm），DMDc适用于高维测量（n ≫ r）场景。
  

1. 应用价值
   

• 流控优化：在流体动力学中实现高效控制器设计（如湍流控制）；
  
• 流行病建模：利用历史疫苗接种数据预测疾病传播时空模式（如麻疹动力学分析）。
  

研究亮点

1. 方法创新性
   

• 首次将控制输入分离纳入DMD框架，提出双重SVD分解算法；
  
• 兼容稀疏测量（sparse sensing），适用于传感器受限的实际系统。
  

1. 跨学科适用性
   案例涵盖流体力学、传染病学等领域，展示了从“黑箱仿真”到实验数据的广泛适配性。

2. 计算效率
   降阶模型（Ã ∈ ℝʳ×ʳ）显著降低了高维系统（n ~ 10⁴）的Riccati方程求解复杂度。

其他价值

通过与ERA/OKID等系统辨识方法的对比（第5节），作者指出DMDc在保留Koopman分析优势的同时，弥补了传统方法在“测量维度高于系统阶数”场景的局限性。这一成果为复杂系统控制提供了新的“方程自由”（equation-free）范式。