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KAN-ODEs：基于Kolmogorov-Arnold网络的常微分方程框架在动力系统与隐藏物理规律学习中的应用

作者及机构
本研究由麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology）机械工程系的Benjamin C. Koenig、Suyong Kim和Sili Deng（通讯作者）合作完成，发表于期刊《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》2024年第432卷。论文标题为《KAN-ODEs: Kolmogorov–Arnold Network Ordinary Differential Equations for Learning Dynamical Systems and Hidden Physics》，数据与代码已开源（GitHub链接：https://github.com/deng-mit/kan-odes）。

学术背景

研究领域与动机
本研究属于科学机器学习（Scientific Machine Learning）领域，聚焦于动力系统建模。传统方法依赖专家知识推导偏微分方程（PDEs），而数据驱动方法（如神经网络）虽能减少对先验知识的依赖，但面临可解释性差、参数过多等问题。现有方法如稀疏非线性动力学识别（SINDY）、物理信息神经网络（PINNs）和神经常微分方程（Neural ODEs）均存在权衡：SINDY需预设候选函数，PINNs需已知控制方程，Neural ODEs则因多层感知机（MLPs）的黑箱特性难以解释。

研究目标
作者提出将Kolmogorov-Arnold网络（KANs）作为Neural ODEs的梯度计算器（gradient getter），结合KANs的高精度、低参数量和可解释性优势，以及Neural ODEs的网格无关性和求解灵活性，构建新型框架KAN-ODEs，旨在实现无需先验知识的、可解释的动态系统建模。

研究流程与方法

1. KANs作为梯度计算器的设计

• 理论基础：基于Kolmogorov-Arnold表示定理（KAT），KANs通过可学习的单变量函数（如高斯径向基函数RBFs和Swish残差激活函数）替代MLPs的固定激活函数。
  
• 架构实现：采用分层结构（如[2,10,5]表示输入2维、隐藏层10节点、网格5点），每层包含RBF路径（网格化）和残差路径（直接连接），参数数量显著低于MLPs。
  
• 创新点：引入自适应归一化（输入映射到[-1,1]）避免动态调整网格，提升计算效率。

2. KAN-ODEs框架构建

• 动态系统建模：将KAN嵌入ODE求解器，形式化为 ( \frac{d\mathbf{u}}{dt} = \text{KAN}(\mathbf{u}(t), \theta) )，通过伴随灵敏度法（adjoint sensitivity method）优化损失函数（均方误差）。
  
• 求解器集成：使用Julia生态的DifferentialEquations.jl和Lux.jl，采用Tsit5（Runge-Kutta方法）求解ODE。

3. 实验验证

研究通过三类案例验证KAN-ODEs的性能：
1. Lotka-Volterra捕食者-猎物模型
- 数据生成：参数α=1.5, β=1, γ=1, δ=3，初始条件[1,1]，时间跨度0-14秒。
- 训练与测试：前3.5秒数据训练，剩余时间预测。KAN-ODEs（240参数）比MLP-ODEs（252参数）训练损失低两个数量级（8.3×10⁻⁷ vs 3×10⁻⁵），且收敛速度快3-4倍。
- 可解释性：通过稀疏化（L1正则化）和符号回归（SymbolicRegression.jl）提取激活函数，最终得到接近真实参数的符号表达式（如 ( \frac{dx}{dt} = 1.495x - 0.986xy )）。

1. Fisher-KPP方程（反应-扩散系统）

   • 隐藏物理建模：仅用单层单节点KAN（[1,1,10]）学习未知反应项，符号回归得到 ( \text{KAN}(u) = 0.995u(1.002 - u) )，与真实项 ( ru(1-u) )（r=1.0）高度吻合。
     

2. Burgers方程与Schrödinger方程

   • 稀疏数据重建：仅用5-8个时间切片训练，KAN-ODEs成功预测激波形成和复数值波场演化，误差在训练窗口外仍保持较低水平（如Burgers方程激波区域重建误差<10⁻³）。
     

主要结果

1. 性能优势

   • 精度与效率：KAN-ODEs在Lotka-Volterra模型中比MLP-ODEs快3-4倍，参数减少50%以上，且神经缩放率（neural scaling law）达 ( \mathcal{L} \propto N^{-4} )（MLPs仅 ( \mathcal{L} \propto N^{-2} )）。
     
   • 泛化能力：在未训练区域（如高x/y值），稀疏KAN-ODEs的梯度误差显著低于MLPs（图4c）。
     

2. 可解释性突破

   • 符号化表达：通过激活函数可视化与回归，KAN-ODEs可直接提取物理定律（如Fisher-KPP反应项），而无需预设函数形式。
     

3. 复杂系统适用性

   • PDE求解：在Burgers和Schrödinger方程中，KAN-ODEs仅需少量数据即可重建全场解，证明其对刚性（stiff）和复数值系统的适应性。
     

结论与价值

科学意义
- 方法论创新：首次将KANs与Neural ODEs结合，解决了数据驱动建模中精度、效率与可解释性的矛盾。
- 跨领域应用：适用于生态学（Lotka-Volterra）、量子力学（Schrödinger）、材料科学（Allen-Cahn相分离）等多学科场景。

应用潜力
- 小数据建模：在实验数据稀缺领域（如化学反应、生物系统）具有显著优势。
- 物理发现：通过符号回归自动推导隐藏物理规律，减少对专家经验的依赖。

研究亮点

1. 高精度低参数：KAN-ODEs以极少的参数（如Fisher-KPP仅10参数）实现与MLPs相当的精度。
   
2. 可解释性工具链：提供从稀疏化、剪枝到符号回归的全流程解释性方案。
   
3. 网格灵活性：依托ODE求解器，可自适应调整时间步长，适用于多尺度问题。
   
4. 开源生态：完整代码基于Julia科学计算生态，支持后续研究扩展。
   

附录案例（Allen-Cahn方程）进一步验证了KAN-ODEs在相分离动力学中的有效性，符号回归得到的源项 ( (5.0015 - 5.0021u^2)u ) 与真实项 ( 5u - 5u^3 ) 几乎一致（误差<10⁻⁵）。

（报告总字数：约2000字）