本文发表于IEEE Signal Processing Letters期刊，第26卷第11期，2019年11月。研究的主要作者是Kutluyıl Doğançay（IEEE高级会员）、Wen Y. Wang和Ngoc Hung Nguyen（IEEE会员），他们均来自南澳大利亚大学工程学院。
本研究属于信号处理领域中的目标跟踪方向，具体聚焦于分布式传感器网络下的纯方位角目标跟踪问题。纯方位角跟踪是一个经典的非线性估计问题，因为传感器的方位角测量值与目标位置呈非线性关系。传统的解决方案包括扩展卡尔曼滤波器、无迹卡尔曼滤波器以及伪线性估计器等。
然而，现有研究大多假设传感器能够获得全方位（-180°至180°）无失真的角度测量。在实际应用中，例如使用光电/红外传感器时，传感器的视场角是有限的。当目标超出传感器的视场角时，传感器将无法获取有效的角度信息，从而导致删失测量问题。此外，在分布式估计网络中，节点间通过协作融合信息可以提升估计精度和系统鲁棒性。其中，扩散策略因其在自适应网络中的稳定性和更优的稳态性能而备受青睐。
本研究旨在解决一个结合了上述两个挑战的问题：在传感器测量存在删失的情况下，如何设计一个基于扩散策略的分布式目标跟踪算法？ 具体目标包括：1）处理删失测量带来的估计偏差；2）克服伪线性化过程中测量向量与噪声相关引起的固有偏差；3）开发一个稳定、高效的分布式跟踪算法。
本研究提出了一种名为偏差补偿扩散伪线性卡尔曼滤波器的新算法。整个研究流程可以概括为以下几个核心步骤：
第一步：问题建模与算法框架构建 研究首先建立了系统模型。目标运动采用近匀速模型，状态方程如文中公式(1)所示。每个传感器i获得的原始方位角测量θ̃*_i,k服从公式(3)的模型。当考虑视场角限制时，实际获得的测量值θ̃_i,k是一个删失数据，如公式(4)所示：当真实角度超过阈值τ+或低于τ-时，测量值被截断为阈值本身；只有在阈值之间时，才能获得真实测量值。 为了应用线性滤波框架，研究采用了伪线性化技术。通过三角变换，将非线性的方位角测量方程转化为伪线性测量方程，如公式(9)所示：z_i,k = H_i,k * x_k + η_i,k。其中，z_i,k是伪测量向量，H_i,k是伪测量矩阵，η_i,k是伪线性噪声，其方差与目标到传感器的距离平方成正比。由此，问题被转化为一个线性状态空间模型的估计问题，但其中的测量z_i,k和矩阵H_i,k由于删失而无法直接获得。
第二步：处理删失测量——利用逆米尔斯比重建 这是本研究的第一个关键创新点。为了处理删失测量，算法需要估计在给定当前状态预测和观测到的删失值条件下，未删失的真实角度θ̃_i,k的条件期望θ̄_i,k。 研究区分了两种情况： 1. 测量被删失（θ̃_i,k等于τ+或τ-）：此时，假设真实测量噪声服从高斯分布，则条件期望的计算涉及到截断高斯分布的均值。研究引入了逆米尔斯比这一统计学工具。逆米尔斯比用于计算标准正态分布变量在给定截断区间下的条件期望。通过公式(18)-(20)，算法可以计算出被删失角度的条件期望估计值。例如，当测量值被上界τ+删失时，重建的角度估计为：θ̄*_i,k = h(x̂_i,k|k-1) + σ_i,k * ω(-α+_i)，其中ω(·)是逆米尔斯比函数，α+_i是标准化后的截断点。 2. 测量未被删失（τ- < θ̃_i,k < τ+）：此时，直接使用观测到的角度值，即θ̄_i,k = θ̃_i,k。 利用重建出的θ̄_i,k，可以计算出伪测量方程中所需的z̄_i,k和H̄_i,k的条件期望，如公式(15)和(16)所示。这一步有效地补偿了因数据删失直接使用阈值代替真实值而引入的偏差。
第三步：构建扩散伪线性卡尔曼滤波器 基于重建后的测量，研究构建了扩散伪线性卡尔曼滤波器算法。该算法在每个传感器节点i上迭代执行，包含三个核心步骤： 1. 状态预测：根据目标动力学模型，预测下一时刻的状态和协方差矩阵。 2. 增量更新：节点i从其所有邻居节点l（包括自身）获取信息。对于每个邻居l，节点i使用其自身的状态预测协方差和邻居l重建后的测量信息（H̄_l,k, z̄_l,k），按照标准卡尔曼滤波增益公式计算一个中间更新量。这个过程在邻居集合中循环进行，逐步融合来自整个网络的信息，生成一个中间估计ψ_i,k。 3. 扩散更新：节点i从其邻居节点接收它们的中间估计ψ_l,k，并通过一个凸组合（加权平均）生成最终的本时刻状态估计x̂_i,k|k。权重系数c_l,i满足和为1，通常由Metropolis规则等生成。 此步骤产生的算法称为DPLKF-C（Censored Diffusion Pseudolinear Kalman Filter）。然而，由于伪线性化过程中，噪声η_i,k与伪测量矩阵H_i,k（或其条件期望H̄_i,k）之间存在相关性，即使处理了删失偏差，DPLKF-C的估计结果仍然存在固有偏差。
第四步：偏差分析与补偿——第二个关键创新 为了克服上述固有偏差，本研究进行了深入的偏差分析。通过推导估计误差的数学期望，得到了DPLKF-C算法偏差的近似表达式，如公式(22)所示。分析表明，偏差主要来源于伪线性噪声η_i,k与测量矩阵H̄_i,k的相关性项E{H̄_i,k η_i,k}。 研究进一步给出了该相关性项的近似估计，如公式(23)所示：E{H̄_i,k η_i,k} ≈ -μ²_i,k * M^T * (M x̂_i,k|k-1 - r_i)。其中，M是一个选择矩阵，用于从状态向量中提取位置信息。 基于此分析，提出了偏差补偿步骤。在完成DPLKF-C的扩散更新后，算法根据公式(24)计算出一个偏差估计量，并将其加到当前的状态估计上，从而得到偏差补偿后的状态估计x̂^{bc}_i,k|k。将补偿后的估计值反馈到下一时刻的预测步骤中，就形成了完整的BC-DPLKF-C算法。
第五步：仿真验证与性能评估 为了验证所提算法的性能，研究进行了数值仿真实验。 * 研究对象与设置：构建了一个包含20个节点的传感器网络，网络拓扑结构如图2(a)所示。目标在二维平面内运动，进行了100次蒙特卡洛模拟以获取统计结果。传感器的方位角测量噪声标准差各不相同（如图2c所示）。删失阈值设置为τ- = -90°, τ+ = 90°，模拟了180°有限视场角的情况，平均约80%的测量因超出视场而被删失。 * 对比算法：将提出的BC-DPLKF-C算法与多种现有算法进行对比，包括：BC-PLKF（处理相关偏差但未考虑删失）、DEKF（分布式扩展卡尔曼滤波器，直接处理非线性删失模型）、ACEKF（另一种处理非线性模型的滤波器）以及未进行偏差补偿的DPLKF-C。 * 评估指标：采用网络平均偏差范数和网络平均均方根误差作为性能评估指标，分别衡量估计的准确性和精度。
仿真结果清晰地展示了所提算法的优越性，如图2(d)-(g)所示。 1. DPLKF-C算法的偏差问题：如图2(d)和(e)所示，未进行偏差补偿的DPLKF-C算法在位置和速度估计上均表现出显著的偏差。这验证了伪线性化相关偏差的存在，即使它已经通过逆米尔斯比处理了删失问题。 2. 现有算法的局限性：BC-PLKF算法虽然补偿了相关偏差，但因为它没有处理删失测量（直接使用截断值），所以其估计结果仍然存在偏差。DEKF和ACEKF算法直接基于删失测量模型设计，因此性能优于BC-PLKF和DPLKF-C，但它们在图2(f)和(g)中显示的RMSE性能，以及在图2(d)和(e)中显示的偏差性能，均显著差于本文提出的BC-DPLKF-C算法。 3. BC-DPLKF-C的卓越性能：本文提出的BC-DPLKF-C算法在位置和速度估计的偏差范数和均方根误差上均表现最佳。其偏差迅速收敛并保持在接近零的很低水平，RMSE也明显低于所有对比算法。这强有力地证明了该算法的有效性。 4. 结果逻辑关系：这些结果直接支持了研究的核心论点：同时处理删失偏差和伪线性相关偏差是至关重要的。仅处理其中任何一种偏差（如DPLKF-C或BC-PLKF）都无法达到最优性能。而直接应用传统的非线性滤波方法（如DEKF/ACEKF）处理此类复杂问题，其性能也不及专门设计的、结合了偏差补偿机制的伪线性扩散滤波框架。
本研究成功提出并验证了一种用于含删失测量的纯方位角目标跟踪的偏差补偿扩散伪线性卡尔曼滤波算法。该算法通过逆米尔斯比重建未删失测量，有效克服了传感器视场角有限导致的测量信息损失和偏差；进一步通过严格的偏差分析，设计补偿步骤，消除了伪线性化固有的相关性偏差。
科学价值：本研究为解决分布式传感器网络中存在不完全观测（删失数据）的非线性滤波问题提供了一个系统性的框架。它将统计学的逆米尔斯比工具与信号处理中的分布式估计、偏差补偿技术有机结合，深化了人们对伪线性估计偏差来源及其补偿方法的理解，为处理类似“非线性+不完全数据+分布式”的复杂估计问题提供了新思路。
应用价值：该算法可直接应用于依赖于光电、红外等有限视场角传感器进行目标跟踪的军事和民用领域，例如无人机监控、边境安防、智能交通等。其分布式特性使其适用于资源受限、无中心处理器的自组织传感器网络，提高了系统的可靠性和灵活性。
论文指出，所提出的算法框架可以扩展到更复杂的非线性运动模型（如协调转弯模型），只要这些模型能够被近似为线性模型，从而保持状态空间的线性特性，使得扩散伪线性卡尔曼滤波器仍然适用。这显示了算法具有良好的可扩展性。