一项声子晶体拓扑优化设计的创新机器学习框架：面向低频振动控制

一、 作者与发表信息

本研究报告基于赵春峰a,b,*、黄奥a、褚凡a、张天a等人的研究成果。a单位为合肥工业大学土木与水利工程学院（中国合肥，230009），b单位为合肥工业大学安徽省土木工程结构与材料重点实验室（中国合肥，230009）。该研究以“Data-driven topology optimization design of phononic crystals for vibration control”为题，发表于《International Journal of Mechanical Sciences》期刊第297-298卷（2025年），文章编号110358，于2025年5月8日在线发布。

二、 学术背景与研究目标

本研究属于声子晶体与超材料设计、振动控制及机器学习交叉领域。振动与噪声是工程结构与日常生活面临的严峻挑战，尤其在城市轨道交通等场景中，低频振动（如地铁运行产生的50-70 Hz振动）对邻近建筑结构和人体健康构成威胁。声子晶体作为一种人工复合周期结构，其独特的带隙特性能够抑制特定频率范围内弹性波的传播，为振动隔离提供了新思路。然而，传统声子晶体设计方法高度依赖耗时费力的数值模拟（如有限元法），且其设计过程通常基于参数试错，效率低下，尤其当追求特定低频带隙同时需要控制结构填充率（影响材料成本与结构重量）时，传统方法难以高效实现多目标优化。

因此，本研究旨在开发一种创新的、数据驱动的声子晶体逆向设计框架。其主要目标包括：1）建立一个结合机器学习与遗传算法的综合优化范式，实现对二维声子晶体单元结构的高效、精准拓扑优化；2）在确保目标低频带隙（50-70 Hz）性能的前提下，最小化结构填充率，实现轻量化设计；3）通过数值仿真（频域及时程分析）验证所设计声子晶体超材料屏障的实际减振性能。最终，本研究期望为多谐振器、多功能声子晶体的设计提供一种新的可能，推动数据驱动方法在超材料设计领域的应用。

三、 详细研究方法与流程

本研究提出并验证了一个结合变分自编码器（Variational Autoencoder, VAE）、轻量梯度提升机（Light Gradient Boosting Machine, LightGBM）和遗传算法（Genetic Algorithm, GA）的三阶段数据驱动拓扑优化框架，整体流程可分为数据集构建、机器学习模型训练和优化设计验证三大部分。

第一阶段：数据集构建与准备

研究首先构建了一个包含4500个样本的二维声子晶体拓扑结构数据集。研究对象为二维方形声子晶体单胞，晶格常数设为1米。结构采用混凝土作为散射体，土壤作为基体材料（材料参数见论文表1）。每个单胞的拓扑结构被离散化为一个16×16的二值像素网格（黑色像素代表混凝土，灰色代表土壤），并遵循特定的设计规则：需满足八分之一对称性以确保Brillouin区的不可约性；内部混凝土散射体必须连续完整；最外层被土壤包裹；填充率控制在合理范围内以避免结构过轻或过重；几何形状力求简化以利于工程应用。通过自动化脚本生成符合规则的随机拓扑，并从中筛选出4500个样本。

对于数据集中的每个拓扑样本，研究采用COMSOL Multiphysics软件通过自动联合仿真计算其能带结构，获取第一带隙（位于第三和第四能带之间）的上下边界频率（Fu和Fl）作为样本标签。每个样本的有限元计算耗时约42秒。最终，数据集包含4500个（拓扑图像，带隙上下限频率）数据对。该数据集被随机划分为训练集、验证集和测试集，比例为6:2:1。可视化分析（论文图2c-e）显示数据集中带隙分布具有良好的多样性和代表性，为后续机器学习模型的训练与泛化提供了基础。

第二阶段：机器学习模型训练

此阶段旨在训练两个核心模型：用于拓扑特征提取与生成的VAE，以及用于带隙快速预测的LightGBM。

1. 变分自编码器（VAE）模型：研究设计了一个VAE网络（论文图3a）来处理16×16的二值拓扑图像。输入图像被展平为256维向量，经过编码器压缩到一个10维的潜空间向量（z1到z10），再通过解码器重构为原始尺寸。输出层使用Sigmoid激活函数以确保输出值在0到1之间。VAE的训练目标是最小化重构误差。在包含8000次迭代的训练后，模型在测试集上表现出优异的性能：约90%的样本被完全正确重构，约5%的样本重构误差在3%到4%之间，总体重构误差率控制在5%以内（论文图3b）。尽管存在个别像素级边缘误差（论文图3c），但生成的所有拓扑均严格遵守了预设的对称性和连续性规则。误差分析（论文图3d）表明，即使对于有微小重构误差的样本，其带隙特性（特别是上边界）变化也很小，证明了VAE在提取关键拓扑特征方面的鲁棒性。训练好的编码器将用于后续将拓扑图像降维至潜空间，解码器将用于优化过程中从潜空间向量重构拓扑。

2. 轻量梯度提升机（LightGBM）模型：研究采用两个独立的LightGBM模型，分别预测带隙的上边界频率和下边界频率。模型的输入是经过VAE编码器提取的10维潜空间向量，输出是相应的频率值。为了提高预测精度，研究采用模拟退火算法对LightGBM的超参数（如学习率、叶子数量、最大深度等，见论文表2）进行优化，目标是最小化验证集上的均方误差（MSE）。

训练结果显示（论文图5a-b），两个LightGBM模型均快速收敛。上边界预测模型在100次迭代后，训练集和验证集的MSE分别低至0.020和0.015；下边界预测模型也表现出类似的收敛趋势。在测试集上的评估表明（论文图5c-d），模型预测值与真实值高度吻合，决定系数R²均达到约0.999，显示出极高的预测精度。为了进一步验证，研究从数据集中选取了两个样本，对比了其有限元计算的带隙与LightGBM的预测值（论文表3），结果几乎完全一致。这表明，训练好的LightGBM模型能够以前所未有的速度和精度（相比每个样本42秒的有限元计算）完成带隙预测，为后续基于遗传算法的大规模优化迭代奠定了基础。

第三阶段：基于遗传算法的拓扑优化与性能验证

本阶段的核心是利用训练好的机器学习模型，通过遗传算法在潜空间中进行逆向设计，寻找满足目标带隙且填充率最低的拓扑结构。

1. 遗传算法优化流程：优化目标是在满足目标带隙（针对1米晶格，等效为100-140 Hz）的前提下，最小化混凝土填充率。适应度函数定义为拓扑图像中土壤像素的数量（N），最大化N即等价于最小化填充率（φ = 1 - N/256）。优化过程如论文图6(a)所示：a) 初始化：在VAE的10维潜空间中随机生成种群，并混入一些已知满足初始带隙要求的数据集样本潜向量作为先验知识。b) 评估：对于种群中的每个潜向量个体，首先使用VAE解码器重构出其拓扑图像，计算填充率；同时，使用预训练的LightGBM模型预测其带隙上下限。c) 选择、交叉、变异：采用带有精英保留策略的遗传算法。根据适应度函数（土壤像素数）和约束条件（预测带隙是否覆盖目标范围）对个体进行选择。随后进行交叉和变异操作，在潜空间中探索新的拓扑可能性。d) 迭代：重复评估和进化步骤，经过50次迭代，种群逐渐向低填充率且满足带隙约束的方向进化（论文图6b）。e) 输出：从最终种群中选择填充率最低的若干个个体，解码后得到优化的拓扑结构。

2. 单元设计结果：通过上述优化框架，研究成功设计了四组具有最低填充率（均为39.1%）的二维声子晶体单胞结构（命名为PC1-PC4，见论文表5）。将这些单胞尺寸等效放大至2米后，其第一带隙正好覆盖目标低频范围50-70 Hz。频散曲线计算（论文图7中插图）确认了带隙的存在。

3. 振动隔离性能验证：研究对其中几何形状最均匀的PC3结构进行了深入的数值仿真验证。 * 频域分析：首先构建了由八个PC3单元周期性排列而成的二维屏障模型（论文图7a），计算其频率响应函数（FRF）。结果（论文图7e右）显示，在50-70 Hz的目标带隙内，振动波传输损耗显著，证明了屏障的带隙效应。 * 三维有限元模型验证：进一步建立了PC3屏障的三维有限元模型（论文图8），屏障埋深3米。分析了两种频率（20 Hz和60 Hz）的简谐波激励下，屏障后方土体的位移场。结果（论文图9）清晰表明：对于60 Hz（位于带隙内）的激励，波在屏障处被强烈衰减，后方位移大幅减小；而对于20 Hz（位于带隙外）的激励，波几乎无阻碍地通过屏障。这直观证明了优化设计的声子晶体屏障具有频率选择性的振动隔离能力。 * 时程分析：为了更贴近实际振动环境，研究使用带宽受限的高斯白噪声作为激励信号，进行了瞬态动力学分析。设置了两种激励：15-25 Hz（带隙外）和50-60 Hz（带隙内）。结果（论文图10）显示，对于带隙内的振动，屏障后测点的位移峰值衰减超过85%，频谱分析显示振幅衰减高达90%；而对于带隙外的振动，衰减效果有限（峰值衰减约20%）。这定量验证了该数据驱动设计的超材料屏障对目标低频地铁振动卓越的衰减性能。

四、 主要研究结果

1. 成功构建了高质量数据集与高精度预测模型：研究构建了包含4500个多样化样本的声子晶体拓扑-带隙数据集。训练的VAE模型能有效提取和生成符合物理约束的拓扑特征。LightGBM模型在测试集上实现了R²≈0.999的极高预测精度，MSE低至0.015，将带隙计算从分钟级的有限元仿真提升至近乎实时的预测，为核心优化循环提供了关键技术支撑。
2. 实现了低填充率声子晶体的自动化逆向设计：通过将VAE、LightGBM与GA深度融合，本研究建立了一个高效的自动化逆向设计管道。该框架成功地在广阔的拓扑设计空间中，搜索并生成了四组填充率仅为39.1%的轻量化声子晶体单胞结构，同时确保其第一带隙精确覆盖50-70 Hz的地铁主要振动频段。这证明了该框架在平衡性能（带隙）与经济性（材料用量）多目标优化方面的强大能力。
3. 全面验证了优化设计的振动隔离效能：通过系统的频域和时程分析，研究证实了由优化单元周期排列构成的超材料屏障，对目标带隙内（50-70 Hz）的弹性波具有极强的衰减作用。频域响应显示带隙内传输损耗显著；三维仿真直观展示了波场的隔离现象；时程分析定量给出了超过85%的位移峰值衰减和高达90%的振幅衰减。这些结果一致且有力地证明了数据驱动设计方法的可行性与所设计结构的功能可靠性。

各阶段结果逻辑紧密相连：数据集的质量是模型预测准确的基础；高精度的LightGBM预测模型是遗传算法能够高效、正确评估潜空间个体性能的关键；而遗传算法在潜空间中的优化搜索，则直接产出了满足工程约束（低填充率、目标带隙）的最终设计；最后的数值仿真验证是整个设计流程闭环的证据，确保了从数据到实用设计的完整性与可信度。

五、 结论与价值

本研究提出并验证了一种创新的、数据驱动的声子晶体拓扑优化设计框架。该框架创新性地整合了变分自编码器（用于特征提取与生成）、轻量梯度提升机（用于高速精准性能预测）和遗传算法（用于多目标优化搜索），成功实现了对二维声子晶体结构在指定低频带隙下的填充率最小化逆向设计。

其科学价值在于：为超材料/声子晶体的设计范式提供了新的思路，展示了机器学习，特别是“VAE+LightGBM”组合在解决高维、非线性拓扑-性能映射问题上的巨大潜力，以及将其与进化算法结合实现自动化逆向设计的可行性。该方法显著降低了传统拓扑优化中巨大的试错计算成本。

其应用价值显著：所设计的低填充率（39.1%）声子晶体超材料屏障，针对地铁环境振动的主要频段（50-70 Hz）展示了优异的衰减性能（>85%的振动衰减），为实际工程中的振动控制，特别是城市轨道交通引起的环境振动治理，提供了一种轻量化、高性能的潜在解决方案。该框架的灵活性和高效性也使其有望扩展到更复杂的多谐振器、多功能声子晶体设计中去。

六、 研究亮点

1. 方法创新性：本研究首创了“VAE + LightGBM + GA”的三元融合框架用于声子晶体逆向设计。VAE负责处理高维拓扑图像的降维与特征约束保持，LightGBM提供远超神经网络效率的极致预测性能，GA则在潜空间进行高效定向搜索。这种组合充分发挥了各自优势，是方法上的重要创新。
2. 多目标优化实现：研究并非单纯追求最大带隙，而是成功实现了“精确低频带隙定位”与“填充率最小化”这一对在实际工程中极具价值的矛盾目标的协同优化，设计出了兼具性能与经济性的轻量化结构。
3. 极高的预测与优化效率：LightGBM模型达到了近乎完美的预测精度（R²≈0.999），使得在优化迭代中无需调用任何一次昂贵的有限元计算，将设计周期从传统的“天”或“周”级缩短到可接受的计算时间内，极大地提升了设计效率。
4. 完整的验证闭环：研究不仅停留在优化设计出结构，还通过严格的频域分析、三维波场模拟和时程分析，全方位、多角度地验证了所设计声子晶体屏障的实际减振性能，形成了从数据到设计再到功能验证的完整研究闭环，结论坚实可信。

七、 其他有价值内容

研究在讨论中也指出了当前工作的局限性与未来方向：虽然遗传算法的多目标变体在技术上为引入更多约束（如结构稳定性、制造可行性、经济成本）提供了可能，但如何建立跨物理域的评价指标体系并平衡相互冲突的优化目标，仍是未来研究的关键挑战。这为后续研究者指明了该框架深化和拓展的可能路径。此外，论文中对VAE重构误差与带隙特性变化之间关系的简要分析（论文图3d），也提示了拓扑局部特征对低频带隙可能具有较高敏感性，这一现象值得进一步深入研究。