本文档属于类型a，是一篇关于高阶非线性系统自适应迭代学习控制（Adaptive Iterative Learning Control, AILC）的原创性研究论文。下面将从七个方面详细介绍该研究内容。

1. 作者及发表信息

本研究由Xuefang Li、Yanfang Chen、Hui-jie Sun和Wanquan Liu合作完成。第一作者Xuefang Li与通讯作者Wanquan Liu均来自中山大学深圳校区智能系统工程学院的School of Intelligent Systems Engineering；Hui-jie Sun则来自中山大学深圳校区航空航天学院的School of Aeronautics and Astronautics。论文于2024年2月16日正式接受，发表在期刊*International Journal of Robust and Nonlinear Control*（DOI: 10.1002/rnc.7281）。研究得到了中国国家自然科学基金（62373385）、广东省自然科学基金（2022A1515010881, 2023A1515011466）和深圳市科技计划项目（202305063000008, 20231121093427001）的支持。

2. 学术背景

本文的核心科学领域为控制理论，具体聚焦于高阶全驱动系统（High-Order Fully Actuated Systems, HOFAS）的自适应迭代学习控制设计。研究动机源于现代控制系统对高阶非线性系统的需求与挑战：传统一阶非线性微分方程模型虽能通过状态空间表示处理线性和非线性系统，但其建模过程可能导致高阶物理模型的全驱动特性被破坏，从而增加可控性分析和控制器设计的复杂性。Duan等人提出的HOFAS理论为这一问题提供了新思路，该理论通过利用系统的全驱动特性消除非线性动力学，进而构建线性闭环系统。然而，现有HOFAS方法多关注无限时间内的渐近稳定性或跟踪控制，难以适用于实际系统中常见的有限时间重复操作场景（如高速列车、康复机器人等）。因此，本研究旨在结合迭代学习控制（ILC）与HOFAS理论，开发适用于多类不确定性高阶非线性系统的AILC框架。

3. 研究方法与流程

研究分为三个主要阶段，分别针对不同不确定性类型的系统设计控制方案：

(1) 仅含参数不确定性的HOFAS（第3节）

• 研究对象：形如式（6）的系统，含参数不确定性θ（时变或常数）。
  
• 控制设计：
  
  1. 误差动力学建模（式8）：基于参考轨迹生成跟踪误差的高阶导数。
     
  2. AILC算法设计（式9-10）：控制器由反馈控制律和参数更新律组成，后者通过复合能量函数（Composite Energy Function, CEF）保证收敛性。
     
  3. 收敛性证明（定理1）：通过CEF的迭代单调递减性及Lyapunov稳定性分析得出结论。
     

(2) 含参数与输入分布不确定性的HOFAS（第4节）

• 不确定性扩展：系统（式28）包含未知输入分布矩阵π_k，需满足有界性和半正定性（假设3）。
  
• 鲁棒AILC设计（式30）：引入补偿项l_k以抵消输入分布扰动，结合参数更新律（式10）确保鲁棒性。
  
• 收敛性分析（定理2）：通过非连续控制策略处理输入不确定性，利用Lebesgue积分准则保证可积性。
  

(3) 含参数不确定性与未知控制增益矩阵的HOFAS（第5节）

• 挑战：控制增益矩阵g_k完全未知且可能非满秩（假设4）。
  
• 自适应AILC设计（式47-49）：新增对未知控制增益上界λ的估计律（式49），结合平滑技术（引理1）避免奇异点。
  
• 收敛性证明（定理3）：通过扩展CEF（式52）联合分析参数与增益估计误差。
  

创新方法：
- CEF框架的扩展应用（第3节）；
- 非连续鲁棒项设计（第4节）；
- 针对未知增益矩阵的双重自适应估计（第5节）。

4. 主要结果

(1) 理论成果

• 定理1：对于仅含参数不确定性的系统，AILC（式9-10）确保跟踪误差在迭代域内全局收敛至零（图1-2）。
  
• 定理2：在输入分布不确定性下，鲁棒AILC（式30）仍保持收敛性（图3-4），且可放宽对扰动上界的先验知识要求（备注5）。
  
• 定理3：即使控制增益矩阵完全未知，自适应AILC（式47-49）可保证误差收敛（图5-6），且适用于欠驱动系统（备注8）。
  

(2) 数值验证

三个仿真案例分别验证了不同场景下算法的有效性：
- 案例1（式71）：时变参数θ=-0.5sin(t)的跟踪任务，100次迭代后误差显著降低（图2）。
- 案例2（式72）：输入扰动π_k=0.5sin(x_k)下仍实现高精度跟踪（图4）。
- 案例3（式73）：未知增益g_k=2+sin(x_k²)时收敛速度略降但稳定性仍保证（图6）。

5. 研究结论与价值

科学价值：

1. 理论拓展：首次将HOFAS理论从无限时间跟踪推广至有限时间学习控制，填补了AILC在高阶系统中的空白。
   
2. 方法创新：提出可处理完全未知控制增益矩阵的自适应框架，突破了传统方法需已知增益的限制。
   
3. 应用扩展：为欠驱动系统（通过HOFAS转换）的迭代学习控制提供了新思路。
   

应用价值：

• 适用于重复操作的工业系统（如机械臂轨迹跟踪）；
  
• 为存在建模误差或参数漂移的实际工程问题提供鲁棒解决方案。
  

6. 研究亮点

1. 多类不确定性统一处理：涵盖参数、输入分布及增益矩阵不确定性，覆盖范围远超现有AILC研究。
   
2. 无增益矩阵先验知识：第5节方案首次实现无需控制增益信息的AILC设计。
   
3. CEF框架的灵活应用：通过不同形式的CEF（式14、52）适应三类系统，证明方法的普适性。
   

7. 其他要点

• 局限性：当前研究假设初始状态严格对齐（假设2），未来可结合初始学习技术（如文献31-35）放宽该条件。
  
• 延伸方向：作者建议进一步研究实验验证及欠驱动系统的直接控制框架（第7节）。