本文是一篇原创性学术研究论文，由 Angélique Delafosse、Marie-Laure Collignon、Sébastien Calvo、Frank Delvigne、Michel Crine、Philippe Thonart 和 Dominique Toye 共同完成。研究团队来自比利时列日大学（Université de Liège）化学工程实验室（Laboratory of Chemical Engineering）、比利时科学研究基金会（Fonds de la Recherche Scientifique, FRS-FNRS）以及列日大学让布鲁农业生物技术学院（Gembloux Agro-Bio Tech）。该论文于2013年11月17日被接受，2013年11月25日在线发表，刊登于 Chemical Engineering Science 第106卷（2014年），页码为76至85。
在大多数生物过程中，准确预测不同尺寸生物反应器的流体动力学行为及其与生物反应的相互作用是至关重要的。从实验室规模放大到工业规模时，由于混合效率随反应器体积增大而降低，常出现基质、溶解氧、pH等强梯度，进而引起微生物生理或代谢响应发生变化。因此，建立能够准确描述生物反应器混合行为的模型对于合理放大具有基础性意义。
计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）能够提供关于流体动力学和混合过程的详细模拟，但计算量大，尤其是在耦合反应时耗时严重。另一种方法是采用 compartment model（分区模型），也称为 network-of-zones model（区域网络模型），其将反应器划分为有限数量的相互连接的体积单元，每个单元内的流动性质假设为均一。该模型计算量小，易于耦合反应，但其单元间通量通常基于宏观量（如流量数）定义，难以准确反映真实流动复杂性。为此，研究者提出将CFD与分区模型结合的方法：利用CFD求解湍流流场，再基于CFD结果构建 compartment model。然而，已有文献中 compartment 的定义和通量计算方式存在局限。本文的目的是开发一种基于CFD模拟的 compartment model 方法学，使 compartment 间的流速能够直接从 CFD 速度场及湍流动能场计算得出，并通过与示踪剂混合实验对比验证模型精度，同时与纯 CFD 混合模拟及经典 network-of-zones 模型进行比较。
本研究的总体流程包括四个主要环节：实验系统搭建与 PIV 测量、示踪剂混合实验、经典 network-of-zones 模型构建与模拟、CFD 流动模拟与 CFD-based compartment model 开发与验证。
研究所用生物反应器为有机玻璃（perspex）搅拌釜，直径 T = 0.22 m，最大液位高度 H = 2T = 0.44 m，对应最大工作体积为 16.5 L。反应器配备四块平板挡板，挡板宽度 b = 0.15T = 0.032 m，距壁面 0.008 m。搅拌系统由两个四叶盘式涡轮（Rushton turbine）组成，叶轮直径 d = T/2 = 0.1 m。下叶轮距釜底距离 c₁ = d = 0.1 m，两叶轮间距 c₂ = 2d = 0.2 m。所有实验均在转速 N = 300 rpm 条件下进行。整体湍流耗散率由搅拌轴上的机械扭矩测量值推算得出，〈ε〉 = 0.45 m² s⁻³，对应功率准数 P₀ = 5.9。
二维粒子图像测速技术（2D-PIV）用于测量反应器内的瞬时和平均速度场。为减少圆筒壁引起的光学畸变，有机玻璃反应器被置于充满水的透明方形容器中。反应器内充满水（ρ = 1000 kg m⁻³，ν = 10⁻⁶ m² s⁻¹），并加入平均直径 dₚ = 20 μm、密度 ρₚ = 1030 kg m⁻³ 的惰性聚酰胺颗粒作为示踪粒子。粒子的弛豫时间 τₚ = 23 μs，远小于基于整体湍流耗散率计算的 Kolmogorov 时间尺度 τₖ = 1500 μs，因此粒子可被视为湍流流动的良好示踪剂。
PIV 系统由 Nd-YAG 激光器、高速相机（1280 × 1024 像素²，4 Hz）、定时器和 DynamicStudio 软件组成。测量在穿过叶轮轴且位于挡板前 π/8 角的垂直平面上进行。为兼顾全罐高度和空间分辨率，测量分两步完成：先测量罐底部（0 < 2z/d < 4.4），再测量罐顶部（4 < 2z/d < 8.8）。空间分辨率为 δ = 1.9072 mm。两帧图像的时间间隔设为 δt = 500 μs。每次实验记录 1000 对图像以保证速度场和湍流动能的统计收敛。
为验证模型在混合预测方面的准确性，采用电导率技术测量惰性示踪剂的混合时间。每次测量在液面处（2r/d = 1.6，θ = 0）脉冲注入 30 ml 饱和 NaCl 溶液（c₀ = 359 g L⁻¹），并由两个电导率探针测量 NaCl 浓度的时间演化。探针位于与注入点直径相对的角位置（2r/d = 1.6，θ = π），分别设置在两个高度：底部（z/d = 0.3）和顶部（z/d = 3.8）。探针测量体积估算为约 12 ml（半径 r = 0.008 m，高度 h = 0.06 m）。每个探针位置进行了三次连续注入，计算了达到 95% 均匀性的平均混合时间。实验获得的顶端和底端测量点的无量纲混合时间（n·tₘ,95）分别为 72 和 73。
经典 network-of-zones 模型将反应器划分为有限数量的区域。在三维模型中，每个径向叶轮产生的上下两个循环回路被表示为两个嵌套的闭合回路网络，每个回路包含 m × n × n 个等体积区域，其中 m 为切向分区数，n 为径向分区数。在双叶轮生物反应器中，总区域数为 2 × 2 × m × n × n。同一闭合回路内的相邻区域通过单向平均循环流量 q_c 连接，不同回路之间的相邻区域通过两个湍流交换流量（大小相等、方向相反）连接，二者关系由因子 β 表示。切向方向上，区域间由主旋流流量 q_s（与叶轮旋转方向相同）和反向湍流流量 βₛqₛ 连接。
局部循环流量 q_c 由总体叶轮循环流量 Q_c 除以（n × m）得到，其中 Q_c 通过 PIV 数据沿上下循环回路中心之间的垂直线积分径向速度获得。计算得到的无量纲流量数 Fl 为 0.76（与文献报道的 Rushton 涡轮 Fl = 0.73–0.76 高度一致），Fl_c 为 2，比值 Fl_c/Fl 为 2.6。混合模拟通过求解一组常微分方程实现，浓度变化率等于过渡速率矩阵与体积之比。矩阵元素由平均流量和湍流流量定义，保证各区域的动量守恒。在模拟中测试了不同的 β 值，发现当 β = 0.6 时与实验混合时间拟合最佳，但浓度随时间演化的波动特征仍无法被该模型复现。
CFD 模拟采用商业软件 Fluent（版本 6.3.26），模拟单相水流（ρ = 998.2 kg m⁻³，μ = 0.001003 Pa s），转速 N = 300 rpm，对应雷诺数 Re = 50 000。湍流模型采用标准 k-epsilon 模型。使用滑动网格技术处理叶轮旋转，网格分为三个区域：每个叶轮周围的圆柱形旋转区域（约 13 万六面体网格，网格尺寸 1.2–2.7 mm）和覆盖其余部分的静止区域（80 万六面体网格，网格尺寸 1.2–3.5 mm）。总网格数超过 10⁶。模拟采用非稳态模式，时间步长 δt = 1.111 × 10⁻³ s，对应每个时间步叶轮旋转 2°。
通过对比垂直平面上的平均速度分量和湍流脉动速度均方根（rms），CFD 模拟结果与 2D-PIV 数据吻合良好。CFD 模拟准确再现了平均速度场和双叶轮产生的循环回路。在大部分罐体区域内，由湍流动能 k 计算的 rms 湍流速度（假设各向同性，u′ = √(2k/3)）与 PIV 的两个分量测量结果相当一致，但在叶轮附近和排出流区域存在偏差，表明各向同性假设在这些区域不完全成立。此外，在排出流撞击壁面处，标准 k-epsilon 模型高估了湍流动能，这是该模型的已知缺陷。
CFD 混合模拟通过在每个网格单元求解时间相关的雷诺平均标量输运方程实现，分子扩散系数设为 Dₘ = 10⁻⁹ m² s⁻¹。湍流输运通过湍流扩散系数 D_t = ν_t/Sc_t 引入，其中 ν_t 为湍流粘度，Sc_t 为湍流施密特数。分别测试了 Sc_t = 0.7（Fluent 默认值）和 Sc_t = 0.2 两种取值。结果表明，Sc_t = 0.7 时显著高估混合时间；Sc_t = 0.2 时拟合较好，但顶部测量点的浓度上升速度仍快于实验观测。研究者认为这源于 k-epsilon 模型对湍流耗散率空间分布预测的不准确性，调整 Sc_t 实际上是补偿湍流量估计误差的任意手段。
CFD-based compartment model（CFD/CM）的构建流程为：首先完成 CFD 湍流模拟，记录每个 CFD 单元的三个平均速度分量、湍流动能、单元坐标和体积。相邻 CFD 单元之间的净平均流量通过界面面积与界面法向平均速度的乘积计算。湍流流量由两相邻单元的湍流动能计算，取正负号表示流入和流出以维持动量平衡。随后，根据坐标将 CFD 单元聚合为均匀的 compartment 网络，每个 compartment 在圆柱坐标系中具有相同尺寸（δr、δθ、δz），最多有 6 个相邻 compartment。相邻 compartment 之间的平均和湍流流量通过对其界面处所有同号 CFD 单元流量求和得到。混合模拟采用与 network-of-zones 模型形式相似的常微分方程组求解。
实验测得的顶部和底部探针的无量纲混合时间（n·tₘ,95）分别为 72 和 73。Network-of-zones 模型在 β = 0.1 时，顶部和底部的混合时间分别为 184 和 192，严重高估；当 β 调整至 0.6 时，混合时间分别降至 71 和 73，在混合时间数值上与实验一致。然而，即使调整 β 使混合时间吻合，network-of-zones 模型仍无法重现实验中观测到的浓度随时间波动特征。
纯 CFD 混合模拟中，Sc_t = 0.7 时顶部和底部混合时间分别为 109 和 116，高估明显；Sc_t = 0.2 时改善至 73 和 75。虽然 CFD 模拟对浓度演化的再现优于 network-of-zones 模型，但顶部探针处的浓度上升速度仍快于实验观测，这与 k-epsilon 模型对湍流粘度的预测偏差有关。
CFD/CM 模型测试了四种 compartment 数量：n_zones = 4036（m = 28, n = 6）、9216（m = 36, n = 8）、12 960（m = 40, n = 9）和 17 600（m = 44, n = 10）。结果表明，当 compartment 数量较少（4036）时，混合时间被略微低估（顶部和底部均为 56）；当 compartment 数量超过约 13 000 时，混合时间预测良好（12 960 时顶部 69、底部 70；17 600 时顶部 67、底部 68），与实验值接近。更重要的是，当 compartment 数量大于约 10 000 时，CFD/CM 模型能够较好地再现实验中观测到的浓度随时间演化特征，其一致性甚至优于纯 CFD 模拟。
三种方法在混合预测上的表现揭示了各自的特点。Network-of-zones 模型计算极快，但即便调整参数 β 使混合时间吻合，也无法捕捉浓度波动的动态特征，说明其对流场复杂性的简化过度。纯 CFD 模拟虽然能再现浓度演化的大致趋势，但需调整湍流施密特数 Sc_t 才能获得合理拟合，且不同工况下 Sc_t 的“正确”取值并不固定，这是使用 k-epsilon 模型模拟混合过程时的一个突出问题。此外，CFD 模拟计算量大，非稳态混合模拟可能需要数小时甚至数天。
CFD/CM 模型则表现出显著优势：其计算结构与 network-of-zones 模型相同，混合模拟仅需几秒钟即可完成；同时，由于 compartment 间流量来自 CFD 流动模拟结果，能够更准确地反映搅拌釜内流动的非均匀性。该模型在无需任何可调参数（如 β 或 Sc_t）的情况下，就能以较好的精度预测混合过程中的浓度空间分布。不过，该模型仍在一定程度上低估了顶部测量点的浓度最大值，即使 compartment 数量增加后该低估仍然存在。研究者认为这可能与实验注入条件的定义有关——实验中注入羽流的形状和体积难以精确复现，探针的实际测量体积也存在不确定性。若需进一步改善，可采用 PLIF 等实验手段获取更精确的注入羽流信息。
本研究成功开发了一种基于 CFD 的 compartment model，将 CFD 模拟在流体动力学描述上的精度与 network-of-zones 模型的简洁性和计算速度相结合。该模型直接从 CFD 求解的平均速度场和湍流动能场计算 compartment 间的平均流量和湍流流量，无需任何经验可调参数。通过与惰性示踪剂混合实验的对比，验证了该模型在预测混合时间及浓度空间分布演化方面的良好准确性，其表现优于需调整参数的纯 CFD 模拟和经典 network-of-zones 模型。
CFD/CM 模型的科学价值在于提供了一种准确且高效的混合模拟框架，克服了纯 CFD 计算量大和 network-of-zones 模型精度不足的局限。其应用价值在于：由于模型结构简单，可以方便地耦合反应项，包括复杂的代谢模型，从而用于预测工业规模生物反应器中的浓度梯度分布，并可为研究生物反应器放大过程中微生物经历的浓度波动提供有力工具。研究者还指出，CFD/CM 模型可与随机方法结合，描述微生物在混合过程中的运动轨迹及经历的浓度波动，这有助于深入理解大尺度生物反应器中经常观察到的代谢或生理变化机制。
该模型的主要不足在于浓度最大值的低估，但其对动力学应用的影响取决于生物系统对浓度梯度的敏感程度。总体而言，CFD-based compartment model 为生物反应器中的混合与反应耦合模拟提供了一个具有良好应用前景的折中方案。
本文的核心亮点可归纳为以下三点。首先，提出了一种新的 CFD-based compartment model，其 compartment 间流量直接由 CFD 速度场和湍流动能场计算，无需任何经验参数调整，这是相对于现有方法的重要进展。其次，通过与 PIV 测量数据、示踪剂实验数据以及另两种模拟方法（network-of-zones 和纯 CFD 混合模拟）的系统对比，充分验证了该模型的准确性优势。第三，该模型在计算效率与精度之间取得了良好平衡，既避免了纯 CFD 的高计算成本，又克服了传统 compartment model 对流场复杂性描述不足的问题，为工业规模生物反应器的混合与反应耦合模拟提供了实用工具。