本文档是一篇发表于2022年8月的学术综述文章，刊登于期刊 *nanophotonics*，题为《inverse design of photonic and phononic topological insulators: a review》。作者包括陈亚锋、蓝志豪、苏众庆和朱杰。文章的核心主题是对“逆向设计”（inverse design）方法在光子及声子拓扑绝缘体（topological insulators）领域的最新发展和成就进行全面回顾与总结。

作者及发表信息 本综述文章的主要作者包括第一作者陈亚锋（来自湖南大学及香港理工大学），通讯作者蓝志豪（伦敦大学学院）、苏众庆（香港理工大学）和朱杰（同济大学）。文章于2022年5月29日收到，8月11日被接受，并于同年8月22日在线发表于期刊 nanophotonics 第11卷第19期。这篇综述旨在为读者提供一个关于这一新兴交叉领域的系统概览。

文章主题与背景介绍 文章的核心领域是结合了两个前沿研究方向：光子/声子拓扑绝缘体（Photonic and Phononic Topological Insulators）和逆向设计（Inverse Design）。拓扑绝缘体最初在凝聚态物理中被发现，其核心特征是存在受拓扑保护的边界态（edge states），这些状态对背向散射免疫，并能抵抗杂质和缺陷的干扰。这一概念后来被成功扩展到光子和声子系统中，涌现出基于量子霍尔效应、量子自旋霍尔效应和量子能谷霍尔效应等多种物理机制的拓扑绝缘体。近年来，高阶拓扑绝缘体（high-order topological insulators）的概念又被提出，其超越了传统的体边对应关系，支持更丰富的边界态（如角态）。

另一方面，逆向设计是一种算法驱动的优化策略，它根据目标性能指标来反向寻找最优的材料或结构布局。常用的逆向设计方法包括基于梯度的方法（如拓扑优化、伴随法）、进化算法（如遗传算法、粒子群算法）以及深度学习方法。这些方法在光子晶体、超材料等设计中已展现出超越传统“试错法”的强大能力。

然而，传统的拓扑绝缘体设计多依赖物理直觉和“试错法”，这可能导致其性能受限，例如拓扑边界态的工作带宽窄、角态的品质因数低等。因此，将先进的逆向设计技术与拓扑绝缘体设计相结合，以突破性能瓶颈、实现前所未有的功能，成为了一个极具潜力的新兴研究方向。本综述正是为了总结和梳理这一交叉领域的最新进展。

综述的主要观点

1. 应用于遵循传统体边对应关系的拓扑绝缘体的逆向设计 文章首先回顾了针对遵循传统体边对应关系的拓扑绝缘体的逆向设计工作，主要集中在一维和二维系统。

• 一维系统：该部分主要聚焦于深度学习在其中的应用。一维光子拓扑绝缘体的拓扑性质通常由Zak相位刻画。研究人员（如Long等人）构建了“串联网络”来解决逆向设计中的“一对多”难题。该网络包含一个逆向设计网络和一个预训练的正向预测网络，通过最小化目标与预测的标签向量之间的损失来进行训练。这种深度学习方法能够成功设计出满足特定Zak相位目标的一维光子晶体。然而，在一维声子拓扑绝缘体的逆向设计方面尚未见报道。
• 二维系统：二维系统又分为基于量子自旋霍尔效应和量子能谷霍尔效应的拓扑绝缘体。
  • 基于量子自旋霍尔效应的拓扑绝缘体：传统的物理方法设计步骤固定，难以获得宽带的边界态。多种逆向设计策略被开发出来以拓宽工作带宽。
    • 基于整体传输特性的优化：Christiansen等人提出了一种拓扑优化框架，通过设计波导中不同端口的传输特性，直接合成出具有拓扑边界态的光学或声学结构。这种方法概念直接，但计算资源消耗大。
    • 基于本征模式控制的优化：更高效的策略是直接优化构成拓扑绝缘体的“平庸”和“非平庸”单元。Chen等人开发了一种方法，通过最大化在目标频率处激发偶极模式和四极模式的局部态密度（或源发射功率），精确控制这两种模式的频率，从而设计出具有宽重叠带隙的单元。利用该方法，他们报道了相对带宽高达14%的拓扑边界态。此外，也有工作利用移动可变形组件（MMCS）方法、遗传算法或引入模态置信准则（MAC）等，在六方或四方晶格中成功实现了宽带QSH拓扑绝缘体的设计。
    • 基于机器学习的策略：He等人利用机器学习方法，通过输入目标带隙宽度和拓扑属性（平庸/非平庸），逆向预测出超表面的结构参数，实现了对QSH基拓扑超薄板的设计。
  • 基于量子能谷霍尔效应的拓扑绝缘体：传统的物理方法获得的边界态带宽通常较窄。
    • 策略优化：Du等人提出了两种逆向设计策略。第一种是最大化一对单元的第一带隙的公共宽度，并引入模式反转误差约束来诱导能带反转。但这种方法可能导致边界态本身出现能隙。因此，他们提出了第二种更直接的策略：直接最大化由两种单元构成的超晶格的边界态带宽，同样结合模式反转约束。利用第二种策略，他们设计出了边界态几乎填满整个带隙的拓扑绝缘体，相对带宽达到33.6%。后续研究将此策略扩展到光子体系，并报道了更宽的带宽（如Zhang等人报道的89.1%）。
    • 实际结构优化：Nussbaum等人利用自动微分技术，对一个实际的谷拓扑光子平板波导进行了优化，通过两步优化（先优化构成波导的光子晶体带隙，再优化界面附近的孔结构），将拓扑边界态的归一化带宽从7.5%提升至16.2%。

2. 应用于高阶拓扑绝缘体的逆向设计 该部分回顾了逆向设计在二维高阶（主要是二阶）拓扑绝缘体中的应用。由于高阶拓扑绝缘体的特性与晶格对称性密切相关，文章按对称性分类进行阐述。

• C4v对称晶格：早期基于SSH模型的二阶拓扑绝缘体带隙窄，角态局域性弱。Chen等人通过拓扑优化方法，设计了一系列具有C4v对称性、并具有从一阶到十九阶奇数阶带隙的光子晶体。通过选择不同的原胞，可以构建出平庸和非平庸区域，并在其角落观测到高度局域的角态，其品质因数显著高于基于SSH模型的设计。此外，他们还利用逆向设计，首次实现了支持双偏振（TM和TE模式）角态的二阶拓扑绝缘体，以及支持多频带角态的二阶拓扑绝缘体，后者为实现多频带拓扑集成光学器件提供了可能。
• C3对称晶格：基于能谷光子/声子晶体，当体带隙被扩大到足以打开边界态带隙时，可以出现角态。Chen等人通过拓扑优化最大化C3对称光子晶体的第一带隙，然后构造其空间反演对称伙伴，从而在由这两种晶体构成的异质结构角落观测到高度局域的对称和反对称角态。类似的方法也被成功应用于声子晶体和包含旋磁材料的光子晶体设计中。
• C6v对称晶格：研究发现，通过进一步扩大基于量子自旋霍尔效应的平庸与非平庸光子/声子晶体之间的重叠带隙，可以使边界态打开带隙，从而在角落形成角态，实现二阶拓扑绝缘体。Chen等人利用拓扑优化策略，通过控制偶极模式和四极模式的激发频率，设计出了具有超宽重叠带隙（相对尺寸达36.14%）的声子晶体对，观察到了带隙中的边界态以及高度局域的角态。在光子体系中，他们设计出了重叠带隙达29.3%的结构，观察到了几乎平坦的边界态带和局域的角态，并演示了通过编程多个此类结构实现的高性能拓扑边界态和角态路由器。

3. 总结与展望 在总结部分，文章指出，逆向设计技术的应用已显著提升了拓扑绝缘体的性能（如带宽、品质因数），并实现了一些传统方法难以达到的新功能（如双偏振、多频带角态）。然而，这个交叉领域仍处于起步阶段，作者展望了未来的多个发展方向：

• 三维拓扑绝缘体的逆向设计：目前工作局限于低维系统，三维体系具有更丰富的拓扑相和实用价值，其逆向设计尚待探索。
• 深度学习在拓扑绝缘体设计中的应用：深度学习在此领域的应用仍处于早期，将其应用于高性能二维和三维拓扑绝缘体设计是一个诱人的方向。
• 基于新物理机制的拓扑绝缘体逆向设计：针对非厄米、非线性、Floquet、安德森拓扑绝缘体等新体系，利用逆向设计优化其性能。
• 利用逆向设计发现新的拓扑物相：逆向设计（包括深度学习）不仅可用于性能优化，未来可能帮助在光子/声子体系中实现从未探索过的新的拓扑物相。
• 支持多频带拓扑态的逆向设计：设计支持多频带拓扑态（如多频带高阶态）的拓扑绝缘体，以满足多频带应用需求。
• 新型拓扑器件的逆向设计：基于逆向设计的高性能拓扑绝缘体，来设计新型拓扑器件，如腔体、电路和激光器等。

文章的意义与价值 这篇综述文章具有重要的学术价值。它首次系统性地梳理和总结了“逆向设计”与“光子/声子拓扑绝缘体”这两个前沿领域的交叉研究成果，为相关领域的研究人员提供了一个清晰、全面的知识图谱。文章不仅回顾了已取得的成就，更重要的是指出了当前研究的局限性和未来富有潜力的发展方向，为后续研究提供了重要的路线图指引。通过展示逆向设计在突破拓扑绝缘体性能瓶颈、实现新功能方面的强大能力，本文有力地论证了这一交叉研究领域的巨大科学意义和应用前景，有望推动拓扑光子学、拓扑声学向更高性能、更复杂功能、更实际应用的方向加速发展。