该文档是一篇发表于IEEE期刊上的原创性研究论文，属于类型a。

新型电磁-热协同仿真方法：基于分治策略的物理信息神经网络框架

在当今电子设备不断向小型化、高复杂度、高功率密度发展的背景下，电磁（Electromagnetic, EM）性能与热管理之间的相互作用已成为影响系统可靠性的关键因素。传统基于有限元（Finite Element Method, FEM）等数值方法的单物理场仿真，由于忽略了电磁损耗引发的热效应，往往导致设计偏差甚至失效。因此，实现高精度、高效率的电磁-热协同仿真（EM-thermal cosimulation）对于优化设计和确保可靠性至关重要。然而，传统方法依赖于精细的网格划分，在处理复杂、多材料的异质介质时，会产生庞大的矩阵系统，导致计算时间和内存消耗巨大，限制了其在工程实际中的应用。

针对这一挑战，来自西安电子科技大学雷达探测与感知全国重点实验室的Jia Zheng Lang、Wu Bian（IEEE高级会员）、Liu Ying（IEEE会士）以及Zhang Huan Huan（IEEE高级会员）提出了一种创新的解决方案。他们的研究成果以《Electromagnetic-Thermal Cosimulation via Divide-and-Conquer PINNs》为题，于2025年8月4日在线发表于《IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters》期刊（第24卷第10期，2025年10月出版）。该研究旨在利用深度学习的强大能力，突破传统数值仿真的瓶颈。

研究的核心思想是建立一个完全无需网格的电磁-热协同仿真框架。 研究者们采用了物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）。PINNs是一种将物理定律（通常以偏微分方程形式表示）直接嵌入神经网络损失函数的深度学习模型，因此无需对几何结构进行网格划分，也无需求解大型稀疏矩阵方程，从而有望大幅提升仿真效率。然而，将PINNs应用于多物理场、特别是包含多种高属性对比度材料的复杂异质介质时，面临着“损失失衡”等挑战，导致模型难以收敛或精度不足。

为此，本研究提出了两项主要贡献：1）建立了一个由两个耦合PINNs组成的完全无网格电磁-热协同仿真框架；2）提出了一种新颖的“分而治之”（divide-and-conquer）策略，专门用于处理异质介质中的复杂多材料区域，显著提升了PINNs在此类问题中的模拟精度。

研究方法的详细工作流程 可以清晰地分为框架构建和分治策略实施两大部分。

首先，是电磁-热协同仿真PINNs框架的构建。 该框架包含两个独立的PINN模型：电磁PINN和热PINN。它们均采用全连接神经网络结构，输入是计算域内采样点的二维笛卡尔坐标。

电磁PINN的任务是求解亥姆霍兹方程（Helmholtz equation），以预测计算域内的电场分布。其输出是电场强度的实部和虚部。为确保解满足物理规律，电磁PINN的损失函数由三部分残差构成：1）内部点残差：基于亥姆霍兹方程（公式1, 2），确保网络在计算域内部满足电磁场控制方程；2）边界条件残差：包括理想电导体（Perfect Electric Conductor, PEC）边界上的狄利克雷（Dirichlet）边界条件（公式3），以及激励源边界上的源条件（公式4）。这些损失项的计算基于在计算域内部、PEC边界和激励源边界上均匀采样的点集。最终的电磁损失函数(L_{em})（公式5）是上述所有残差的均方误差（Mean Square Error, MSE）加权和。网络通过迭代训练（例如使用Adam优化器）最小化该损失函数，直至达到预设的最大训练轮数，从而获得满足物理约束的电场解。

热PINN的任务是求解稳态热传导方程，以预测温度分布。其输入同样是坐标，输出是温度值。热PINN的损失函数也包含多种残差：1）内部点残差：基于稳态热传导方程（公式6），其中热源项 (q) 是关键耦合项；2）边界条件残差：可以灵活施加多种热边界条件，包括固定温度的狄利克雷条件（公式7）、给定热通量的诺伊曼（Neumann）条件（公式8）、对流条件（公式9）和辐射条件（公式10）。热损失函数(L_t)（公式11）是这些条件对应残差的MSE总和。

两个PINN之间的耦合是实现协同仿真的关键。 工作流程如图1所示：首先，训练好的电磁PINN预测出整个计算域的电场分布 (E_z)。接着，利用该电场计算耗散功率，这包括传导损耗 (p_c = \sigma|E_z|^2)（公式12）和介质损耗 (p_d = \omega \epsilon_0 \epsilon_r”|E_z|^2)（公式13）。两者的和即为热传导方程中的体积热源 (q = p_c + p_d)（公式14）。最后，将这个计算得到的热源项输入到热PINN中，驱动其进行训练和预测，从而得到温度分布。这样，电磁场求解为热分析提供了输入，实现了物理场的单向耦合。

其次，是针对多材料异质介质挑战的“分而治之”策略。 这是本研究的创新核心。该策略分为“分”（Divide）和“治”（Conquer）两个阶段，其示意如图2所示。

在“分”的阶段，根据材料属性（如介电常数、热导率）的差异，将整个计算域划分成多个子区域。每个子区域配备一个专用的PINN子网络。例如，在一个包含两种不同材料的模型中，电磁仿真可能需要三个子网络（两种材料区域和周围空气区域），热仿真则需要两个子网络（对应两种材料区域）。这种划分避免了单一网络因同时学习属性迥异的物理场而导致的损失函数值域不平衡问题。

更重要的是，除了要求每个子网络满足各自区域内的控制方程和边界条件外，还必须强制施加在材料交界面上的连续性条件。对于电磁场，这要求电场切向分量连续（公式15）；对于热场，则要求温度和热通量的法向分量连续（公式16）。在训练过程中，这些连续性条件被转化为额外的残差项，分别加入到电磁损失函数 (L_{em}) 和热损失函数 (L_t) 中。计算这些交界残差时，需要从相邻材料子网络获取最新的物理场预测值，从而实现了子网络之间的信息传递和物理约束。

在“治”的阶段，训练过程采用两阶段优化策略以兼顾效率和精度。第一阶段：为每个材料子域分配独立的Adam优化器，并行地更新各自子网络的参数。Adam作为一阶优化器，能够快速实现初步收敛。第二阶段：将所有子网络的损失汇总，使用一个单一的L-BFGS优化器进行全局反向传播，统一更新所有子网络的参数。L-BFGS作为拟牛顿法（二阶优化器），能够在训练后期进行精细调优，获得更精确的解。这种结合了Adam快速启动和L-BFGS精确收尾的策略，是本方法高效训练的关键。

为了验证所提出方法的有效性，研究团队设计并进行了数值实验。 实验对象是一个二维金属腔体模型，腔内放置了两块具有不同电磁属性和热属性的介质样品（图3）。电磁仿真覆盖整个腔体，而热仿真仅针对两块介质样品进行。介质样品表面施加了对流边界条件。研究设置了五个子网络来实施分治策略：电磁PINN使用三个子网络，热PINN使用两个子网络。计算域内通过均匀采样生成了约22,331个训练点。作为对比基准，研究同时使用了商业软件COMSOL（基于FEM）进行仿真，其生成了46,075个三角形单元进行网格离散。

在训练配置上，电磁仿真使用Adam优化器训练1000轮后，再用L-BFGS微调10轮；热仿真则使用Adam训练2000轮，再用L-BFGS微调10轮。最终，所提出的PINNs框架在907秒内完成了训练。

实验取得了显著的结果。 首先，在定性对比上，图4显示，由本方法预测的腔内电场幅度分布和介质样品内的温度分布，与COMSOL的参考解高度一致，直观证明了方法的准确性。

其次，在定量精度验证上，研究沿着两块介质样品的交界面选取了一系列观测点。图5绘制了这些点上的电场幅度和温度值。对比显示，使用单一PINN（未采用分治策略）的方法完全无法给出准确结果，其预测曲线严重偏离参考解。而采用了分治策略的本方法，其预测曲线与COMSOL结果几乎完全重合。这一对比强烈凸显了分治策略在处理多材料异质介质问题时的必要性和卓越效果。没有这一策略，PINN的精度将无法满足要求。

最后，在计算效率的量化对比上，结果更为惊人（表I）。在相同的硬件平台上（20核Intel i7处理器，NVIDIA RTX 3060 GPU），本方法完成一次电磁-热协同仿真仅需0.073秒，而COMSOL需要11秒，速度提升了约150倍。在内存占用方面，本方法的峰值内存使用量为82.2 MB，而COMSOL高达2469.5 MB，本方法仅消耗了COMSOL所需内存的约1/30。与此同时，本方法在精度上并未妥协：与COMSOL解相比，其电磁场和温度场的相对误差分别仅为2.52% 和 1.29%，证明了其在追求极高效率的同时，保持了高精度预测的能力。

本研究得出了明确的结论： 成功提出并验证了一种集成了分治策略的PINN电磁-热协同仿真框架。该框架的核心价值在于，它有效地解决了多材料、高属性对比度异质介质区域的仿真难题，实现了对多物理场相互作用的精确建模。数值实验充分验证了该框架相较于传统FEM求解器在计算效率上的压倒性优势，在计算速度和内存利用率方面均有数量级的提升。此外，其无网格特性从根本上规避了复杂几何结构网格划分带来的挑战，为自动化仿真提供了便利。

当然，本研究目前的工作集中在二维稳态问题，这为其实际工程应用的广度带来了一定限制。为了将这一框架拓展至更广泛的工程场景，作者在文中展望了未来的研究方向，包括将方法系统性地扩展到三维空间问题、瞬态（时域）分析以及非线性材料建模等领域。这些扩展将使该方法能够应对诸如三维集成电路封装散热、高功率器件瞬态热冲击等更为复杂的现实问题。

本研究的亮点和创新性总结如下： 1. 方法论的创新性：首次提出将“分而治之”策略与PINNs相结合，专门用于解决多物理场仿真中异质介质带来的挑战。这不仅仅是PINNs的应用，更是对其在复杂场景下能力的有效增强和范式拓展。 2. 效率的突破性：实现了相对于成熟商业FEM软件150倍的速度提升和30倍的内存节省，且不牺牲精度（相对误差%）。这一量级的效率提升对于需要大量迭代优化的工程设计流程具有革命性意义。 3. 框架的完整性：构建了一个完整的、完全无网格的电磁-热耦合仿真工作流程，明确了从电磁场求解、热源计算到温度场预测的耦合路径，并提供了可复现的网络架构、损失函数和训练策略细节。 4. 问题的针对性：精准地瞄准了传统数值方法和早期PINN应用在多材料、多物理场仿真中的痛点，即损失失衡和界面连续性处理，并给出了优雅的解决方案。 5. 验证的严谨性：通过与传统权威软件COMSOL的全面对比（包括全场分布图、界面曲线对比、定量误差和资源消耗统计），有力地证明了所提方法的优越性和可靠性。

这项研究为计算电磁学和多物理场仿真领域带来了新的思路，展示了物理信息机器学习与传统工程计算深度融合的巨大潜力。它不仅提供了一种高效的工具，更启示了一种应对复杂系统建模问题的新范式——通过智能的领域分解和物理约束嵌入，让神经网络更稳健、更可靠地服务于科学发现与工程设计。