本文介绍了一项关于同步直序扩频（DS-CDMA）信号源数目估计的研究。该研究由来自西北工业大学航海学院的王义成、沈晓红（通讯作者）和马一航共同完成，论文发表于2022年IEEE信号处理、通信与计算国际会议（ICSPCC 2022），标题为《具有相同到达方向的同步DS-CDMA信号的源数目估计》。

一、 研究背景与目的

本研究的学术领域属于阵列信号处理，具体聚焦于盲源分离、波达方向（Direction of Arrival, DOA）估计等应用中的关键前提步骤——信源数目估计。在许多经典的阵列信号处理方法（如MUSIC、ESPRIT算法）以及盲源分离方法（如Fast-ICA、JADE算法）中，通常需要预先知道或准确估计空间中信源的数量，才能正确划分信号子空间与噪声子空间，进而实现后续的参数估计或信号分离。在CDMA系统参数估计中，伪码周期和序列的估计也往往需要信源数目的先验信息。因此，一个鲁棒的信源数目估计方法是许多高级信号处理算法的关键第一步。

现有的信源数目估计方法，如基于信息论的Akaike信息论准则（AIC）和最小描述长度准则（MDL），在色噪声背景下性能会下降甚至失效。盖尔圆盘估计器（Gerschgorin Disk Estimator, GDE）等方法虽然能处理色噪声，但在低信噪比（SNR）下性能不佳。相邻特征值之比（Ratio of Adjacent Eigenvalues, RAE）方法在低信噪比时同样表现较差。此外，以往的研究大多基于一个关键假设：阵列的导向矩阵是满秩的。这要求不同信源的波达方向不能相同或过于接近。然而，在实际应用中，尤其是在多用户DS-CDMA系统中，用户信号可能来自非常接近甚至相同的方向。在这种情况下，导向矩阵将出现秩亏缺（rank deficiency），导致基于特征值分解的经典估计方法性能严重恶化甚至完全失效（例如，所有信号方向相同时，经典方法只能估计出一个信源）。

因此，本研究旨在解决一个特定而棘手的问题：在同步DS-CDMA系统中，当多个用户的信号具有相同或极其接近的波达方向时，如何实现准确的信源数目估计。 研究的目标是提出一种新方法，能够克服导向矩阵秩亏缺带来的限制，在低信噪比、色噪声环境下稳定工作，并且即使在阵元数目少于信源数目（欠定条件）下也能有效估计。

二、 研究方法与详细流程

本研究提出了一种名为“分段重构源数目估计方法”的新算法，其核心思想是利用DS-CDMA信号中不同用户的扩频码之间的不相关性，在码域上对接收信号进行重构，从而“构造”出一个新的、满秩的等效导向矩阵，进而可以应用经典的估计准则。具体工作流程包含以下几个关键步骤：

第一步：信号模型建立与问题阐述。 研究假设了一个采用二进制相移键控（BPSK）调制的多用户同步短码DS-CDMA系统。信号由均匀线性阵列（ULA）接收。当所有K个信源来自完全相同的方向β时，传统的阵列接收信号模型可以简化为一个严重的形式。此时，导向矩阵a(θ)退化为一个所有列都相同的向量，其秩为1。对这样的观测信号协方差矩阵进行特征值分解，理论上只能得到一个大的特征值（对应信号）和多个小的特征值（对应噪声），从而导致任何经典方法估计出的信源数目都是1，与实际数目K不符。这是本研究要解决的核心难题。

第二步：分段重构观测矩阵。 为了解决导向矩阵秩亏缺的问题，研究者从单通道信号转换为多通道信号的思路中获得启发。算法对每个阵元接收到的单路时域信号进行分段处理。具体而言，已知符号周期宽度后，将每个阵元的采样观测数据按符号周期长度L0进行分段，假设共截取P段（要求P > K，即段数大于信源数）。然后将这P段数据重新排列，构成一个新的P×L0维矩阵。这个过程相当于将每个阵元的一维时间序列，重构为一个二维的“虚拟多通道”数据矩阵。

从物理意义上解释，DS-CDMA信号在时域、频域和空域都是重叠的。本方法利用了扩频码之间的不相关性，在码域上实现了对不同用户信号的分离潜力。通过分段，将不同用户由于不同扩频码导致的结构差异在重构的矩阵中显现出来。

第三步：构建与平均协方差矩阵。 对第r个阵元重构后的数据矩阵X°_r，计算其样本协方差矩阵R°_r = (1/L0) * X°_r * X°_r^H。理论分析表明，重构后的等效导向矩阵A°是一个由原导向向量构成的块对角矩阵，其秩等于信源数K。同时，重构后的源信号协方差矩阵R°_s，由于其不同段（对应不同符号周期）之间的源信号不相关，其秩也等于K。因此，在没有噪声的理想情况下，重构协方差矩阵R°_r的秩为K，对其进行特征值分解将得到K个大的特征值和(P-K)个零特征值。这就成功地将原问题中秩为1的导向矩阵，转换为了一个秩为K的等效导向矩阵，从而避免了秩亏缺。

为了提高方法的鲁棒性并提升信噪比，研究者进一步对M个阵元各自计算出的重构协方差矩阵进行平均，得到最终的协方差矩阵估计：R°x = (1/M) * Σ{r=1}^{M} R°_r。由于不同阵元接收的源信号相关性相同，而噪声是随机的，这种空间平均类似于时域平均，能够有效抑制噪声，提高信噪比。阵元数M越多，信噪比改善越明显。

第四步：特征值分解与新的判决准则。 对平均后的协方差矩阵R°_x进行特征值分解，并将得到的P个特征值按降序排列：λ1 > λ2 > … > λP。在理想情况下，前K个较大的特征值对应信号子空间，后(P-K)个较小的特征值对应噪声子空间。

为了更准确地在实际噪声环境中区分类别，本研究没有直接使用传统的AIC、MDL或GDE准则，而是提出了一种新的判决准则：相邻特征值比值的导数（Derivative of Ratio of Adjacent Eigenvalues, DRAE）。传统的RAE方法是计算相邻特征值的比值（λi / λ{i+1}），并寻找峰值位置来估计信源数。但在低信噪比下，信号与噪声特征值差异变小，RAE的峰值不明显。DRAE准则计算的是相邻比值的差分或变化率：γ_i = (λi / λ{i+1}) - (λ{i+1} / λ{i+2})。这个判决函数包含了连续三个特征值的相对关系，使得判决条件更为严格，有助于在低信噪比下更清晰地突出信号与噪声子空间之间的“边缘”，从而降低误判概率。最终，信源数估计值k̂等于使得γ_i取得最大值的位置索引i。

第五步：算法总结。 整个算法的步骤可归纳为：1）根据符号周期对每个阵元的观测数据进行分段重构；2）计算每个阵元重构信号的协方差矩阵；3）对所有阵元的协方差矩阵取平均；4）对平均后的协方差矩阵进行特征值分解并降序排列；5）计算DRAE值，并将其最大值对应的序号作为信源数估计值。

三、 仿真实验结果与分析

研究者通过大量的蒙特卡洛仿真实验验证了所提方法的性能。仿真设置如下：采用5阶Gold序列作为扩频码，采样频率10kHz，载频1kHz，码片间隔0.5ms。主要进行了以下几组实验：

1. 高斯白噪声下的估计准确性： 设置空间中有4个信源，符号数为20，信噪比从-15dB变化到5dB。将提出的分段重构方法分别与AIC、MDL、RAE、GDE准则结合（记为S-AIC, S-MDL, S-RAE, S-GDE），并与新提出的S-DRAE方法以及未使用分段重构的经典方法（AIC, MDL, GDE, RAE）进行对比。结果显示，在信号方向相同的情况下，经典方法（AIC, GDE, RAE）的准确率始终为0，完全失效。而所有结合了分段重构的方法（S-*）性能均大幅提升。其中，S-AIC和S-MDL在-2dB时达到100%准确率；S-RAE在-6dB时达到100%；S-GDE在4dB时达到90%准确率；而本研究提出的S-DRAE方法在-8dB时即达到100%准确率，比信息论方法高出6dB，比S-RAE高出2dB，显著优于其他方法。

2. 空间色噪声下的估计准确性： 采用文献中的模型生成空间相关色噪声。实验结果与白噪声情况类似，S-DRAE方法在色噪声下于-6dB时达到100%准确率。S-GDE方法在色噪声下的性能反而有所提升。分析认为，本文方法主要受各段内噪声影响，阵元间的噪声相关性通过协方差矩阵平均得到了抑制，使得噪声协方差矩阵仍可近似为对角阵，因此方法对色噪声具有鲁棒性。

3. 截取段数对方法的影响： 固定信噪比为-2dB，改变分段数P。结果表明，当分段数小于信源数（此处为4）时，所有方法均失效（准确率为0），因为至少需要一个噪声特征值才能实现估计。随着分段数增加，除S-GDE外，其他方法的准确率均上升。S-RAE需要9段达到100%，S-AIC/S-MDL需要12段，而S-DRAE仅需8段即可达到100%准确率，说明该方法所需的数据量（快拍数）更少。

4. 信源间角度间隔对方法的影响： 固定信噪比为-8dB，设置两个信源，其中一个方向为0度，另一个从0度变化到10度。结果显示，随着角度间隔减小，经典AIC、MDL、RAE方法的准确率逐渐下降，当角度为0（即完全同向）时，这些方法完全失效。而本文提出的分段重构方法（包括S-DRAE等）的准确率始终保持在100%，完全不受波达方向是否接近的影响，成功打破了传统方法对信源方向间隔的限制。

5. 信源数目对方法的影响（欠定条件）： 为了验证方法在阵元数少于信源数（欠定）下的性能，实验仅使用第一个阵元的数据（等效于单通道）。通过改变信源数目，测试达到100%准确率所需的信噪比。结果显示，该方法仅利用单通道数据就能实现多信源数目估计。随着信源数从1增加到6，所需信噪比从-10dB逐渐增加到3dB。理论上，该方法能估计的最大信源数为(P-2)。这表明，在阵元数量受限的应用场景下，本方法具有显著优势。

四、 研究结论与价值

本研究成功提出并验证了一种用于估计具有相同到达方向的同步DS-CDMA信号源数目的分段重构方法。主要结论如下： 1. 方法有效性：该方法通过信号分段重构，巧妙地利用了扩频码的不相关性，重构了观测矩阵，从根本上避免了因波达方向相同导致的导向矩阵秩亏缺问题。 2. 性能优越性：结合新提出的DRAE判决准则，该方法在高斯白噪声和空间色噪声背景下均表现出色，尤其在低信噪比环境下性能显著优于传统方法及结合分段重构的其他准则。 3. 应用灵活性：该方法对信源间的角度间隔不敏感，即使波达方向完全一致也能准确估计。同时，它能够在欠定条件下工作，仅利用单通道数据即可稳定估计信源数目，这对于阵列元素数量有限的场景（如某些嵌入式系统或特定传感器网络）具有重要的应用价值。

五、 研究亮点

本研究的突出创新点和亮点在于： 1. 问题针对性：专门解决了现有信源数目估计方法在DS-CDMA系统用户方向非常接近或相同时性能崩溃这一特定而实际的难题。 2. 核心创新：提出了“分段重构”的核心思想，将码域分集转化为可用于特征值分解的矩阵秩，构思巧妙。 3. 算法增强：提出了DRAE这一新的判决准则，通过利用相邻特征值比值的差分信息，增强了在低信噪比下区分类别的能力。 4. 强大鲁棒性：方法在色噪声、低信噪比、欠定条件下均表现出稳定的估计性能，综合鲁棒性强。 5. 理论分析扎实：对重构后矩阵的秩进行了详细的推导和证明，为方法的有效性奠定了坚实的理论基础。

这项研究为同步DS-CDMA系统在苛刻条件（同向、低信噪比、少阵元）下的信源数目估计提供了一种有效且实用的解决方案，在无线通信、雷达、声呐等阵列信号处理领域具有潜在的应用前景。