本次研究的作者为来自阿肯色大学小石城分校系统工程系的y. y. chen与g. l. huang，以及来自普渡大学航空航天学院的c. t. sun。该研究发表于Journal of Vibration and Acoustics期刊，具体发表于2014年12月（第136卷，第6期）。

这项研究属于力学、声学与智能材料交叉领域，具体聚焦于主动弹性超材料的设计与控制。弹性超材料作为一种人工设计结构，因其能产生亚波长尺度下的带隙（即波无法传播的频率范围）而受到广泛关注，在低频振动与噪声控制方面具有巨大潜力。然而，传统的被动弹性超材料其带隙位置和宽度通常由其微结构（如局部共振器）的物理和几何参数固定，一旦制备完成便难以调节，这限制了其在应对动态变化载荷或频率环境时的应用灵活性。因此，发展能够主动调控带隙的弹性超材料，即“主动”弹性超材料，成为一个重要的研究方向。压电材料因其机电耦合特性，常被用于振动控制，其中负电容分流电路已被证明能够有效调节压电片的等效弹性模量。本研究旨在提出一种新型的主动弹性超材料，通过将负电容压电分流技术集成到超材料微结构中，实现对弹性波带隙的主动、灵活和有效的调控。研究的主要目标包括：首先，在理论层面，通过一个主动质量-质量点阵模型，论证通过调节负电容值来改变等效弹簧刚度，进而控制带隙的可行性；其次，在应用层面，将这一概念扩展到一个集成了负电容分流压电片的主动弹性超材料板中，展示其对纵波和弯曲波带隙的调控能力。

研究的详细工作流程包含两个主要部分：理论模型建立与数值仿真验证。研究流程首先是基于负电容压电分流原理建立理论基础。文中详细阐述了负电容电路的原理，给出了其等效电容的计算公式（(C_n = -\frac{R_1}{R_2}C)），并展示了当压电片并联负电容 ( -C_n ) 时，其等效杨氏模量 ( E_p^{su} ) 会随负电容比 ( \kappa = -(C_n/Cp^T) ) 发生显著变化。图3清晰地展示了PZT-5H材料的归一化有效模量随负电容比 (\kappa) 变化的曲线，其中 (\kappa) 接近 -1.0 时有效模量趋近于零，而接近 (-(1-k{31}^2)) 时会急剧趋于正或负无穷。这种可调的、甚至可变为负值的等效刚度，为实现带隙的主动调控提供了核心物理机制。

在第一部分理论模型中，研究采用了一个主动质量-质量点阵系统。该系统的单元由外部质量 ( m_1 )、内部质量 ( m_2 ) 以及连接两者的弹簧 ( k_2(\kappa) ) 构成，其中 ( k_2(\kappa) ) 代表了受负电容调控的压电片等效刚度，而单元间的相互作用由弹簧 ( k_1 ) 表示。研究推导了该系统的运动方程和色散方程（公式9），通过求解色散关系，可以得到频率 (\omega) 与波数 ( ql ) 之间的关系图（带结构图）。研究对象是虚拟的离散点阵模型，其参数设定为：( m_2/m_1 = 9 )，( k_1 = 10^8 \text{N/m} )，( k2 ) 基于PZT-5H压电片在纵向变形下的属性计算得出（材料常数如 ( d{31} )，( \epsilon_{33} )，( E_p ) 均给定）。研究过程是改变负电容比 (\kappa) 的值，计算出相应的 ( k_2(\kappa) )，然后求解色散方程，绘制并比较不同 (\kappa) 值下的带结构图和带隙变化。

在第二部分应用验证中，研究将一个更实际的“悬臂梁-质量块”周期性微结构作为研究对象，构建了一个主动弹性超材料板模型。如图8所示，在薄钢板（不锈钢）上周期性布置附着有负电容分流压电片（PZT-5H）的悬臂梁-质量块谐振器。由于该复合梁结构的复杂性，研究采用商业有限元软件ANSYS v13.0进行数值模拟。建模时，钢板和具有等效模量（基于不同(\kappa)值计算得出）的压电片均使用三维实体单元SOLID45进行离散，并手动控制网格以处理复杂的内部几何。对于弯曲波和纵波，分别推导了复合梁的有效弯曲刚度 ( D_b ) 和纵向刚度 ( D_l ) 公式（公式12和13），这些刚度包含了随(\kappa)变化的压电片等效模量 ( E_p^{su} )。通过有限元法计算该周期性结构的带结构，研究对象是特定几何尺寸（如钢板厚度、压电片尺寸、单元间距等）的模型。研究程序是：针对一系列不同的负电容比 (\kappa) 值，计算出相应的有效模量并赋予有限元模型中的压电材料属性，然后进行特征频率分析，最终获得该超材料板在面内纵波和面外弯曲波传播下的带结构图。研究特别关注第一个带隙（即由局部共振引发的最低频率带隙）的位置和宽度如何随 (\kappa) 变化。

本研究取得了以下主要结果。在主动质量-质量点阵系统部分，图5展示了不同负电容比 (\kappa) 下的带隙变化。当 (\kappa = 0)（开路）时，系统表现为传统超材料，在 (\omega_0) 到 (3.2\omega_0) 范围内存在一个带隙。当 (\kappa = -0.8) 时，带隙范围移动至 (1.8\omega_0) 到 (5.9\omega_0)。当 (\kappa = -0.84) 时，带隙显著展宽至 (3.6\omega_0) 到 (12.4\omega_0)。这表明通过选择适当的负电容值，可以将带隙从最初的 ( (\omega_0 - 3.2\omega_0) ) 主动拓宽至 ( (\omega_0 - 12.4\omega_0) )。而当 (\kappa) 趋近或等于 -1.0 时，( k_2(\kappa) ) 变为零或负值，局部共振机制消失，带隙也随之消失，系统退化为常规材料。当 (\kappa) 继续减小至 -1.5 时，弹簧刚度再次变为正值，带隙重新出现，但频率更低（(0.8\omega_0 - 2.6\omega0)）。图7总结性地展示了带隙上下边界随 (\kappa) 变化的全局趋势，清晰揭示了在 (\kappa) 接近 -1.0 和 (-(1-k{31}^2)) 时带隙可被极大调谐甚至消失的现象。为了解释其物理机制，图6给出了内外质量位移比 ( u_2/u_1 ) 的图，表明带隙的产生源于质量块间的反相位运动，而当 ( k_2 ) 为负时，两者同相运动，无法形成带隙。

在主动弹性超材料板的应用验证部分，结果同样证明了显著的带隙调控能力。对于面内纵波（图9），当 (\kappa = 0) 时，带隙位于 (\omega_0) 到 (1.18\omega_0)。当 (\kappa = -0.842)（弹簧刚度正增大）时，带隙上移至 (1.5\omega_0 - 1.7\omega_0)。当 (\kappa = -0.846) 时，带隙进一步移至 (1.98\omega_0 - 2.2\omega_0)。而当 (\kappa = -0.863)（弹簧刚度变为负值）时，带隙反而下移至 (0.61\omega_0 - 0.84\omega_0)。更令人关注的是，当 (\kappa = -0.8585) 和 (\kappa = -0.85) 时，可以实现极低频的带隙（分别为 (0.27\omega_0 - 0.73\omega_0) 和 (0.16\omega_0 - 0.7\omega_0)），且带隙宽度对 (\kappa) 值的变化非常敏感。对于面外弯曲波（图10），也观察到了类似的趋势：(\kappa = 0) 时带隙为 (\omega_0 - 1.5\omega_0)；(\kappa = -0.83) 和 (-0.842) 时带隙频率上移；而当 (\kappa = -0.898)、(-0.88) 和 (-0.8775) 时，带隙频率下移至更低的区域（如 (0.15\omega_0 - 0.19\omega_0)），尽管此时带隙宽度有所收窄。这些结果在逻辑上直接承接自理论部分：负电容通过改变压电片的等效模量，进而改变了超材料内部谐振单元（悬臂梁）的有效刚度，从而实现了对其局部共振频率（即带隙边界）的主动、连续、大幅度的调控。

本研究得出结论：通过集成负电容压电分流技术，可以成功构建一种新型的主动弹性超材料，其带隙（包括位置和宽度）能够被有效且灵活地调控。理论模型（主动质量-质量系统）清楚地展示了通过改变负电容值来调节等效弹簧刚度，从而主动控制带隙的机理。在更具实际应用前景的弹性超材料板设计中，该技术同样被证明是有效的，能够针对纵波和弯曲波实现带隙的调谐，尤其是在实现极低频带隙方面展现出巨大潜力。这项工作的科学价值在于提出并验证了一种克服传统被动弹性超材料带隙固定、带宽有限等局限性的主动控制新策略。它通过引入负电容这一额外的电学控制自由度，将智能材料与超材料概念深度结合，拓宽了超材料的设计维度。其应用价值主要体现在为未来自适应振动控制、可调声学滤波器、智能隔振/降噪结构等提供了新的设计思路和技术路径，使得超材料能够适应动态变化的工况和环境。

本研究的亮点突出体现在以下几个方面：第一，创新性地提出了将负电容压电分流技术应用于弹性超材料以实现带隙主动调控的完整概念，建立了从理论模型到实际结构设计的桥梁。第二，揭示了通过电气参数（负电容）连续、大幅度调节带隙的物理机制，并清晰地展示了带隙随负电容比变化的全局规律（如图7所示），具有很强的理论指导意义。第三，成功地将该概念应用于二维板状结构，并分别验证了对纵波和弯曲波带隙的调控能力，证明了其在更接近工程实际结构中的可行性。第四，研究发现了在特定负电容参数下可实现极低频带隙的现象，这对于解决低频振动噪声控制这一工程难题具有重要参考价值。第五，研究流程从简化的离散模型到复杂的连续体有限元模型，层次清晰，论证充分，理论分析与数值模拟相互印证，增强了结论的可靠性。此外，文中还提及了实现高灵敏度负电容电路设计的必要性，这指明了未来实验研究的一个关键方向。

这项研究为发展下一代具有可调、自适应特性的智能超材料奠定了重要的理论基础，展示了通过外部电路对材料波动性能进行实时调控的强大能力，在基础研究和工程应用领域均具有显著意义。