本文旨在向研究同仁介绍一项发表于《International Journal of Mechanical Sciences》期刊2026年第311卷的原创性研究。该研究由大连理工大学的陈欧阳、赵传奇、刘宏（通讯作者）、张慧颖（通讯作者）、马天戈和徐胜利共同完成。论文题为“Physics-informed KAN for turbulent flow prediction and CFD integration”，主要探讨了在计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）领域，如何利用一种融合物理信息的创新神经网络模型来高效、准确地预测湍流流场，并加速传统CFD求解器的收敛过程。

学术背景 本研究隶属于流体力学与人工智能交叉学科，具体聚焦于湍流模拟与数据驱动建模。在航空航天、能源动力及交通等工程领域，CFD已成为模拟湍流不可或缺的工具。然而，求解雷诺平均Navier-Stokes（Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS）方程通常计算成本高昂、耗时巨大，尤其对于复杂几何外形，需要海量网格和强大的计算资源，这严重制约了设计优化周期。尽管基于深度学习的数据驱动方法在流场预测方面取得了显著进展，能够从大量CFD数据中学习并快速预测流场，但这类纯数据模型往往缺乏物理约束，可能导致预测结果物理不一致。物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）通过将控制方程嵌入损失函数，部分解决了这一问题，但传统基于多层感知机（Multi-Layer Perceptron, MLP）的PINN参数量大、训练稳定性与可解释性有待提升。

近期，Kolmogorov-Arnold网络（KAN）作为一种新型神经网络架构被提出，其核心在于将固定的神经元激活函数替换为可学习的样条函数（如B样条），这使其在逼近高维函数时所需参数更少，且因其函数结构与偏微分方程数值解有内在联系，被认为在科学计算中具有潜力。基于此背景，本研究团队提出了一项明确的研究目标：开发一个名为“物理信息Kolmogorov-Arnold网络”（Physics-informed Kolmogorov-Arnold Networks, PI-KAN）的新型预测模型。该模型旨在有效融合物理约束、高效提取复杂几何特征，并以更少的参数实现高精度湍流流场预测，最终作为高效的代理模型（Surrogate Model）或为CFD求解器提供高质量的初始场，从而大幅加速仿真流程。

详细工作流程 本研究的工作流程系统且完整，主要包含以下几个关键步骤：

1. PI-KAN模型架构设计：这是本研究的核心创新。PI-KAN模型是一个集成了几何特征编码、物理约束和KAN预测主干的一体化框架。模型输入包括：流场网格点的坐标（x, y）、雷诺数（Re）、到阶梯壁面和障碍物边界的最短距离（d1, d2），以及由专门的编码器提取的10维几何特征（li）。输出为待预测的流场物理量：x和y方向速度分量（u, v）、压力（p）以及三个雷诺应力分量（u’u’, u’v’, v’v’）。

   • KAN预测主干：采用KAN替代传统MLP作为映射函数。具体而言，模型使用三次B样条作为可学习的激活函数，通过组合这些单变量函数来逼近输入与输出之间的复杂非线性关系。研究中对比了不同网络形状（如[15,31,31,13,6]和[15,50,50,25,6]）和不同B样条网格数（g=3,5,10）对性能的影响。
   • Kansformer几何特征编码器：为处理复杂可变的几何外形（如不同形状的障碍物），研究设计了一个基于Transformer的编码器，但其核心的MLP层被KAN层取代，故称为“Kansformer”。该编码器将几何图像分割为固定大小的图像块（Patch），经过嵌入和位置编码后，输入由多头自注意力机制和KAN层交替堆叠的模块中。通过可视化注意力图，研究确定了最优的Patch大小为16×16，以在局部细节与全局结构感知之间取得最佳平衡。编码器的最终输出（一个学习到的嵌入标记）被提取为表征几何特征的10维向量，供KAN主干使用。
   • 物理信息损失函数：为确保预测结果符合物理规律，研究者定义了融合数据损失和物理约束损失的总损失函数。数据损失采用传统的均方误差损失函数。物理损失则基于二维不可压缩流动的质量守恒方程和动量守恒方程构建，计算预测流场在这些控制方程上的残差。总损失函数为两者加权和，并采用动态权重方法来平衡两项损失在训练过程中的贡献，这被证明比固定权重更能提升训练稳定性。

2. 数据集构建与预处理：

   • 研究对象与样本量：研究以带有内置障碍物的后向台阶流动为基准算例。几何模型包含五种不同的障碍物形状（椭圆1、椭圆2、圆形、方形1、方形2），雷诺数范围在510，000至810，000之间，共计生成155个CFD模拟案例。每个案例的二维计算域网格数约为28，314。为评估模型泛化能力，进一步扩展了数据集，新增了三种不规则几何构型，共计8种构型、248个模拟案例。
   • CFD模拟设置：所有流场数据均使用商业软件Fluent生成。采用雷诺应力模型（Reynolds Stress Model, RSM）进行稳态模拟，以直接获得所需的雷诺应力分量。计算域设置了相应的入口速度、出口压力及无滑移绝热壁面边界条件，并在台阶和障碍物附近进行了网格加密。
   • 数据集划分与预处理：总数据集中，140个案例用于训练，10个用于交叉验证，5个用于独立测试（针对155案例集）。对于扩展的248案例集，224个用于训练，16个用于交叉验证，8个用于测试。所有输入特征（除已归一化的几何特征外）均被归一化到[0,1]区间，以提升训练稳定性。

3. 模型训练、测试与评估流程：

   • 训练：使用Adam优化器，在NVIDIA A100 GPU上对PI-KAN模型进行训练。通过观察训练和验证损失曲线，确定了最优的模型配置：网络形状为[15,50,50,25,6]，B样条网格数g=5。
   • 测试与评估：在独立的测试案例上评估训练好的PI-KAN模型。评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）、平均绝对相对误差（MARE）和决定系数（R²）。同时，通过对比预测流场与CFD参考流场的云图、误差分布直方图、绝对相对误差累积频率曲线以及相关性散点图，对预测精度进行定性和定量分析。
   • AI-CFD集成验证：这是本研究另一个关键流程。将PI-KAN模型预测的完整流场（速度、压力、雷诺应力）作为初始条件，导入Fluent求解器，取代传统的零初始场或均匀初始场。然后，对比观察采用PI-KAN初始场（AI+Fluent）与传统方式启动的Fluent求解器在达到相同收敛残差标准时所经历的迭代步数和计算时间。此外，还在经过自适应网格加密（网格数增至41k, 136k, 266k）的算例上验证了该集成方法的加速效果。

主要结果 研究的各项结果清晰地支撑了其核心论点。

在模型性能方面，PI-KAN展现出显著优势。首先，其参数量仅为46，500，远低于对比的MLP基准模型（548，460参数量）和此前研究者提出的PI-Trans模型。其次，训练收敛速度极快，测试损失约在20个epoch后即趋于稳定，而对比的PI-Trans模型则需要约150个epoch。训练时间也从PI-Trans的约229分钟缩短至约163分钟。损失分布的提琴图表明，PI-KAN的训练过程更稳定，波动更小。

在预测精度方面，PI-KAN在多个测试案例上均实现了高精度预测。对于包含椭圆形和方形障碍物的测试案例，所有流场变量（p, u, v）的预测值与CFD参考值的相关性系数（R²）均高于0.97，多数在0.98以上。误差分析显示，大多数网格点的绝对相对误差低于2%。误差分布直方图呈现以零为中心的对称分布，表明模型没有明显的系统性偏差。绝对相对误差的累积频率曲线（例如C80指标，即80%数据点的误差低于该值）显示，对于标准测试案例，C80值大约在0.01-0.025之间，进一步证实了模型的高精度。

在泛化能力与物理一致性验证方面，研究将PI-KAN应用于未见过的、几何形状更不规则的测试案例（扩展数据集中的Config 7和8）。预测流场云图与CFD结果吻合良好，能准确捕捉到障碍物前缘的高压区和尾迹区的回流结构。虽然由于几何复杂性增加，误差范围略有增大，但绝大多数预测误差仍集中在较低水平（C80值大致在0.015-0.048之间），且误差分布保持对称。更重要的是，通过对比使用物理损失函数和仅使用数据损失函数训练的模型，研究者计算了预测流场在质量守恒和动量守恒方程上的无量纲残差场。结果显示，采用物理损失的PI-KAN预测残差场与CFD本身的残差场模式非常接近，且幅值远小于无物理约束的模型，这从后验角度强有力地证明了PI-KAN成功嵌入了物理规律，产生了物理一致的预测结果。

在AI-CFD集成加速方面，结果令人印象深刻。当使用PI-KAN的预测作为Fluent的初始场时，求解器的收敛过程被大幅加速。以两个测试案例为例，达到相同收敛残差所需的迭代次数分别减少了2.15倍和5.81倍，计算时间分别缩短了2.19倍和6.3倍。在迭代初期（例如第75步），AI+Fluent得到的流场已非常接近最终稳态解，而传统Fluent的流场仍相差甚远。即使在经过自适应网格加密、网格数大幅增加（至41k， 136k， 266k）的算例上，这种加速效果依然显著且随着网格加密越发明显（迭代次数减少2.2至2.78倍，时间缩短2.26至2.76倍）。这表明，PI-KAN提供的初始场质量很高，能有效跳过传统迭代初期漫长的非物理调整阶段。

研究结论与价值 本研究成功提出并验证了PI-KAN模型，这是一个用于稳态湍流流场预测的高效、精确且物理一致的深度学习框架。研究得出结论：通过集成KAN的网络架构、基于Transformer的几何特征编码以及物理信息损失函数，PI-KAN能够以极少的参数量实现快速稳定的训练，并对复杂几何外形下的湍流场进行高精度预测。更重要的是，该模型不仅可作为独立的代理模型，其预测结果更能作为高质量的物理一致初始场，无缝集成到传统CFD求解器中，从而显著减少迭代次数和计算时间，为解决工程中大规模流体仿真计算成本高昂的瓶颈问题提供了一种创新且有效的混合建模思路。

本研究的科学价值在于推动了物理信息机器学习在流体力学中的应用前沿，展示了KAN网络在科学计算问题中的巨大潜力，并提出了一种融合几何编码、物理约束与高效网络架构的完整建模范式。其应用价值则直接体现在能为航空航天、能源动力等领域的复杂流动设计与优化提供强大的加速仿真工具，缩短研发周期，降低计算成本。

研究亮点 1. 方法创新性：首次将新兴的Kolmogorov-Arnold网络（KAN）与物理信息神经网络（PINN）框架相结合，并创新性地构建了“Kansformer”编码器用于复杂几何特征提取，形成了完整的PI-KAN模型。 2. 性能卓越性：在保证高预测精度（误差普遍低于2%）的同时，将模型参数量降低了一个数量级（仅4.65万），并实现了远超传统MLP-base模型的训练收敛速度与稳定性。 3. 物理一致性验证充分：不仅通过物理损失函数进行先验约束，还通过后验计算PDE残差场的方式，直观、定量地验证了模型预测结果的物理一致性，论证严谨。 4. 集成应用效果显著：深入探究了深度学习模型与CFD工业软件的协同工作模式，实证了PI-KAN作为智能初始场提供者，能在多种网格条件下（包括自适应加密网格）实质性加速CFD求解过程，加速效果随问题规模增大而提升，展示了明确的工程应用前景。 5. 系统化的分析与验证：工作流程完整，从模型设计、数据集构建、训练调优、预测精度评估、泛化能力测试到最终的CFD集成加速验证，环节完整，分析深入，为后续研究提供了优秀范例。