作者与发表信息
本文由上海交通大学自动化与智能感知学院、水下地质科学国家重点实验室的付英博、杨子文、郭毅、朱善迎、关新平，以及上海大学未来技术学院的徐亮共同完成。论文发表于 Ocean Engineering 期刊第343卷（2026年），文章编号123308，于2025年7月16日投稿，2025年10月24日被接收，2025年11月11日在线发表。通讯作者为杨子文。
研究背景与研究目的
自主水下航行器（Autonomous Underwater Vehicle, AUV）在海洋资源开发中承担着水下监视、特征测绘、污染检测和资源调查等任务，而跟踪机动目标是其中一项基础性使命。由于水下GPS信号快速衰减，AUV难以依赖传统的定位传感器（如超短基线USBL、长基线LBL等）进行精确跟踪，这些传感器还存在成本高昂和对声速误差敏感等问题。相比之下，被动纯方位传感器（如单目相机和水听器）具有低成本、低功耗和良好隐蔽性等优势，在军事和海洋应用中备受青睐。然而，方位测量具有强烈的非线性特征，且纯方位目标跟踪精度不仅取决于滤波器性能，还取决于AUV与目标之间的相对几何构型。
现有方法面临两大核心难题：其一，基于Fisher信息矩阵（FIM）或误差协方差矩阵（ECM）的轨迹优化方法假定目标运动模型已知，例如常速度或常转弯模型，无法应对未知机动目标；其二，交互多模型（IMM）算法虽然能处理多种运动模式，但严重依赖候选模型的预设，当目标运动完全未知时难以适用。近年来，高斯过程（Gaussian Process, GP）因其无限候选模型的特性和强大的函数逼近能力，在未知动态系统学习中显示出巨大潜力。然而，现有基于GP的跟踪方案依赖目标位置和速度的离线批量数据，这在水下场景中不可行。
针对上述挑战，本文提出了一种名为“GP-based Bearing-only Tracking（GBT）”的框架，旨在仅利用方位测量实现对未知机动目标的在线学习与轨迹优化，同时显式纳入实际AUV动力学模型和控制输入约束。
详细研究工作流程
本研究由两个核心模块构成：基于学习的纯方位目标跟踪模块和轨迹优化模块，二者紧密集成。
模块一：基于高斯过程的纯方位目标跟踪。 传统GP回归需要目标位置样本，但纯方位场景下只有非线性方位测量。为解决此问题，作者利用方位测量的正交特性，定义了新的变量：利用与方位向量λ(t_k)正交的基矩阵（orthonormal basis matrix）对AUV位置进行变换，得到伪线性测量（pseudo linear measurement）y(t_k)。这一变换将非线性方位方程转化为伪线性方程，使得GP回归可以直接应用。
在数据处理上，采用滑动时间窗口内的迷你批次（mini-batch）数据集，窗口容量设为N_c（2D空间N_c=20，3D空间N_c=12），以平衡学习效果与计算效率。在给定高斯过程先验（prior）的条件下，通过标准多元高斯条件分布公式推导出目标位置的后验均值函数μ_k(t)作为预测器，以及后验协方差σ_k(t)作为不确定性度量。核函数的超参数通过最大化对数似然函数进行在线调整，该对数似然针对伪线性测量进行了扩展。
作者还给出了线性共区域化模型（Linear Model of Coregionalization, LMC）的扩展，用于捕捉目标运动在不同坐标轴之间的相关性。在此建模下，目标运动被表示为隐函数向量与权重矩阵A的线性组合，每个隐函数独立地从零均值GP中采样，协方差核矩阵被替换为加权组合核矩阵。
理论误差界。 在假设目标位置是来自多输出GP的样本函数的前提下，作者推导了概率性的跟踪误差上界（Theorem 1和Theorem 2）。该误差界由β(δ)和σ̄_k(t_i)的乘积给出，其中σ̄_k(ti)依赖于累积方位矩阵P{c:k}的条件数（condition number）。数学上，P{c:k}定义为滑动窗口内各方位的(I{d×d} - λ_iλ_i^T)之和。当条件数趋近于1时，误差上界最小化，这为后续轨迹优化提供了定量指标。
模块二：基于差分平坦性的轨迹优化。 基于条件数最小化原理，作者解析地给出了2D和3D空间中的最优期望方位（optimal desired bearings）表达式。在2D空间中，最优方位均匀分布在圆周上；在3D空间中，通过将2D最优方位提升到纬度√(2⁄3)处，使其均匀分布在单位球的某一纬圆上。相应地，期望方位被参数化为随时间变化的正余弦函数。
由于目标真实位置未知，作者采用后验分布中的sigma点（通过无迹变换Unscented Transform生成2d+1个sigma点），计算期望方位与未来采样方位之间内积的期望相似度函数（expected similarity function）作为代价函数。
为求解连续时间最优控制问题，作者利用AUV系统的微分平坦性（differential flatness），选择z=[P_A^T, ψ]作为平坦输出，将状态和控制输入代数地表达为平坦输出及其导数的函数。轨迹被分割为p段，每段用二阶多项式参数化，系数矩阵通过初始条件和连续性约束的线性方程求解。最终，轨迹优化问题被转化为关于中间端点z̄的无约束非线性规划问题，通过积分约束违反量和罚函数法处理控制输入约束，采用梯度下降法求解。
数值仿真在六种目标运动场景下验证了框架的有效性：2D空间中的常速度目标、8字形轨道目标和时变速度圆周运动目标，以及3D空间中对应的三种扩展场景。仿真中AUV采用Falcon型号的辨识动力学模型参数，采样周期为0.1秒。
主要研究结果
数值仿真结果表明，在2D和3D空间中，AUV均能围绕运动目标以近似圆形或螺旋线的轨道运动，以采集最优期望方位测量。平均跟踪误差和协方差范数在0.1米以内迅速下降，验证了GP后验协方差作为不确定性度量的有效性。同时，跟踪误差与累积方位矩阵条件数之间呈现强相关性，统计上验证了条件数作为方位数据质量度量的合理性。SE核的长度尺度参数在跟踪过程中在线调整，以局部拟合高度非线性的目标运动。
为验证轨迹优化的必要性，作者比较了AUV静止、恒力运动和随机运动三种模式下对8字形轨道目标的跟踪性能。结果显示，静止AUV的跟踪误差发散；恒力和随机运动模式下误差虽有下降，但存在0.3至1米的显著残差。相比之下，经过轨迹优化的AUV能够精确跟踪机动目标，证明主动采集最优方位数据对学习目标运动模式至关重要。
与现有方法的对比实验中，作者选取了基于正交性的静态目标估计器（OE-S）、常速度目标估计器（OE-CV）、伪线性卡尔曼滤波器（PLKF）、交互多模型PLKF（IMM-PLKF）、使用全测量的IMM-KF（IMM-KF-F）以及多项式回归方法（PR）。对于常速度目标（案例1和4），IMM-KF-F因使用信息量最丰富的全测量且目标运动符合候选模型而表现最优，但本文方法误差仍在可接受范围内。对于大幅度非线性机动目标（案例2、3、5和6），OE-S、OE-CV和PLKF均产生较大跟踪误差，而本文方法在2D和3D场景下均取得最小平均误差（案例2为0.059±0.004米，案例3为0.052±0.005米，案例5为0.053±0.004米，案例6为0.035±0.003米），显著优于IMM-PLKF、IMM-KF-F和PR方法。
研究结论与价值
本文提出的GBT框架成功解决了仅用方位测量跟踪未知机动目标的难题。其科学价值在于：第一，将GP学习从需要位置测量的传统范式扩展到纯方位场景，通过伪线性变换和正交性技巧克服了方位非线性；第二，建立了显式依赖于方位数据的概率跟踪误差界，揭示了累积方位矩阵条件数作为数据信息量度量的理论依据；第三，将实际AUV动力学模型和控制约束纳入轨迹优化，通过差分平坦性和参数化变换实现了计算上可处理的求解。在应用价值方面，该框架具有通信自由、低成本、高隐蔽性等优势，适用于军事侦察、海洋生物友好型监测等信号受限场景，为水下自主系统在复杂动态环境中的感知与决策提供了新的技术途径。
研究亮点
本研究的核心亮点包括：利用滑动窗口在线批次方位数据实现学习与跟踪的平衡，无需任何目标先验运动模型；推导出数据依赖的概率性误差界，为方位数据的信息量提供了严格的定量度量；通过无迹变换高效近似期望相似度函数，避免了非线性期望的解析计算难题；以及将连续时间约束优化问题转化为有限维无约束问题的高效求解策略。此外，LMC扩展赋予了框架处理跨轴相关运动的能力，增强了方法的适用性和鲁棒性。