本文属于类型a，即一篇单一原创研究论文的学术报告。
该研究由清华大学电机工程系的郑可迪（Kedi Zheng）、陈启鑫（Qixin Chen）和康重庆（Chongqing Kang），以及苏黎世联邦理工学院的王毅（Yi Wang）和德克萨斯农工大学的谢乐（Le Xie）共同完成。论文发表于IEEE Transactions on Smart Grid第12卷第1期，2021年1月出版，数字对象标识符为10.1109/TSG.2020.3011266。研究得到了国家自然科学基金委员会与国家电网公司联合资助的重大智能电网项目（资助号U1766212）的支持。
该研究属于电力市场与数据驱动分析的交叉领域，核心关注节点边际电价（Locational Marginal Price, LMP）中的阻塞分量在无监督学习框架下的结构识别问题。在现代电力市场中，LMP反映了系统在每个节点上的边际运行成本与发电成本，是市场运营的基石。LMP可以分解为能量分量、阻塞分量和损耗分量，其中阻塞分量由输电线路的容量约束产生，并由功率传输分配因子（Power Transfer Distribution Factor, PTDF）矩阵的若干行向量所张成。在系统参数和发电报价保持稳定的情况下，LMP的阻塞分量在负荷空间中呈现离散的子空间分布特征，不同的子空间对应不同的输电阻塞状态。然而，由于市场参与者通常无法获取详细的网络拓扑和线路参数，且系统运行状态会随时间变化，如何仅从公开的LMP数据中提取阻塞状态信息成为一个具有理论和应用价值的问题。该研究的目标是在无任何附加系统信息（如节点负荷、网络拓扑）的条件下，仅利用LMP的阻塞分量数据，实现对电网阻塞状态的无监督识别。
研究的整体工作流程可以分为问题建模、自下而上搜索、自上而下搜索、以及数值实验验证四个主要阶段。在问题建模阶段，作者首先基于无损耗和有损耗的直流最优潮流（DC Optimal Power Flow, DC-OPF）模型，推导了LMP的数学表达式。在无损耗模型中，LMP的阻塞分量为PTDF矩阵的转置与对偶变量μ的乘积；在有损耗模型中，阻塞分量包含两个部分，其中第二部分在所有节点上取值相同，可以通过减去某一参考节点的值来消除。这一处理使得LMP的阻塞分量在数学上表现为由少数线路对应的PTDF列向量张成的低维子空间中的点。对于一个包含nb个节点、nl条线路的系统，如果时间区间T内曾经发生阻塞的线路数为k（k远小于nl），则所有时刻的LMP阻塞分量数据矩阵X可以表示为这k条线路对应PTDF列向量的线性组合。每个时刻的线性系数向量χt的非零模式xt即对应该时刻的阻塞状态。
在算法设计阶段，作者提出了一个分层搜索框架，结合主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）、谱聚类（Spectral Clustering）和双主成分追踪（Dual Principal Component Pursuit, DPCP）等技术。首先对原始高维数据矩阵进行PCA降维，从nb维降至k维，以降低后续计算复杂度。然后采用自下而上（bottom-up）的递归基搜索方法：在每一轮中，对数据向量进行归一化处理，计算基于余弦相似度的亲和矩阵，并通过截断核函数过滤出属于同一一维子空间的向量对；随后利用谱聚类自动识别一维子空间簇，并通过奇异值分解判定每个簇的秩。对于秩为1的簇，可以提取其基向量；将这些基向量加入基向量集B后，将原始数据投影到已找到基向量的正交补空间上，去除全零列后进入下一轮搜索。这一过程重复进行，直到所有数据点被分配或出现基间隙（basis gap）。当存在基间隙时，即经过正交化后所有数据点仍位于维度高于1的子空间中，自下而上方法无法继续检测出一维子空间，此时需要采用自上而下（top-down）的超平面检测方法。该方法的目标是寻找一个法向量n，使得尽可能多的数据点满足xTn=0，即位于由n定义的超平面内。由于该问题包含ℓ0范数和二次约束，属于非凸问题，作者将其松弛为ℓ1范数问题，并通过DPCP求解一系列线性规划来逐步逼近最优法向量。当DPCP无法给出有效结果时，采用随机采样方法：随机选择k-1个列向量张成超平面，构造其法向量并检查满足条件的点数是否超过阈值pm。这一过程以指数级降低的失败概率重复进行，直到找到有效的超平面。
在数值实验部分，研究者在四个系统上进行了验证。第一个案例基于IEEE 30节点系统，包含6台发电机，负荷数据来自Kaggle开源数据集，加入3%的高斯波动，共收集576个阻塞LMP向量。该案例中不存在基间隙，采用自下而上搜索即可完成。第一轮聚类检测到4个簇，其中2个为一维子空间，得到两个基向量；投影后在第二轮检测到另外2个簇，最终获得全部4个基向量。误码率（miscode rate）非常低，表明识别精度很高。第二个案例基于IEEE 118节点系统，使用NREL扩展案例数据，设置了7条区域间联络线的输电容量限制，并调整了不同区域的发电报价以制造持续的阻塞。该案例中至少同时有两条线路阻塞，自下而上方法无法检测到秩为1的簇，因此存在基间隙。采用自上而下方法后，DPCP首先识别出一个包含529个点的超平面，随后在子集上继续搜索；在某一轮DPCP失败后转为随机采样方法，最终构建出完整的层级结构，从中提取出所有基向量。第三个案例基于伊利诺伊200节点系统，使用Matpower标准案例数据，设置了两段式发电报价，6条线路在研究时段内曾发生阻塞。该案例同样存在基间隙，通过自上而下方法在5轮搜索后检测到6个基向量，误码率很低。第四个案例使用西南电力库（Southwest Power Pool, SPP）的真实市场数据，涵盖了2018年12月7日7408个电气节点（合并后为3300个）的实时LMP数据。由于SPP采用有损耗OPF模型，原始阻塞分量需要先消除第二部分的节点一致项。在288个时间区间中，249个区间存在阻塞，6条线路曾发生阻塞。该案例采用自下而上方法，第一轮检测到2个一维子空间簇（大小分别为147和17），第二轮检测到3个簇（大小分别为39、20和10），第三轮找到最后一个基向量，最终识别精度接近100%。
论文的主要结论是：仅利用公开的LMP阻塞分量数据，即可通过无监督学习方法高精度地识别电网的实时阻塞状态。所提出的自下而上与自上而下相结合的分层搜索框架能够在数秒内完成识别，且在不同规模的测试系统上均表现出接近100%的准确率。该方法对市场参与者具有重要的应用价值：首先，它可以揭示未公开阻塞信息的电力市场的阻塞状态；其次，识别出的基向量可用于LMP预测结果的校准与协调，使预测结果符合LMP数据的固有子空间分布特征；第三，阻塞状态信息可与节点负荷、发电组合等外部市场变量结合，用于阻塞预测、金融输电权估值以及市场力分析等高级应用。该研究在方法上的突出贡献在于将重叠子空间聚类问题引入电力市场数据分析领域，并针对LMP数据特有的重叠子空间结构与异常值特征设计了专门的解决方案。与传统的子空间聚类方法只能处理独立或不相交子空间不同，该研究提出的方法能够处理子空间相互嵌套且存在异常值的情况，这是该方法的重要新颖性所在。此外，该研究还通过附录推导了多区间滚动经济调度模型中LMP的表达式，表明即使考虑爬坡约束等复杂约束，所提方法仍然适用。