学术研究报告：一种用于集成电路电-热-机械耦合仿真的等效多物理场电路框架

一、 研究作者、机构与发表信息

本研究的主要作者包括：Yizhang Liu、Liang Tian、Yiqun Niu、Yinshui Xia (IEEE Member) 以及 Wenchao Chen (IEEE Senior Member)。研究人员主要来自浙江大学/伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校联合学院（ZJU-UIUC Institute），浙江大学信息与电子工程学院，以及浙江省先进微纳电子器件与智能系统重点实验室；其中，Yinshui Xia 隶属于宁波大学电气工程与计算机科学学院。该研究成果以论文形式发表，标题为《An Equivalent Multiphysics Circuit Framework for Electro-Thermal-Mechanical Coupling Simulation in Integrated Circuits by Proposing a SPICE Compatible Equivalent Mechanical Circuit Method》。论文发表于 IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems 期刊，刊载于2026年2月出版的第45卷第2期。该论文于2025年4月29日收稿，经过修订后于2025年7月3日被接受，并于2025年7月10日在线发表。

二、 研究的学术背景

本研究属于集成电路（Integrated Circuits, IC）设计与仿真领域，具体聚焦于多物理场（Multiphysics）效应的建模与分析，特别是电-热-机械（Electro-Thermal-Mechanical） 耦合问题。随着三维异质集成（3D Heterogeneous Integration）技术发展，集成电路的集成密度持续提升，导致芯片内的热、应力等物理效应愈发严重和复杂。这些耦合效应会影响材料的物理属性（如电导率、热导率）和器件性能（如载流子迁移率、阈值电压），进而威胁整个3D集成系统的性能和可靠性。因此，精确且高效地对多物理场效应进行建模与分析，已成为集成电路设计中最具挑战性的问题之一。

在现有方法中，等效热电路（Equivalent Thermal Circuit） 方法是仿真电-热（Electro-Thermal）耦合效应最常用的手段之一。其优势在于计算速度快，并且能与业界标准的SPICE电路仿真平台兼容，从而在电路设计流程中实现高效率的电-热协同仿真。然而，对于更复杂的电-热-机械耦合仿真，由于缺乏一个能与SPICE兼容的等效机械电路（Equivalent Mechanical Circuit） 方法，导致无法在统一的SPICE环境中便捷地进行完整的多物理场分析。虽然有前期研究尝试将弹簧-质量-阻尼网络与等效热电路耦合来模拟相互作用，但尚未形成一个完整的、基于等效电路原理的、可兼容SPICE的多物理场仿真框架。

本研究的目标正是填补这一空白。研究者旨在提出一种新颖的等效多物理场电路框架，其核心创新在于首次系统性地提出并推导了一套完整的等效机械电路方法。该框架最终目标是将等效热电路与新提出的等效机械电路无缝集成，从而在SPICE仿真器中实现对集成电路中电-热-机械耦合效应的统一、高效仿真。

三、 详细研究流程与方法

本研究的工作流程主要分为两大核心部分：等效机械电路方法的理论推导 以及基于该框架的实例构建与验证。整个过程紧密结合了理论分析、数值建模与仿真验证。

第一部分：等效机械电路方法的理论构建与推导 这是本研究的核心创新和理论贡献所在，旨在从固体力学基本方程出发，建立一套与电路理论（特别是SPICE兼容的电阻-电流源网络）等价的机械仿真模型。该部分包含以下几个关键步骤：

1. 建立电-机械等效关系：研究者从一维稳态固体力学平衡方程（Solid Mechanics Equilibrium Equation）和一维电流连续性方程（Current Continuity Equation）入手。通过对比两个方程的数学形式，他们建立了一套完整的电-机械等效关系表。在此表中，机械位移（Displacement）对应于电路中的节点电压（Electric Potential），体力（Body Force）对应于电流源（Current Source），而材料的拉梅系数（Lamé Coefficients, λ和μ）则通过特定组合定义了机械电阻（Mechanical Resistance） 的概念。这一步骤奠定了将力学问题映射为电路问题的基础。

2. 推导三维等效机械电路元件与结构：将一维推导扩展至三维。三维固体力学问题涉及三个方向的位移（u, v, w）。研究者在考虑热膨胀效应的情况下，将三维固体力学平衡方程转化为以三个位移分量表示的偏微分方程组。接着，他们采用有限差分法对计算域进行网格离散。以求解x方向位移u的电路为例，研究者对方程进行离散化处理，并沿着网格体积进行积分。通过巧妙的数学变换，离散后的力学方程被重写为一个在节点8（中心节点）处满足基尔霍夫电流定律（KCL）的电路方程形式。该方程表明，从周围节点（如节点9, 7, 2, 14, 5, 11）流向中心节点8的“电流”之和等于一个等效电流源。其中，连接各节点的“电流通路”由机械电阻（如R_xx, R_xz, R_xy）描述，而“电流”的来源则是一个等效电流源（I^e_x）。由此，他们成功构建了位移u的二维等效电路图，图中中心节点通过机械电阻与六个相邻节点相连，并受一个等效电流源激励。采用完全相同的方法，研究者也推导出了位移v和位移w的等效电路、机械电阻表达式（如R_yy, R_yz, R_yx, R_zz, R_zy, R_zx）及其对应的等效电流源表达式（I^e_y, I^e_z）。值得注意的是，每个方向的等效电流源都包含两部分：一部分是由温度梯度引起的热应力等效电流源（如I^th_x），另一部分是由其他方向位移的耦合项（如γ_xy, γ_xz）引起的等效电流源。这清晰地体现了机械位移在不同方向之间的耦合以及热-机械耦合。

3. 定义等效电路的边界条件：为了使等效电路模型能够模拟实际的物理边界，研究者推导了三种常见力学边界条件在等效电路中的实现方式：

   • 固定边界：根据电-机械等效关系，将边界节点的位移设置为零，这对应于在电路中将相应节点接地。
   • 周期性边界：要求一对周期性边界上的位移相等。在等效电路中，通过用“虚拟导线”直接连接这两个边界节点即可实现。
   • 自由边界：要求边界上法向应力为零。在等效电路中严格实现此条件较为困难。研究者提出了一种实用的近似方法：在自由边界外添加一层吸收层（Absorb Layer）。该吸收层采用低杨氏模量（Young‘s Modulus）的材料，并将其外表面设为固定边界（接地）。这样，吸收层能够“吸收”大部分应力，使得原结构表面近似满足自由边界条件，并通过后续的数值仿真验证了该方法的有效性。

4. 简化为二维等效机械电路：考虑到许多实际问题可以进行二维简化分析，研究者进一步推导了二维（如x-y截面）情况下的等效机械电路公式。其推导逻辑与三维类似，但方程和电路结构得以简化（例如，位移u的电路仅与四个相邻节点耦合）。

5. 提出等效多物理场电路框架的求解算法：研究者设计了一个系统的算法流程来实现电-热-机械的协同仿真。该算法是一个迭代流程：首先，构建并求解纯电路部分（计算电流、功耗）和等效热电路部分（计算温度分布）。然后，利用得到的温度分布和初始猜测的位移场，根据前述公式构建等效机械电路。接着，通过自洽迭代（Self-Consistent Iteration） 方法求解等效机械电路，即不断更新位移场直到收敛。最终获得包括位移和应力在内的完整机械场信息。

第二部分：实例验证——FinFET与TSV结构 为了验证所提框架的有效性和精度，研究者选取了集成电路中两个关键结构作为验证案例：鳍式场效应晶体管（FinFET） 和硅通孔（Through-Silicon Via, TSV）。研究流程是对所提方法与业界公认的高精度有限元方法（Finite Element Method, FEM） 的仿真结果进行对比。

1. 研究对象与处理：

   • FinFET案例：研究对象为一个具体的FinFET器件结构。在FEM仿真中，将其三维结构等效为二维双栅结构进行处理。热源来自通过非平衡格林函数（Non-Equilibrium Green‘s Function, NEGF）计算得到的器件功耗谱。边界条件设置为：浅沟槽隔离（STI）外表面温度为300K（热边界）；FinFET的顶/底边设为固定边界，左/右边设为周期性边界（力学边界）。
   • TSV案例：研究对象为一个典型的TSV结构。利用其轴对称特性，将三维问题转化为二维轴对称问题进行处理。电路仿真中，TSV顶部施加0.1V电压，底部接地。热边界为TSV外表面300K。力学边界采用前面提出的吸收层方法来近似模拟自由边界。

2. 仿真流程与对比：

   • 对于每个案例，研究者均独立构建了两套仿真模型：一套是基于商业FEM软件的高精度仿真流程；另一套是基于本文提出的等效多物理场电路框架，在SPICE兼容的电路仿真环境中搭建的模型。
   • 在电路框架中，FinFET的案例清晰地展示了三部分电路的集成：主电路图（包含由NEGF电流谱控制的压控电流源VCCS）、等效热电路图（由热阻和热容网络构成）、以及等效机械电路图（由新推导的机械电阻和等效电流源网络构成）。
   • 仿真完成后，研究者提取了两个案例中关键的输出结果，包括：位移场（u, v分量）的分布云图、应力场（σ_xx, σ_yy分量）的分布云图，以及沿特定切割线的数值分布曲线。

四、 主要研究结果

研究结果通过丰富的图表和数据对比，充分证明了所提出的等效多物理场电路框架的准确性和有效性。

在FinFET案例中： * 位移场对比：论文图8展示了位移v和位移u的分布云图（a1, a2, b1, b2）以及沿特定线的曲线图（a3, b3）。结果显示，无论是云图的整体形态，还是沿切割线的具体数值，等效电路方法（标记为“Circuit”）与FEM方法（标记为“FEM”）的结果都高度吻合。例如，图8(a3)显示，在x=5, 10, 15 nm的三条垂线上，两种方法得到的位移v随y变化曲线几乎完全重叠。 * 应力场对比：论文图9进一步对比了法向应力σ_xx和σ_yy。同样，分布云图（a1 vs a2, b1 vs b2）显示出极好的一致性。定量曲线图（a3, b3）再次证实了这一点，在y=2.5 nm和7.5 nm的两条水平线上，两种方法计算出的应力值曲线基本重合。 * 结论：对于纳米尺度的FinFET结构，本文提出的等效电路框架能够精确地复现由自加热引起的热应力和位移场。

在TSV案例中： * 位移场对比：图11展示了TSV结构的位移场对比。位移v和u的分布云图（a1, a2, b1, b2）同样表现出良好的一致性。沿特定切割线的曲线图（a3, b3）中，两种方法的结果曲线贴合紧密，仅在局部区域有微小偏差。 * 应力场对比：图12展示了应力σ_xx和σ_yy的对比。云图匹配良好，定量曲线图（a3, b3）也显示大部分区域结果一致。特别是在应力集中区域，等效电路方法也能较好地捕捉到趋势。 * 误差分析：研究者还专门以TSV结构为例，量化了方法的精度。图13展示了最大相对误差（ε_r）随仿真网格节点数（Na）的变化情况。结果显示，在合理的网格密度下，位移结果的最大相对误差可以控制在较低水平（根据图表估计在百分之几的量级），证明了该方法的工程实用性。

结果的逻辑关系与贡献：这些详尽的对比结果构成了整个研究的核心证据链。首先，通过FinFET和TSV两个差异很大的典型结构进行验证，证明了所提方法的普适性。其次，从位移场到应力场的逐项对比，验证了从基本变量（位移）到衍生变量（应力）的整个仿真链路的准确性。最终，这些与高精度FEM方法高度吻合的结果，强有力地支持了论文的最终结论：本研究所提出的等效多物理场电路框架是可靠且有效的。

五、 研究结论与价值意义

本研究的结论是：通过基于固体力学平衡方程发展出一套完整的等效机械电路方法，成功构建了一个等效多物理场电路框架。该框架将等效热电路方法与新提出的等效机械电路方法相兼容，从而能够在SPICE仿真环境中对集成电路中的电-热-机械耦合效应进行有效仿真。

该研究的价值体现在以下几个方面： 1. 科学价值：首次系统性地建立了从连续介质力学方程到集中参数电路网络的完整映射理论，特别是明确了机械电阻、耦合电流源等元件的物理意义和数学表达式，为多物理场联合仿真提供了一种新的理论范式。 2. 方法论价值：提出了一种与现有集成电路设计流程无缝衔接的多物理场分析工具。它继承了等效热电路法“快速”、“SPICE兼容”的优点，并将其成功拓展至机械域，解决了长期存在的电-热-机械耦合仿真工具链割裂问题。 3. 应用价值：对于集成电路设计与可靠性工程师而言，该框架意味着可以直接在熟悉的电路仿真环境（如Cadence Spectre, Synopsys HSPICE等）中，进行包含热应力影响的芯片级性能与可靠性分析。这可以显著提高设计效率，帮助早期发现和预防由热机械效应引起的性能退化或失效问题（如载流子迁移率变化、界面分层、微裂纹等），对于先进封装（如3D IC、Chiplet）和纳米器件（如FinFET, GAA）的设计具有重要意义。

六、 研究亮点

1. 核心创新点突出：本研究的最大亮点在于原创性地提出了SPICE兼容的等效机械电路方法，这是实现所述多物理场框架的关键。该方法的推导严谨、系统，从基本方程出发，逐步导出了电路元件、结构和边界条件。
2. 高度的实用性与兼容性：所提框架并非空中楼阁，它强调与现有工业标准（SPICE）和成熟方法（等效热电路）的兼容。论文明确指出，等效机械电路与等效热电路具有相同的推导框架，因此模拟复杂结构的方法可以直接迁移，这大大降低了新方法的应用门槛。
3. 验证充分且具有说服力：研究选择了FinFET（代表前沿纳米器件）和TSV（代表先进互连与封装结构）这两个集成电路领域至关重要的对象进行验证，并与高精度的FEM结果进行全方位、定量化的对比，使得结论非常坚实。
4. 考虑问题全面：研究不仅推导了核心的体区方程和电路，还深入考虑了三种实际工程中必不可少的边界条件的处理方法，特别是针对自由边界提出的吸收层近似法，体现了研究者的工程思维。

七、 其他有价值内容

论文在引言部分对多物理场效应在3D异质集成中的严峻挑战进行了简要但清晰的梳理，引用了大量相关文献，说明了电-热耦合、热应力效应等各自的影响及现有仿真方法的局限，为本文工作的必要性提供了充分的背景支撑。此外，文中涉及的算法流程表（Table II）清晰展示了电-热-机械迭代求解的步骤，对于其他研究者复现或借鉴该方法具有指导意义。最后，对于需要快速分析的场景，论文提供的二维等效电路简化公式也具有很高的实用价值。