学术研究报告：易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造
一、研究作者与发表信息
本研究由中央民族大学信息工程学院的李霞丽、吴立成、樊艳明合作完成，发表于《CAAI Transactions on Intelligent Systems》（智能系统学报）2017年第12卷第3期，网络出版时间为2017年4月4日，DOI编号为10.11992/tis.201606037。研究得到国家自然科学基金项目（51375504, 61602539）支持。
二、学术背景与研究目标
压缩感知（Compressed Sensing, CS）是一种利用信号稀疏性、以远低于奈奎斯特采样率（Nyquist rate）实现信号高效采样的理论，其核心问题包括稀疏表示、观测矩阵构造和重构算法设计。观测矩阵的性能直接影响信号重构精度，但传统随机观测矩阵（如高斯随机矩阵）存在存储需求大、硬件实现困难等问题，而确定性观测矩阵（如哈达玛矩阵）又受限于信号长度的严格条件（如必须为2的幂次）。
本研究旨在解决压缩感知在嵌入式硬件系统中的实际应用瓶颈，提出两种易于硬件实现的观测矩阵构造方法：顺序部分哈达玛观测矩阵和循环伪随机观测矩阵（包括循环m序列和循环Gold序列），以平衡存储效率、计算复杂度和重构性能。
三、研究流程与方法
1. 观测矩阵设计与构造
- 顺序部分哈达玛矩阵：
传统部分哈达玛矩阵通过随机选取行向量构造，但会削弱矩阵与稀疏基的非相干性。本研究改进为顺序连续选取行向量（如1:m行或n-m+1:n行），保留哈达玛矩阵的正交性，同时简化硬件实现流程。其构造基于哈达玛矩阵的递推特性（式1-4），元素仅含±1，仅需加减运算，支持蝶形快速算法。
- 循环伪随机观测矩阵：
- 循环m序列矩阵：基于最长线性移位寄存器序列（m序列），利用其周期性（长度L=2^n-1）和平衡性（±1出现概率接近1/2）。通过循环右移生成矩阵列向量（式8），顺序选取m行构成观测矩阵。
- 循环Gold序列矩阵：通过两个m序列优选对模2加生成Gold序列，利用其更大的序列库（2^n+1条）和三值相关特性，构造方式与m序列类似（式9）。
理论证明
通过分析伪随机序列的统计特性，证明其构造的观测矩阵满足有限等距性质（RIP）：
仿真验证
四、主要结果与发现
1. 顺序部分哈达玛矩阵：
- 在低采样率（0.25）下，PSNR达25.10 dB，比随机选取的哈达玛矩阵高5 dB，重构时间减少50%以上（BP算法耗时19.8秒 vs. 高斯矩阵33.5秒）。
- 限制：仅适用于信号长度为2^k的场景。
循环伪随机矩阵：
算法适应性：
五、结论与价值
1. 科学价值：
- 提出两种硬件友好的观测矩阵构造方法，通过理论证明和实验验证其满足RIP条件，为压缩感知的硬件实现提供了新思路。
- 顺序部分哈达玛矩阵在低采样率下性能突出，循环伪随机矩阵则弥补了信号长度灵活性的不足。
六、研究亮点
1. 方法创新：
- 顺序选取哈达玛矩阵行向量的简化构造策略，兼顾性能与硬件可行性。
- 首次将循环m序列和Gold序列引入观测矩阵设计，结合伪随机特性与确定性优势。
七、其他贡献
研究还对比了不同稀疏基（DCT vs. 小波）对重构效果的影响，发现小波变换在伪随机矩阵下表现更稳定，为后续稀疏基选择提供了参考。